Распечатать запись Распечатать запись

Современные приложения математики: анализ изображений

Джулиан Стандер

Изображения есть везде, и электронные изображения, в частности, играют все более важную роль в повседневной жизни. Врачи в больницах используют рентгеновские снимки, чтобы выяснить, не сломаны ли кости. Метеорологи используют изображения со спутников, чтобы прогноз погоды был точнее. Сотрудники правоохранительных органов изучают аэрофотоснимки, чтобы выяснить, где выращивают наркотикосодержащие растения.

В свое время (1997 год) мы были поражены фотографиями планеты Марс миссии Pathfinder и другими астрономическими фотографиями телескопа Хаббл. Многие из этих изображений можно найти в Интернете. Только сразу же предупреждение: загрузка изображений с Интерент-сайтов иногда может быть очень медленной. Причиной этого является то, что изображения содержат много информации, вот почему говорят, что одна картинка стоит тысячи слов!

Изображения отображается на экране компьютера как сетка из отдельных их элементов, называемых пикселями, при этом каждый пиксель имеет определенный цвет или оттенок серого.

Рисунок 1. Ультразвуковое изображение поперечного среза головы человеческого плода.

На рисунке 1 представлено изображение поперечного среза головы человеческого зародыша, полученное в клинике с помощью ультразвукового метода. Это изображение состоит из 2500 пикселей, представляющих собой сетку 50 на 50. Форма головы может дать врачу больше информации о здоровье ребенка. К сожалению, качество этого изображения очень низкое, потеряны многие существенные и добавлены сомнительные детали. Однако, если задуматься, действительно замечательно, что такие полезные, вообще говоря, изображения могут быть получены без какого-либо вмешательства в организм матери. По этой причине УЗИ играет очень важную роль в современном акушерстве.

Такие изображения как рисунок 1, в компьютере хранятся в виде массива чисел, задающих оттенки серого цвета для каждого пикселя. Это может быть сделано, например, с помощью шкалы от 0 до 1, где 0 соответствует черному цвету и 1 — белому. Анализ изображений — быстро развивающаяся отрасль математики, включающая в себя обработку числовых массивов для извлечения полезной информации и получения полезных интерпретаций. Эта обработка может состоять в выявлении определенных деталей, таких как трещины костей на рентгеновских снимков или рассмотрение использования участков земли некоторого сельскохозяйственного региона по снимкам, полученным со спутника и размытым из-за атмосферных воздействий.

Рисунок 2. Ультразвук используется, чтобы увидеть ребенка в утробе матери.

Статистики — это математики, которые могут многое предложить для анализа изображений. Их опыт работы со случайными событиями и процессами переносится на моделирование механизмов, которые вызывают ухудшение качества изображений. Часто статистики к анализу изображений применяют байесовский подход. Теорема Байеса позволяет нам узнать больше, посмотрев на предмет с новой стороны.

\displaystyle P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}

Это теорема Байеса в своей простейшей форме.

Давайте предположим, что доступные нам данные включают спутниковые изображения сельскохозяйственных угодий и что пиксели изображения соответствуют квадратным участкам на земле. Давайте также предположим, что требуется определить тип поверхности участка земли, соответствующего каждому пикселю, т.е. будет ли это водный, лесной участок, здание, культивируемая или необработанная земля, и что на изображении каждому из этих типов соответствует свой оттенок серого цвета и, следовательно, число.

Очень часто данные размыты вследствие влияния атмосферы и соответствуют неточной версии истинного (но неизвестно какого) использования земли, то есть истинному типу поверхности для каждого пикселя. Статистики могут сотрудничать с учеными, которые исследуют влияние атмосферы, чтобы определить, с какой вероятностью изображение (массив чисел), полученное со спутника, было бы таким, если бы истинно было определенное землепользование. Математически это можно выразить в виде P(данные | предполагаемое землепользование) — вероятность получить приведенные данные при этой гипотезе землепользования.

Байесовский подход также требует определения вероятности каждой гипотезы землепользования до получения каких-либо данных. Это называется априорной вероятностью. Теперь давайте задумаемся о характеристиках сельскохозяйственного района. Такие зоны, вероятно, будет состоять из довольно больших участков поверхности одного и того же типа. Априорная вероятность P (гипотеза землепользования) может быть установлена так, чтобы отразить это. Вероятность землепользования, где много относительно небольших участков земли одного и того же типа полагается низкой, а вероятность землепользования, где имеется небольшое число относительно крупных участков земли одного типа, полагается высокой.

После этого теорема Байеса позволяет найти вероятности предположительного землепользования с учетом спутниковых изображений, P(гипотеза землепользования | данные) — апостериорную вероятность. Землепользование может быть оценено путем максимизации этой апостериорной вероятности по всем возможным землепользованиям. Таким образом, оценка зависит как от данных, полученных со спутника, так и от априорного представления о землепользовании.

Рисунок 3. Изображение землепользования: Флеволанд, Нидерланды.

Теперь давайте еще раз обратим внимание на снимок УЗИ, приведенный на рисунке 1. Некоторые работы по анализу изображений в университете Плимута были связаны с определением границ. Рисунок 4 был получен автоматически, с применением специально разработанного алгоритма обработки ультразвукового изображения, показанного на рисунке 1. Обратите внимание, как алгоритму удалось выявить края головы с левой и правой сторон изображения, где представление является крайне нечетким. Это потому, что в алгоритм были заложены представления о кривизне формы головы.

Рисунок 4. Форма головы, полученная по ультразвуковому изображению, приведенному на рисунке 1.

Подобные изображения могут быть полезными врачам в диагностике. Они также могут быть использованы как исходные данные для дальнейших статистических исследований, помогающих акушерам выявить нездоровый плод.

Источник: http://plus.maths.org/content/os/issue4/stander/index

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение