Распечатать запись Распечатать запись

Кривая дракона

Приближается Новый год. 2012 год по восточному календарю — год дракона. В связи с этим моя давняя хорошая подруга и однокурсница преложила написать об этом фрактале — кривой дракона.

Кривая дракона — это кривая без самопересечений, которая определяется рекурсивно. Описать эту кривую можно, задавая поворот налево цифрой 1, а поворот направо — цифрой 0. Важно, что все повороты совершаются на один и тот же угол! Таким образом, задавая значение 1 или 0 на каждом шаге, мы можем задать кривую.

Порядком кривой дракона называется количество звеньев получающейся ломаной. Кривая первого порядка определяется просто как 1. Для кривых более высоких порядков справа приписываем 1, а затем еще дополняем цифрами, которые стоят левее этой единицы справа налево, записывая их слева направо, но только заменяем нули на единицы, а единицы на нули.

Для того чтобы все стало совсем понятным, давайте посмотрим, как запишутся кривые дракона второго и третьего порядков. Кривая второго порядка: берем 1, приписываем справа 1: 11, а теперь справа добавляем единицу, замененную на нуль, получаем 110. Кривая третьего порядка: берем 110, приписываем справа единицу: 1101, а теперь добавляем число, которое стоит слева от последней единицы (это 110), записанное в обратном порядке (011), заменяя нули на единицы и обратно, т.е. число 100, получаем 1101100. Попробуйте сами получить выражение для кривой четвертого порядка (подсказка: у Вас должно получиться 110110011100100).

Если мы будем поворачивать все время на угол \alpha=110^{\circ}, то получится вот такая кривая:

Однако самый известный, наверное, дракон — дракон Хартера – Хейуэя — получается, если угол поворота взять равным 90^{\circ}. Вот так он выглядит:

Получается такой дракон последовательными итерациями:


(здесь приведены кривые первых пяти порядков и кривая девятого порядка).

Этот дракон является также предельным множеством для следующей системы итеративных функций на комплексной плоскости:

\displaystyle f_1(z)=\frac{(1+i)z}{2},f_2(z)=1-\frac{(1-i)z}{2} .

Кривую дракона можно складывать из полоски бумаги. Проблема только в том, что кривая высокого порядка таким образом не получится. В самом деле, при восьмом складывании получается уже 2^8=256 слоев, поэтому вряд ли удастся сложить полоску больше семи раз. Тем не менее, попробуйте это сделать, довольно интересно наблюдать, как кривая дракона создается своими собственными руками!

Ну и еще один интересный факт. Поставив двух драконов Хейуэя спина к спине (один повернут относительно другого на 180^{\circ} и они плотно, без пробелов примыкают друг к другу), получим двойного дракона:

Да и вообще замостить плоскость драконами можно разными способами. Например, такими:

И пусть в наступающем году повезет тем, кто храбр и смел, кто готов бороться и побеждать!

Источники:

http://mathworld.wolfram.com/DragonCurve.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve

http://fractalworld.xaoc.ru/Dragon_curve

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1970/02/krivye_drakona.htm

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение