Распечатать запись Распечатать запись

Тайна избавления от иррациональности

Данни Перич Кампана

Еще одна интересная книга для школьников, интересующихся математикой, к сожалению, не переведенная на русский язык, — это книга “Математические приключения Даниэля” (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) чилийского учителя математики Данни Перича Кампаны (Danny Perich Campana), человека весьма неординарного и интересного. Он не только учит ребятишек, но и пишет песни, выкладывает в Интеренет различные обучающие материалы по математике. Их можно найти на youtube, и на сайте http://www.sectormatematica.cl/ (разумеется, все материалы на испанском языке).

Здесь выкладываю одну главу из книги Данни Перича. Мне она показалась довольно интересной и полезной для школьников. Чтобы было понятно, о чем идет речь, скажу, что Даниэль и Камила работают в школе, они учителя.

Тайна избавления от иррациональности

— Камила, у меня сейчас возникает много проблем, когда пытаюсь объяснить, для чего применяется то, что проходим на уроке, — сказал Даниэль.

— Не очень понимаю, о чем ты говоришь.

— Я о том, что есть во всех школьных учебниках и даже книгах университетского уровня. Меня все равно не оставляют сомнения: зачем нужно избавляться от иррациональности в знаменателе? И я терпеть не могу рассказывать то, чего не понимаю уже столько времени, — жаловался Даниэль.

— Я тоже не знаю, откуда это идет и зачем это нужно, но должно быть какое-то логическое объяснение этому.

— Как-то я прочитал в одном научном журнале, что избавление от иррациональности в знаменателе позволяет получить результат с большей точностью, но никогда больше не встречал этого и не уверен, что это так и есть.

— А почему бы нам это не проверить? — спросила Камила.

— Ты права, — согласился Даниэль. — Вместо того, чтобы жаловаться, нужно попытаться самим сделать выводы. Тогда помоги мне…

— Конечно, теперь мне самой это интересно.

— Мы должны взять какие-нибудь выражения и избавиться от иррациональности в знаменателе, потом заменить корень на его значение и найти результат выражения до избавления от иррациональности в знаменателе и после и посмотреть, изменится ли что-нибудь.

— Разумеется, — согласилась Камила. — Давай так и сделаем.

— Возьмем, например, выражение \displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}, — сказал Даниэль и взял лист бумаги, чтобы записывать происходящее. — Умножим числитель и знаменатель на 2+\sqrt{2} и получим 3+2\sqrt{2}.

— Будет правильно и может помочь нам сделать выводы, если мы рассмотрим другие иррациональные выражения, равные данному, — предложила Камила.

— Согласен, — сказал Даниэль, — я поделю числитель и знаменатель на \sqrt{2}, а ты домножь их на 2-\sqrt{2}.

— У меня получилось \displaystyle \frac{1}{3-2\sqrt{2}}. А у тебя?

— У меня \displaystyle\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, — ответил Даниэль. — Теперь вычислим исходное выражение и полученные, заменяя \sqrt{2} на его значение со всеми десятичными знаками, которые дает калькулятор. Получим:

\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=5.82844

3+2\sqrt{2}=5.82842

\displaystyle\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=5.82842

\displaystyle \frac{1}{3-2\sqrt{2}}=5.82842

— Не вижу ничего особенного, — сказала Камила. — Я ожидала какого-либо различия, которое оправдало бы избавление от иррациональности.

— Как я тебе уже говорил, я когда-то читал об этом в связи с приближением. Что ты скажешь, если мы заменим \sqrt{2} на менее точное число, например, на 1.414?

— Пробуем и смотрим, что получилось.

\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=5.825

3+2\sqrt{2}=5.828

\displaystyle\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=5.830

\displaystyle \frac{1}{3-2\sqrt{2}}=5.813

— И как ты думаешь, что мы получили? — спросил, улыбаясь, Даниэль.

— Чудо! — воскликнула Камила, и то, насколько она была счастлива, было видно по яркому блеску ее глаз.

— Итак, если брать приближенное значение \sqrt{2}, ближайшее к точному значению значение иррационального выражения получается, если избавиться от иррациональности в знаменателе и брать его в форме, которую обычно используем на уроках, или 3+2\sqrt{2}=5.828, сделал вывод Даниэль.

— Наконец мы знаем, почему делаем это.