Кривая дракона

21 Декабрь 2011, 0:03

Приближается Новый год. 2012 год по восточному календарю — год дракона. В связи с этим моя давняя хорошая подруга и однокурсница преложила написать об этом фрактале — кривой дракона.

Кривая дракона — это кривая без самопересечений, которая определяется рекурсивно. Описать эту кривую можно, задавая поворот налево цифрой

$1$

, а поворот направо — цифрой

$0$

. Важно, что все повороты совершаются на один и тот же угол! Таким образом, задавая значение

$1$

или

$0$

на каждом шаге, мы можем задать кривую.

Порядком кривой дракона называется количество звеньев получающейся ломаной. Кривая первого порядка определяется просто как

$1$

. Для кривых более высоких порядков справа приписываем

$1$

, а затем еще дополняем цифрами, которые стоят левее этой единицы справа налево, записывая их слева направо, но только заменяем нули на единицы, а единицы на нули.

Для того чтобы все стало совсем понятным, давайте посмотрим, как запишутся кривые дракона второго и третьего порядков. Кривая второго порядка: берем

$1$

, приписываем справа

$1$

$11$

, а теперь справа добавляем единицу, замененную на нуль, получаем

$110$

. Кривая третьего порядка: берем

$110$

, приписываем справа единицу:

$1101$

, а теперь добавляем число, которое стоит слева от последней единицы (это

$110$

), записанное в обратном порядке (

$011$

), заменяя нули на единицы и обратно, т.е. число

$100$

, получаем

$1101100$

. Попробуйте сами получить выражение для кривой четвертого порядка (подсказка: у Вас должно получиться

$110110011100100$

Если мы будем поворачивать все время на угол

$\alpha=110^{\circ}$

, то получится вот такая кривая:

Однако самый известный, наверное, дракон — дракон Хартера – Хейуэя — получается, если угол поворота взять равным

$90^{\circ}$

. Вот так он выглядит:

Получается такой дракон последовательными итерациями:

(здесь приведены кривые первых пяти порядков и кривая девятого порядка).

Этот дракон является также предельным множеством для следующей системы итеративных функций на комплексной плоскости:

$\displaystyle f_1(z)=\frac{(1+i)z}{2},f_2(z)=1-\frac{(1-i)z}{2} .$

Кривую дракона можно складывать из полоски бумаги. Проблема только в том, что кривая высокого порядка таким образом не получится. В самом деле, при восьмом складывании получается уже

$2^8=256$

слоев, поэтому вряд ли удастся сложить полоску больше семи раз. Тем не менее, попробуйте это сделать, довольно интересно наблюдать, как кривая дракона создается своими собственными руками!

Ну и еще один интересный факт. Поставив двух драконов Хейуэя спина к спине (один повернут относительно другого на

$180^{\circ}$