Кривая дракона
Приближается Новый год. 2012 год по восточному календарю — год дракона. В связи с этим моя давняя хорошая подруга и однокурсница преложила написать об этом фрактале — кривой дракона.
Кривая дракона — это кривая без самопересечений, которая определяется рекурсивно. Описать эту кривую можно, задавая поворот налево цифрой , а поворот направо — цифрой
. Важно, что все повороты совершаются на один и тот же угол! Таким образом, задавая значение
или
на каждом шаге, мы можем задать кривую.
Порядком кривой дракона называется количество звеньев получающейся ломаной. Кривая первого порядка определяется просто как . Для кривых более высоких порядков справа приписываем
, а затем еще дополняем цифрами, которые стоят левее этой единицы справа налево, записывая их слева направо, но только заменяем нули на единицы, а единицы на нули.
Для того чтобы все стало совсем понятным, давайте посмотрим, как запишутся кривые дракона второго и третьего порядков. Кривая второго порядка: берем , приписываем справа
:
, а теперь справа добавляем единицу, замененную на нуль, получаем
. Кривая третьего порядка: берем
, приписываем справа единицу:
, а теперь добавляем число, которое стоит слева от последней единицы (это
), записанное в обратном порядке (
), заменяя нули на единицы и обратно, т.е. число
, получаем
. Попробуйте сами получить выражение для кривой четвертого порядка (подсказка: у Вас должно получиться
).
Если мы будем поворачивать все время на угол , то получится вот такая кривая:
Однако самый известный, наверное, дракон — дракон Хартера – Хейуэя — получается, если угол поворота взять равным . Вот так он выглядит:
Получается такой дракон последовательными итерациями:
(здесь приведены кривые первых пяти порядков и кривая девятого порядка).
Этот дракон является также предельным множеством для следующей системы итеративных функций на комплексной плоскости:
Кривую дракона можно складывать из полоски бумаги. Проблема только в том, что кривая высокого порядка таким образом не получится. В самом деле, при восьмом складывании получается уже слоев, поэтому вряд ли удастся сложить полоску больше семи раз. Тем не менее, попробуйте это сделать, довольно интересно наблюдать, как кривая дракона создается своими собственными руками!
Ну и еще один интересный факт. Поставив двух драконов Хейуэя спина к спине (один повернут относительно другого на и они плотно, без пробелов примыкают друг к другу), получим двойного дракона:
Да и вообще замостить плоскость драконами можно разными способами. Например, такими:
И пусть в наступающем году повезет тем, кто храбр и смел, кто готов бороться и побеждать!
Источники:
http://mathworld.wolfram.com/DragonCurve.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve
http://fractalworld.xaoc.ru/Dragon_curve
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1970/02/krivye_drakona.htm
Оставьте свой отзыв