Распечатать запись Распечатать запись

Чет и нечет

Студенты иногда задают забавные вопросы. Каждый год находится кто-нибудь, кто спрашивает: “А нуль четное число или нечетное?’’ И они задумываются… Редко случается так, что кто-то сразу может ответить на сей коварный вопрос. Тогда приходится вмешаться в возникшую дискуссию: “Нуль делится на 2?’’ Через некоторое время: “ Да’’. Тогда снова задаю тот же вопрос: “Так нуль — число четное или нечетное?’’ И тут уже все понятно: “Четное!’’

А теперь давайте посмотрим, как четность помогает решать задачи. Но для начала все-таки определим, какие числа будем называть четными, а какие — нечетными.

Определение. Целое число называется четным, если оно делится на 2 без остатка, и нечетным, если оно на 2 не делится.

Четные числа: -8,0,24,88, нечетные числа: -21,3,89,121.

Любое четное целое число представимо в виде 2k, где kцелое число. Любое нечетное число представимо в виде 2k+1, где k — целое число (разумеется, любое нечетное число при делении на 2 дает остаток 1).

Дальше приведу примеры решения различных задач.

Задача 1. Докажите, что сумма

а) двух четных чисел или двух нечетных чисел есть число четное;

б) двух чисел разной четности есть число нечетное.

Решение. а) Возьмем для начала два четных числа: 2k и 2l. Их сумма равна 2k+2l=2(k+l)=2m, где m=k+l — целое число. Таким образом, сумма — четное число.

Сумма двух нечетных чисел 2k+1 и 2l+1 равна 2k+1+2l+1=2(k+l+1)=2m, где m=k+l+1 — целое число. И сумма четна.

б) 2k+2l+1=2(k+l)+1=2m+1, где m — целое число. Сумма нечетна.

Задача 2. Докажите, что произведение

а) двух нечетных чисел — нечетное число;

б) четного числа на любое число — четное число.

Решение этой задачи практически такое же, как и предыдущей. Попробуйте доказать эти утверждения самостоятельно.

Эти две задачи часто будем использовать в дальнейшем.

Задача 3. Можно ли разменять 25 рублей десятью монетами достоинством 1, 3 и 5 руб.?

Решение. Если мы сложим четное число каких-либо целых чисел, то получим число четное (см. задачу 1), а 25 — нечетное число.

Ответ. Нельзя.

Задача 4. Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Решение. Ясно, что каждое из чисел равно 1 или -1, причем -1 четное число. А чтобы сумма всех чисел была равна нулю, нужно, чтобы 1 и -1 было поровну, т.е. по 11. Получили противоречие, которое и говорит о том, что сумма всех чисел не может быть равна нулю.

Задача 5. В деревне Малой имеется 19 телефонов. Можно ли так их соединить между собой проводами, чтобы каждый телефон был соединен ровно с 5 другими?

Решение. Предположим, что мы соединила телефоны так, как требуется в условии задачи. Подсчитаем количество проводов, которые нам потребуются, чтобы соединить пары телефонов. Для наглядности удобно нарисовать картинку, обозначив телефоны точками и расположив их по кругу, а каждый провод, соединяющий пару телефонов, изобразить отрезком). Каждый из 19 телефонов соединен с 5-ю другими, тем самым, всего 19\cdot5=95, а теперь мы должны учесть, что каждый провод мы посчитали дважды (он отходит как от одного, так и от другого телефона). Но 95 на 2 не делится. Значит, это сделать невозможно.

А теперь несколько задач на четность для самостоятельного решения.

1. Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 49049?

2. В лагере 100 человек, и каждый день дежурят трое. Может ли через некоторое время оказаться, что каждый с каждым дежурил ровно один раз?

3. Конь вышел с поля a1 шахматной доски и, сделав некоторое число ходов, снова вернулся на это поле. Мог ли он сделать нечетное число ходов?

4. На плоскости расположены 9 шестеренок: первая сцеплена со второй, вторая — с третьей и т.д., девятая — с первой. Могут ли они все вращаться?

5. В строку выписаны числа от 1 до 10. Можно ли поставить между ними знаки “+’’ и “-’’ так, чтобы полученное выражение было равно нулю?

6. Каждый человек в мире пожал какое-то количество рук. Докажите, что число людей, пожавших нечетное число рук, четно.

Полезные книги

С. А. Генкин, И. В. Итенберг, Д. В. Фомин, “Ленинградские математические кружки”

А.В. Спивак, “Тысяча и одна задача по математике”

Один комментарий

  1. 1 Инвариант | Математика, которая мне нравится:

    [...] не являются, поскольку при любой замене сохраняется четность числа букв У в [...]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение