Распечатать запись Распечатать запись

Тесты и теория вероятностей

В последнее время в Интернете распространилась такая вот задачка

Вопрос переводится следующим образом:

Если выбрать один из ответов наугад, какова вероятность того, что он будет правильным?

Приведу здесь размышления по поводу этой задачи Тито Элиатрона (Jose A. Prado-Bassas), профессора математики в университете Севильи, который также является автором блога Tito Eliatron Dixit, посвященного математике.

Кто из вас никогда не проходил тест с несколькими вариантами ответов? И еще, кто из вас не использовал метод “научного тыка”, то есть не выбирал ответ случайным образом при прохождении этих тестов? Наверное, почти в любом деле вы отвечали на такие вопросы, составители которых старались исключить случайность, для чего, как правило, ложные ответы наказывались больше по сравнению с вопросами, оставшимися без ответа (0 очков за отсутствие ответа, и -1 за неверный ответ, например).

Но конечно, когда математики составляют тесты, которые предусматривают наказание за неправильные ответы, чтобы избежать случайности, это считается неприличным и некрасивым. Нужно придумать что-то лучшее, и тогда появляется идея…

Этот вопрос был назван “парадоксом математики” или даже “лучшим вопросом в истории по терии вероятности”. Я бы не сказал так, но правда состоит в том, что этот вопрос действительно интересен. Далее мы его обсудим и попытаемся ответить на него так, чтобы удовлетворить всех.

Во-первых, когда мы говорим о вероятности, а не чем-либо другом, нужно использовать интуицию. И здесь интуиция совпадает с правилом Лапласа, которое названо по имени французского математика Пьера Симона Лапласа (см. здесь):

\displaystyle P(a)=\frac{N(A)}{N},

где N(A) — число исходов, благоприятствующих событию A, N — общее число исходов.

Прежде чем ответить на этот вопрос рассмотрим более простой случай. Предположим, нужно ответить на вопрос:

“Какова вероятность того, что при подбрасывании монеты выпадет решка?”

и у нас есть возможные ответы:

(а) 25% (б) 50% (в) 75% (г) 100%.

Какова вероятность угадать правильный ответ? Это просто. Правильный ответ, очевидно, (б), следовательно, имеется один благоприятный исход из четырех возможных. Значит, искомая вероятность равна 25%. Это не является ответом на вопрос о монете, это ответ на второй вопрос, о вероятности выбора правильного ответа, если мы выбираем ответ случайно. Это две разные вероятности, более того, различные события.

Несколько усложним ситуацию. Вопрос оставим тем же:

“Какова вероятность того, что при подбрасывании монеты выпадет решка?”

А ответы изменим:

а) 10% б) 20% в) 30% г) 40%.

В этих новых условиях какова вероятность выбрать правильный ответ, если мы выбираем ответ случайно? Лаплас, помоги нам. Теперь у нас есть, опять же, четыре возможных случая (4 варианта ответа), но благоприятных среди них нет… Так что Лаплас говорит, что вероятность успеха составляет 0%. Ну, скажем, наш учитель, который составлял тест, — редиска. Как и прежде, у нас есть 2 различных события. И вероятность того, что выпадет орел, равна 1/2, или 50%, в то время как вероятность другого события, случайного выбора правильного ответа, составляет в этом случае 0%.

А как же вопрос на миллион долларов, который мы видим на картинке? Что ж, он сложнее, так как вопрос теста и второй вопрос, который мы задаем себе (в приведенных выше случаях эти вопросы не зависят друг от друга) тесно связаны между собой. Первый относится ко второму, а воторой — к первому, они взаимозависимы. О, Боже, умереть и не встать! Ну хорошо, давайте посмотрим, сможет ли нам помочь Лаплас. Для этого нам необходимо знать правильный ответ, так что давайте идти шаг за шагом, и мы будем пользоваться старым трюком сведения к абсурду (то есть мы начинаем с некоторого предположения. Делаем логические выводы, и если мы приходим к противоречию, то предположение должно быть ложным).

Предположим, что правильный ответ (а) 25%. Это означает, что вероятность угадывания правильного ответа составляет 25%. Но поскольку вариант (г) совпадает с (а), то имеем 2 благоприятных варианта из четырех возможных, так что Лаплас говорит (и не ошибается), что вероятность угадывания правильного ответа будет 50%. Но разве не 25%? Вот мы и пришли к противоречию: если предположить, что вероятность составляет 25%, то она должна быть равна 50%. Таким образом, наше исходное предположение ложно. Значит, (а) не может быть правильным ответом.

