Теорема Паскаля для треугольника

Сначала немного о самом Блезе Паскале (1623–1662).

Этот ученый XVII века оставил свой след не только в точных науках, таких как физика и математика, но и в философии, и в литературе.  Он является автором основного закона гидростатики, одним из основателей математического анализа, теории вероятности и проективной геометрии. Кроме того, Паскаль создал суммирующую машину.

Теорема Паскаля. Пусть

    \[ABC\]

— неравнобедренный треугольник,

    \[\omega\]

— описанная вокруг него окружность. Пусть прямые

    \[AA^{\prime},BB^{\prime}\]

и

    \[CC^{\prime}\]

— касательные к окружности

    \[\omega\]

в точках

    \[A,B\]

и

    \[C\]

соответственно. Пусть

    \[A^{\prime},B^{\prime}\]

и

    \[C^{\prime}\]

— точки пересечения касательных с прямыми, на которых лежат стороны треугольника

    \[ABC\]

. Тогда точки

    \[A^{\prime},B^{\prime}\]

и

    \[C'\]

лежат на одной прямой — прямой Паскаля треугольника

    \[ABC\]

.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится теорема Менелая, но только ее тригонометрическая форма, которую мы сейчас и получим.

Тригонометрическая форма теоремы Менелая. Пусть дан треугольник

    \[ABC\]

. Пусть на сторонах треугольника

    \[AB\]

и

    \[BC\]

взяты точки

    \[C^{\prime}\]

и

    \[A^{\prime}\]

соответственно. Пусть точка

    \[B^{\prime}\]

лежит на продолжении стороны

    \[AC\]

. Обозначим через

    \[\alpha^{\prime}=\angle BAA^{\prime},\alpha^{\prime\prime}=\angle CAA^{\prime},\beta^{\prime}=\angle CBB^{\prime},\beta^{\prime\prime}=\angle ABB^{\prime},\]

    \[\gamma^{\prime}=\angle ACC^{\prime},\gamma^{\prime\prime}=\angle BCC^{\prime}\]

.

Точки

    \[A,C\]

и

    \[B^{\prime}\]

лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

    \[\displaystyle\frac{\sin\alpha^{\prime}}{\sin\alpha^{\prime\prime}}\cdot\frac{\sin\beta^{\prime}}{\sin\beta^{\prime\prime}}\cdot\frac{\sin\gamma^{\prime}}{\sin\gamma^{\prime\prime}}=1\]

.


Доказательство. Для того чтобы точки

    \[A,C\]

и

    \[B^{\prime}\]

лежали на одной прямой, необходимо и достаточно (теорема Менелая), чтобы выполнялось условие

    \[\displaystyle\frac{BA^{\prime}}{A^{\prime}C}\cdot\frac{CB^{\prime}}{B^{\prime}A}\cdot\frac{AC^{\prime}}{C^{\prime}B}=1 .\]

Рассмотрим треугольники

    \[ABA^{\prime}\]

и

    \[ACA^{\prime}\]

. Они имеют общую высоту из вершины

    \[A\]

, поэтому

    \[\displaystyle\frac{BA^{\prime}}{A^{\prime}C}\]

— это отношение их площадей. Кроме того, у этих треугольников есть общая сторона

    \[AA^{\prime}\]

. Значит, их площади относятся как высоты, проведенные к этой стороне. Тем самым, имеем

    \[\displaystyle \frac{BA^{\prime}}{A^{\prime}C}=\frac{S_{\Delta ABA^{\prime}}}{S_{\Delta ACA^{\prime}}}=\frac{BA\sin\alpha^{\prime}}{AC\sin\alpha^{\prime\prime}} .\]

Аналогично из сравнения площадей треугольников

    \[BCB^{\prime}\]

и

    \[BAB^{\prime}\]

и их высот, опущенных на общую сторону

    \[BB^{\prime}\]

имеем

    \[\displaystyle \frac{CB^{\prime}}{AB^{\prime}}=\frac{S_{\Delta BCB^{\prime}}}{S_{\Delta BAB^{\prime}}}=\frac{BC\sin\beta^{\prime}}{AB\sin\beta^{\prime\prime}}\]

,

а из сравнения площадей треугольников

    \[ACC^{\prime}\]

и

    \[BCC^{\prime}\]

и их высот, опущенных на общую сторону

    \[CC^{\prime}\]

имеем

    \[\displaystyle \frac{AC^{\prime}}{BC^{\prime}}=\frac{S_{\Delta ACC^{\prime}}}{S_{\Delta BCC^{\prime}}}=\frac{AC\sin\gamma^{\prime}}{BC\sin\gamma^{\prime\prime}}\]

.

Перемножаем три полученные равенства и получаем требуемое.

А теперь давайте докажем теорему Паскаля.

Доказательство теоремы Паскаля для треугольника.

Обозначим углы следующим образом

    \[\alpha^{\prime}=\angle BAA^{\prime}=\pi-\angle C\]

(как угол между касательной и хордой),

    \[\alpha^{\prime\prime}=\angle A^{\prime}AC=\angle B\]

(по той же причине),

    \[\beta^{\prime}=\angle CBB^{\prime}=\angle A\]

(то же самое, дальше это писать не буду, все аналогично),

    \[\beta^{\prime\prime}=\angle ABB^{\prime}=\angle C\]

,

    \[\gamma^{\prime}=\angle ACC^{\prime}=\angle B\]

,

    \[\gamma^{\prime\prime}=\angle BCC^{\prime}=\pi-\angle A\]

.

Проверяем условие теоремы Менелая в тригонометрической форме (для точек

    \[A^{\prime},B^{\prime}\]

и

    \[C^{\prime}\]

:

    \[\displaystyle \frac{\sin\alpha^{\prime}}{\sin\alpha^{\prime\prime}}\cdot\frac{\sin\beta^{\prime}}{\sin\beta^{\prime\prime}}\cdot\frac{\sin\gamma^{\prime}}{\sin\gamma^{\prime\prime}}=\frac{\sin(\pi-\angle C)}{\sin\angle B}\cdot\frac{\sin\angle A}{\sin\angle C}\cdot\frac{\sin\angle B}{\sin(\pi-\angle A)}=1\]

,

поскольку из формул приведения

    \[\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\]

.

Источник: Я.И. Понарин “Элементарная геометрия”. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение