Кривая дракона

Приближается Новый год. 2012 год по восточному календарю — год дракона. В связи с этим моя давняя хорошая подруга и однокурсница преложила написать об этом фрактале — кривой дракона.

Кривая дракона — это кривая без самопересечений, которая определяется рекурсивно. Описать эту кривую можно, задавая поворот налево цифрой

    \[1\]

, а поворот направо — цифрой

    \[0\]

. Важно, что все повороты совершаются на один и тот же угол! Таким образом, задавая значение

    \[1\]

или

    \[0\]

на каждом шаге, мы можем задать кривую.

Порядком кривой дракона называется количество звеньев получающейся ломаной. Кривая первого порядка определяется просто как

    \[1\]

. Для кривых более высоких порядков справа приписываем

    \[1\]

, а затем еще дополняем цифрами, которые стоят левее этой единицы справа налево, записывая их слева направо, но только заменяем нули на единицы, а единицы на нули.

Для того чтобы все стало совсем понятным, давайте посмотрим, как запишутся кривые дракона второго и третьего порядков. Кривая второго порядка: берем

    \[1\]

, приписываем справа

    \[1\]

:

    \[11\]

, а теперь справа добавляем единицу, замененную на нуль, получаем

    \[110\]

. Кривая третьего порядка: берем

    \[110\]

, приписываем справа единицу:

    \[1101\]

, а теперь добавляем число, которое стоит слева от последней единицы (это

    \[110\]

), записанное в обратном порядке (

    \[011\]

), заменяя нули на единицы и обратно, т.е. число

    \[100\]

, получаем

    \[1101100\]

. Попробуйте сами получить выражение для кривой четвертого порядка (подсказка: у Вас должно получиться

    \[110110011100100\]

).

Если мы будем поворачивать все время на угол

    \[\alpha=110^{\circ}\]

, то получится вот такая кривая:

Однако самый известный, наверное, дракон — дракон Хартера – Хейуэя — получается, если угол поворота взять равным

    \[90^{\circ}\]

. Вот так он выглядит:

Получается такой дракон последовательными итерациями:


(здесь приведены кривые первых пяти порядков и кривая девятого порядка).

Этот дракон является также предельным множеством для следующей системы итеративных функций на комплексной плоскости:

    \[\displaystyle f_1(z)=\frac{(1+i)z}{2},f_2(z)=1-\frac{(1-i)z}{2} .\]

Кривую дракона можно складывать из полоски бумаги. Проблема только в том, что кривая высокого порядка таким образом не получится. В самом деле, при восьмом складывании получается уже

    \[2^8=256\]

слоев, поэтому вряд ли удастся сложить полоску больше семи раз. Тем не менее, попробуйте это сделать, довольно интересно наблюдать, как кривая дракона создается своими собственными руками!

Ну и еще один интересный факт. Поставив двух драконов Хейуэя спина к спине (один повернут относительно другого на

    \[180^{\circ}\]

и они плотно, без пробелов примыкают друг к другу), получим двойного дракона:

Да и вообще замостить плоскость драконами можно разными способами. Например, такими:

И пусть в наступающем году повезет тем, кто храбр и смел, кто готов бороться и побеждать!

Источники:

http://mathworld.wolfram.com/DragonCurve.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve

http://fractalworld.xaoc.ru/Dragon_curve

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1970/02/krivye_drakona.htm

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение