Математика, которая мне нравится

Сначала немного о самом Блезе Паскале (1623–1662).

Этот ученый XVII века оставил свой след не только в точных науках, таких как физика и математика, но и в философии, и в литературе.  Он является автором основного закона гидростатики, одним из основателей математического анализа, теории вероятности и проективной геометрии. Кроме того, Паскаль создал суммирующую машину.

Теорема Паскаля. Пусть — неравнобедренный треугольник, — описанная вокруг него окружность. Пусть прямые и — касательные к окружности в точках и соответственно. Пусть и — точки пересечения касательных с прямыми, на которых лежат стороны треугольника . Тогда точки и лежат на одной прямой — прямой Паскаля треугольника .

Для доказательства этой теоремы нам понадобится теорема Менелая, но только ее тригонометрическая форма, которую мы сейчас и получим.

Тригонометрическая форма теоремы Менелая. Пусть дан треугольник . Пусть на сторонах треугольника и взяты точки и соответственно. Пусть точка лежит на продолжении стороны . Обозначим через

.

Точки и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

.

Доказательство. Для того чтобы точки и лежали на одной прямой, необходимо и достаточно (теорема Менелая), чтобы выполнялось условие

Рассмотрим треугольники и . Они имеют общую высоту из вершины , поэтому — это отношение их площадей. Кроме того, у этих треугольников есть общая сторона . Значит, их площади относятся как высоты, проведенные к этой стороне. Тем самым, имеем

Аналогично из сравнения площадей треугольников и и их высот, опущенных на общую сторону имеем

,

а из сравнения площадей треугольников и и их высот, опущенных на общую сторону имеем

.

Перемножаем три полученные равенства и получаем требуемое.

А теперь давайте докажем теорему Паскаля.

Доказательство теоремы Паскаля для треугольника.

Обозначим углы следующим образом

(как угол между касательной и хордой),

(по той же причине),

(то же самое, дальше это писать не буду, все аналогично),

,

,

.

Проверяем условие теоремы Менелая в тригонометрической форме (для точек и :

,

поскольку из формул приведения .

Источник: Я.И. Понарин “Элементарная геометрия”. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости.