Теорема Паскаля для треугольника
Сначала немного о самом Блезе Паскале (1623–1662).
Этот ученый XVII века оставил свой след не только в точных науках, таких как физика и математика, но и в философии, и в литературе. Он является автором основного закона гидростатики, одним из основателей математического анализа, теории вероятности и проективной геометрии. Кроме того, Паскаль создал суммирующую машину.
Теорема Паскаля. Пусть — неравнобедренный треугольник,
— описанная вокруг него окружность. Пусть прямые
и
— касательные к окружности в точках
и
соответственно. Пусть
и
— точки пересечения касательных с прямыми, на которых лежат стороны треугольника
. Тогда точки
и
лежат на одной прямой — прямой Паскаля треугольника
.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится теорема Менелая, но только ее тригонометрическая форма, которую мы сейчас и получим.
Тригонометрическая форма теоремы Менелая. Пусть дан треугольник . Пусть на сторонах треугольника
и
взяты точки
и
соответственно. Пусть точка
лежит на продолжении стороны
. Обозначим через
Точки и
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство
Доказательство. Для того чтобы точки и
лежали на одной прямой, необходимо и достаточно (теорема Менелая), чтобы выполнялось условие
Рассмотрим треугольники и
. Они имеют общую высоту из вершины
, поэтому
— это отношение их площадей. Кроме того, у этих треугольников есть общая сторона
. Значит, их площади относятся как высоты, проведенные к этой стороне. Тем самым, имеем
Аналогично из сравнения площадей треугольников и
и их высот, опущенных на общую сторону
имеем
а из сравнения площадей треугольников и
и их высот, опущенных на общую сторону
имеем
Перемножаем три полученные равенства и получаем требуемое.
А теперь давайте докажем теорему Паскаля.
Доказательство теоремы Паскаля для треугольника.
Обозначим углы следующим образом
(как угол между касательной и хордой),
(по той же причине),
(то же самое, дальше это писать не буду, все аналогично),
,
,
.
Проверяем условие теоремы Менелая в тригонометрической форме (для точек и
:
поскольку из формул приведения .
Источник: Я.И. Понарин “Элементарная геометрия”. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости.
Оставьте свой отзыв