Предположим, что правильный ответ (б) 50%. Это означает, что вероятность угадать правильный ответ равна 50% (это имеет смысл, потому что прежде у нас уже выходило такое значение). Но в данном случае Лаплас говорит, что есть только 4 возможных благоприятных исхода, и вероятность угадывания будет 25%. Снова мы приходим к противоречию, и (б) не может быть правильным ответом.

Предположим, что правильный ответ (с) 60%. Это, пожалуй, самый простой из всех вариантов. Это означает, что вероятность угадать правильный ответ равна 60% (это уже кажется довольно странным, не правда ли? Но давайте рассмотрим и этот случай). Тогда, как и в предыдущем случае, нет ни одного благоприятного исхода из 4 возможных, тогда вероятности составляют 25% и 60%. Значит, вариант (с) тоже не подходит.

Предположим, что правильный ответ (г) 25%. Ну, если вы посмотрите, этот вариант идентичен первому и приводит к противоречию, так что (г) мы тоже исключаем.

Давайте посмотрим, что я пропустил. Мы исключили все возможности, которые могут быть?

Да, как и во втором примере с монетой, все ответы неправильные. Так чему равна вероятность угадать верный ответ, если мы выберем случайный ответ? Ну, что бы мы ни выбрали, это будет неверно, поэтому 0 вариантов из 4 возможных благоприятных, и Лаплас говорит, что ответ 0%.

Что происходит на самом деле? Ну, если у нас была возможность выбрать несколько вариантов ответов, то это был бы парадокс в стиле известного парадокса брадобрея Бертрана Рассела, парадокса лжеца или несколько менее известного парадокса Дон-Кихота.

Последний появляется в главе LI второй части Дон-Кихота. В ней Санчо является губернатором острова Баратария, и должен разрешать споры между своими подданными. Вскоре ему представляют следующую дилемму. На реке мост, соединяющий два берега, причем действует следующий закон: “Тому, кто переходит через мост, должны задать вопрос о его намерениях. Рассказав правду, он может пройти, если же он солгал, то он будет повешен”. Судья должен определить судьбу тех, кто проходит по мосту. Но в один прекрасный день парень, который проходит через мост, на вопрос о своих намерениях сказал, что пришел, чтобы его повесили на виселице, и только. В этих условиях судья идет к Санчо, чтобы решить, что делать.

Очевидно, что это яркий пример кругового парадокса рассуждения: если бы его повесили, он сказал бы правду, и ему должны были бы позволить пройти, но если бы его отпустили, то он бы солгал и должен был быть повешен.

Нечто подобное происходит с нашим вопросом. Если предположить, что логично, на первый взгляд, что ответ 25%, поскольку два ответа одинаковы, то вероятность составлять 50%, но ответ 50% только один, и вероятность его выбора равна 25%, и мы будем начинать сначала. Круговая аргументация.

Давайте теперь все усложним еще больше, и поставим еще один вопрос вопрос. Тот, который я назвал бы лучшим вопросом по теории вероятности всех времен и народов (в действительности, его уже тоже задавали).

Вы видите разницу? Сейчас мы изменили ответ (с): было 60%, стало 0%.

Такое же рассуждение, как выше, в случаях 1, 2 и 4 исключает ответы (а), (б) и (г). Допустим, что верный ответ (с), т.е. вероятность успеха составляет 0%. Затем Лаплас бы сказал, что 1 из 4 возможных исходов благоприятный, то есть правильным ответом будет 25%, и (с) — тоже неправильный ответ.

Как вы думаете, что произойдет в этом случае? На этот раз здесь не будет решения: мы оставляем возможность решить эту задачу вам, чтобы вы могли над ней подумать и поделиться вашим впечатлениями.

Но мы можем также подумать о том, что будет при других вариантах ответов, например, в следующем случае:

Что происходит в этом случае? Какой ответ правильный? Если вы не удовлетворены тем, что рассказаносегодня, вы также можете заинтересоваться другими парадоксами, или какими-либо из тех вещей, которые любил Гёдель…

Источник: http://amazings.es/2011/11/07/dando-respuesta-a-la-mejor-pregunta-de-estadistica-de-la-historia-o-por-que-los-matematicos-no-hacemos-examenes-tipo-test/