Кривая дракона

21 Декабрь 2011, 0:03

Приближается Новый год. 2012 год по восточному календарю — год дракона. В связи с этим моя давняя хорошая подруга и однокурсница преложила написать об этом фрактале — кривой дракона.

Кривая дракона — это кривая без самопересечений, которая определяется рекурсивно. Описать эту кривую можно, задавая поворот налево цифрой $1$ , а поворот направо — цифрой $0$ . Важно, что все повороты совершаются на один и тот же угол! Таким образом, задавая значение $1$ или $0$ на каждом шаге, мы можем задать кривую.

Порядком кривой дракона называется количество звеньев получающейся ломаной. Кривая первого порядка определяется просто как $1$ . Для кривых более высоких порядков справа приписываем $1$ , а затем еще дополняем цифрами, которые стоят левее этой единицы справа налево, записывая их слева направо, но только заменяем нули на единицы, а единицы на нули.

Для того чтобы все стало совсем понятным, давайте посмотрим, как запишутся кривые дракона второго и третьего порядков. Кривая второго порядка: берем $1$ , приписываем справа $1$ : $11$ , а теперь справа добавляем единицу, замененную на нуль, получаем $110$ . Кривая третьего порядка: берем $110$ , приписываем справа единицу: $1101$ , а теперь добавляем число, которое стоит слева от последней единицы (это $110$ ), записанное в обратном порядке ( $011$ ), заменяя нули на единицы и обратно, т.е. число $100$ , получаем $1101100$ . Попробуйте сами получить выражение для кривой четвертого порядка (подсказка: у Вас должно получиться $110110011100100$ ).

Если мы будем поворачивать все время на угол $\alpha=110^{\circ}$ , то получится вот такая кривая:

Однако самый известный, наверное, дракон — дракон Хартера – Хейуэя — получается, если угол поворота взять равным $90^{\circ}$ . Вот так он выглядит:

Получается такой дракон последовательными итерациями:

(здесь приведены кривые первых пяти порядков и кривая девятого порядка).

Этот дракон является также предельным множеством для следующей системы итеративных функций на комплексной плоскости:

$f_1(z)=\frac{(1+i)z}{2},f_2(z)=1-\frac{(1-i)z}{2} .$

Кривую дракона можно складывать из полоски бумаги. Проблема только в том, что кривая высокого порядка таким образом не получится. В самом деле, при восьмом складывании получается уже $2^8=256$ слоев, поэтому вряд ли удастся сложить полоску больше семи раз. Тем не менее, попробуйте это сделать, довольно интересно наблюдать, как кривая дракона создается своими собственными руками!

Ну и еще один интересный факт. Поставив двух драконов Хейуэя спина к спине (один повернут относительно другого на $180^{\circ}$ и они плотно, без пробелов примыкают друг к другу), получим двойного дракона: