Секущие к окружности
Определение. Секущей к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.
Теорема (свойство секущих к окружности). Пусть прямая 
, проходящая через точку 
, не лежащую на окружности 
, пересекает эту окружность в точках 
и 
. Тогда произведение длин отрезков 
и 
есть величина постоянная (это произведение не зависит от выбора прямой ).
Доказательство. Возможны два случая: точка может лежать как внутри окружности , так и вне ее. Проведем через точку две произвольные секущие — прямые 
и 
, пересекающие в точках и , 
и 
соответственно.
Рассмотрим треугольники 
и 
. Они подобны, поскольку 
и 
как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. В случае, когда точка лежит вне окружности, углы и равны как смежные к равным углам 
и 
. Из подобия 
и 
следует, что
![\[\frac{MA}{MC}=\frac{MD}{MB},\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-751c56f407c847394cd9b6f75188f85b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
откуда сразу же получаем, что
![\[MA\cdot MB=MC\cdot MD,\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e5d0dc2bb6cb35d3617765b7080c938c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
что и требовалось доказать.
Источник: Я.П. Понарин “Элементарная геометрия”, т. 1 “Планиметрия, преобразования плоскости”.
1 Теорема Паскаля для шестиугольника | Математика, которая мне нравится:
[...] По свойству секущих к окружности [...]
25 Январь 2012, 0:062 Александр:
Спасибо! Просто спасли меня!
[Ответить]
6 Июнь 2012, 21:003 Сампет:
Ооооо! А я, учитель математики, даже и не знала об этой теореме! Когда возникли очередные трудности с задачей, полезла в Интернет и обнаружила это. Долго разбиралась, но поняла. Прочитаю это объяснение ученикам. А то они думают, что я ничего не знаю.
[Ответить]
30 Март 2014, 20:154 Падаван Математики:
Просто божественно! Нигде не мог найти, а здесь есть! И все хорошо объясняют!!!!
[Ответить]
18 Май 2016, 12:495 Женя:
огромное спасибо
[Ответить]
7 Октябрь 2016, 2:24