Магическая числовая пирамида в десятичной системе счисления

С Новым годом, друзья! И пусть он будет счастливым и удачным для вас!

Красивая картинка, не правда ли?


В чем же тут подвох? Давайте рассмотрим, как она получается. Далее пользуемся некоторыми сведениями о десятичной системе счисления.

Так, любое число в десятичной системе счисления записывается как сумма его цифр (

    \[0,1,2,3,\ldots,9\]

), умноженных на степени числа

    \[10\]

. Например, число

    \[4356=4\cdot10^3+3\cdot10^2+5\cdot10+6 .\]

Обозначим число, стоящее слева в

    \[n\]

-й строке нашей пирамиды, через

    \[c_n\]

. Так,

    \[c_1=1, c_2=12, c_3=123\]

и т.д. Очевидно, что

    \[c_n=10\cdot c_{n-1}+n .\]

Действительно, например,

    \[c_4=1234=10\cdot 123+4 .\]

Кроме того,

    \[c_n-c_{n-1}=e_n\]

— это число, состоящее из

    \[n\]

единиц.

В самом деле,

    \[\displaystyle c_n-c_{n-1}=\sum_{k=1}^n k\cdot10^{n-k}-\sum_{k=1}^{n-1}k\cdot10^{n-1-k}=\]

    \[\displaystyle =10^{n-1}+\sum_{k=2}^nk\cdot10^{n-k}-\sum_{k=2}^{n}(k-1)\cdot10^{n-k}=\]

    \[\displaystyle =10^{n-1}+\sum_{k=2}^n(k-k+1)\cdot10^{n-k}=10^{n-1}+\sum_{k=2}^n10^{n-k}=\sum_{k=1}^n10^{n-k},\]

следовательно,

    \[c_n-c_{n-1}=e_n\]

.

И снова пример:

    \[c_5-c_4=12345-1234=11111\]

.

Теперь обозначим через

    \[d_k\]

число вида

    \[987\ldots k\]

(последняя цифра этого числа

    \[k\]

). Ясно, что

    \[k\]

принимает значения от

    \[0\]

до

    \[9\]

. Тогда

    \[e_n\cdot10-c_n=d_{10-n} .\]

Действительно,

    \[\displaystyle d_{10-n}=\sum_{k=1}^n(10-k)\cdot10^{n-k}=\sum_{k=1}^n10\cdot10^{n-k}-\sum_{k=1}^n k\cdot10^{n-k}=10e_n-c_n .\]

Пример:

    \[10e_4-c_4=11110-1234=9876=d_{10-4}=d_6\]

.

А теперь вернемся к нашей пирамиде. Поскольку

    \[8=10-2\]

, то можно записать

    \[c_n\cdot8+n=10c_n-2c_n+n .\]

Представим

    \[2c_n\]

в виде суммы:

    \[2c_n=c_n+c_n\]

:

    \[c_n\cdot8+n=10c_n-c_n+n-c_n .\]

Воспользуемся тем, что

    \[c_n=10c_{n-1}+n\]

:

    \[c_n\cdot8+n=10c_n-10c_{n-1}-c_n=10(c_n-c_{n-1})-c_n .\]

Поскольку

    \[c_n-c_{n-1}=e_n\]

, то получаем

    \[c_n\cdot8+n=10e_n-c_n=d_{10-n}\]

по доказанному.

Таким образом, тайна магической пирамиды раскрыта.

А для тех, кто ей заинтересовался, вопрос: Вы можете найти эквивалент этой пирамиде в системе счисления с основанием

    \[2\]

, с основанием

    \[8\]

?

Источник: http://goutte-de-science.net/blog/pyramide-numerique-magique-en-base-10/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=pyramide-numerique-magique-en-base-10

Один комментарий

  1. 1 Murad:

    Знаем, что каждое целое число 1(единица) и с помощью 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно сколь угодно целое число – единиц. 10 единиц сложить на 9 единиц, то 19 единиц, а 1111111111х111111111= 123456789987654321. Если 10 единиц: 0111111111 сложить на 10 единиц: 1111111110 получится 20 единиц, 0111111111х1111111110= 0123456789876543210. Если 11 единиц: 01111111111 сложить на 10 единиц: 1111111110 получится 21 единиц, 01111111111х1111111110= 01234567899876543210. Эти операции можно выполнить 20-разрядных калькуляторах. Если 2 рубик порядка 10 – белый и черный, поставим в разных концах отрезка длины 20м и придадим черному заряд минус, а белому плюс, то они встречаются в середине отрезка, если в пути нет преград, каждый проходя 10м пути. Затем им дадим одноименные заряды, то они займут первоначальные положения. При этом середина отрезка имеет номер 0, а концы 9.
    Первое число 01234567899876543210 есть номер одного созданного тела, причем женского пола, а второе – дополнение к первому числу 98765432100123456789 есть номер мужского пола, причем они образуют пару. Отсюда можно сделать выводы: 20 градуса сделать нулевым.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение