Математика, которая мне нравится

Определение. Секущей к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Теорема (свойство секущих к окружности). Пусть прямая , проходящая через точку , не лежащую на окружности , пересекает эту окружность в точках и . Тогда произведение длин отрезков и есть величина постоянная (это произведение не зависит от выбора прямой ).

Доказательство. Возможны два случая: точка может лежать как внутри окружности , так и вне ее. Проведем через точку две произвольные секущие — прямые и , пересекающие в точках и , и соответственно.

Рассмотрим треугольники и . Они подобны, поскольку и как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. В случае, когда точка лежит вне окружности, углы и равны как смежные к равным углам и . Из подобия и следует, что

   

откуда сразу же получаем, что

   

что и требовалось доказать.

Источник: Я.П. Понарин “Элементарная геометрия”, т. 1 “Планиметрия, преобразования плоскости”.