Секущие к окружности
Определение. Секущей к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.
Теорема (свойство секущих к окружности). Пусть прямая , проходящая через точку
, не лежащую на окружности
, пересекает эту окружность в точках
и
. Тогда произведение длин отрезков
и
есть величина постоянная (это произведение не зависит от выбора прямой
).
Доказательство. Возможны два случая: точка может лежать как внутри окружности
, так и вне ее. Проведем через точку
две произвольные секущие — прямые
и
, пересекающие
в точках
и
,
и
соответственно.
Рассмотрим треугольники и
. Они подобны, поскольку
и
как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. В случае, когда точка
лежит вне окружности, углы
и
равны как смежные к равным углам
и
. Из подобия
и
следует, что
откуда сразу же получаем, что
что и требовалось доказать.
Источник: Я.П. Понарин “Элементарная геометрия”, т. 1 “Планиметрия, преобразования плоскости”.
1 Теорема Паскаля для шестиугольника | Математика, которая мне нравится:
[...] По свойству секущих к окружности [...]
25 Январь 2012, 0:062 Александр:
Спасибо! Просто спасли меня!
[Ответить]
6 Июнь 2012, 21:003 Сампет:
Ооооо! А я, учитель математики, даже и не знала об этой теореме! Когда возникли очередные трудности с задачей, полезла в Интернет и обнаружила это. Долго разбиралась, но поняла. Прочитаю это объяснение ученикам. А то они думают, что я ничего не знаю.
[Ответить]
30 Март 2014, 20:154 Падаван Математики:
Просто божественно! Нигде не мог найти, а здесь есть! И все хорошо объясняют!!!!
[Ответить]
18 Май 2016, 12:495 Женя:
огромное спасибо
[Ответить]
7 Октябрь 2016, 2:24