Распечатать запись Распечатать запись

Секущие к окружности

Определение. Секущей к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Теорема (свойство секущих к окружности). Пусть прямая l, проходящая через точку M, не лежащую на окружности \omega, пересекает эту окружность в точках A и B. Тогда произведение длин отразков MA и MB есть величина постоянная (это произведение не зависит от выбора прямой l).

Доказательство. Возможны два случая: точка M может лежать как внутри окружности \omega, так и вне ее. Проведем через точку M две произвольные секущие — прямые l_1 и l_2, пересекающие \omega в точках A и B, C и D соответственно.

Рассмотрим треугольники MAD и MCB. Они подобны, поскольку \angle ABC=\angle ADC и \angle BAD=\angle BCD как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. В случае, когда точка M лежит вне окружности, углы MAD и MCB равны как смежные к равным углам BAD и BCD. Из подобия \Delta MAD и \Delta MCB следует, что

\displaystyle \frac{MA}{MC}=\frac{MD}{MB},

откуда сразу же получаем, что

MA\cdot MB=MC\cdot MD,

что и требовалось доказать.

Источник: Я.П. Понарин “Элементарная геометрия”, т. 1 “Планиметрия, преобразования плоскости”.

Комментариев: 4

  1. 2 Александр:

    Спасибо! Просто спасли меня!

    [Ответить]

  2. 3 Сампет:

    Ооооо! А я, учитель математики, даже и не знала об этой теореме! Когда возникли очередные трудности с задачей, полезла в Интернет и обнаружила это. Долго разбиралась, но поняла. Прочитаю это объяснение ученикам. А то они думают, что я ничего не знаю. :-(

    [Ответить]

  3. 4 Падаван Математики:

    Просто божественно! Нигде не мог найти, а здесь есть! И все хорошо объясняют!!!!

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение