Распечатать запись Распечатать запись

Теорема Паскаля для треугольника

Сначала немного о самом Блезе Паскале (1623–1662).

Этот ученый XVII века оставил свой след не только в точных науках, таких как физика и математика, но и в философии, и в литературе.  Он является автором основного закона гидростатики, одним из основателей математического анализа, теории вероятности и проективной геометрии. Кроме того, Паскаль создал суммирующую машину.

Теорема Паскаля. Пусть ABC — неравнобедренный треугольник, \omega — описанная вокруг него окружность. Пусть прямые AA^{\prime},BB^{\prime} и CC^{\prime} — касательные к окружности \omega в точках A,B и C соответственно. Пусть A^{\prime},B^{\prime} и C^{\prime} — точки пересечения касательных с прямыми, на которых лежат стороны треугольника ABC. Тогда точки A^{\prime},B^{\prime} и C’ лежат на одной прямой — прямой Паскаля треугольника ABC.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится теорема Менелая, но только ее тригонометрическая форма, которую мы сейчас и получим.

Тригонометрическая форма теоремы Менелая. Пусть дан треугольник ABC. Пусть на сторонах треугольника AB и BC взяты точки C^{\prime} и A^{\prime} соответственно. Пусть точка B^{\prime} лежит на продолжении стороны AC. Обозначим через

\alpha^{\prime}=\angle BAA^{\prime},\alpha^{\prime\prime}=\angle CAA^{\prime},\beta^{\prime}=\angle CBB^{\prime},\beta^{\prime\prime}=\angle ABB^{\prime},

\gamma^{\prime}=\angle ACC^{\prime},\gamma^{\prime\prime}=\angle BCC^{\prime} .

Точки A,C и B^{\prime} лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

\displaystyle\frac{\sin\alpha^{\prime}}{\sin\alpha^{\prime\prime}}\cdot\frac{\sin\beta^{\prime}}{\sin\beta^{\prime\prime}}\cdot\frac{\sin\gamma^{\prime}}{\sin\gamma^{\prime\prime}}=1.


Доказательство. Для того чтобы точки A,C и B^{\prime} лежали на одной прямой, необходимо и достаточно (теорема Менелая), чтобы выполнялось условие

\displaystyle\frac{BA^{\prime}}{A^{\prime}C}\cdot\frac{CB^{\prime}}{B^{\prime}A}\cdot\frac{AC^{\prime}}{C^{\prime}B}=1 .

Рассмотрим треугольники ABA^{\prime} и ACA^{\prime}. Они имеют общую высоту из вершины A, поэтому \displaystyle\frac{BA^{\prime}}{A^{\prime}C} — это отношение их площадей. Кроме того, у этих треугольников есть общая сторона AA^{\prime}. Значит, их площади относятся как высоты, проведенные к этой стороне. Тем самым, имеем

\displaystyle \frac{BA^{\prime}}{A^{\prime}C}=\frac{S_{\Delta ABA^{\prime}}}{S_{\Delta ACA^{\prime}}}=\frac{BA\sin\alpha^{\prime}}{AC\sin\alpha^{\prime\prime}} .

Аналогично из сравнения площадей треугольников BCB^{\prime} и BAB^{\prime} и их высот, опущенных на общую сторону BB^{\prime} имеем

\displaystyle \frac{CB^{\prime}}{AB^{\prime}}=\frac{S_{\Delta BCB^{\prime}}}{S_{\Delta BAB^{\prime}}}=\frac{BC\sin\beta^{\prime}}{AB\sin\beta^{\prime\prime}},

а из сравнения площадей треугольников ACC^{\prime} и BCC^{\prime} и их высот, опущенных на общую сторону CC^{\prime} имеем

\displaystyle \frac{AC^{\prime}}{BC^{\prime}}=\frac{S_{\Delta ACC^{\prime}}}{S_{\Delta BCC^{\prime}}}=\frac{AC\sin\gamma^{\prime}}{BC\sin\gamma^{\prime\prime}}.

Перемножаем три полученные равенства и получаем требуемое.

А теперь давайте докажем теорему Паскаля.

Доказательство теоремы Паскаля для треугольника.

Обозначим углы следующим образом

\alpha^{\prime}=\angle BAA^{\prime}=\pi-\angle C (как угол между касательной и хордой),

\alpha^{\prime\prime}=\angle A^{\prime}AC=\angle B (по той же причине),

\beta^{\prime}=\angle CBB^{\prime}=\angle A (то же самое, дальше это писать не буду, все аналогично),

\beta^{\prime\prime}=\angle ABB^{\prime}=\angle C,

\gamma^{\prime}=\angle ACC^{\prime}=\angle B,

\gamma^{\prime\prime}=\angle BCC^{\prime}=\pi-\angle A.

Проверяем условие теоремы Менелая в тригонометрической форме (для точек A^{\prime},B^{\prime} и C^{\prime}:

\displaystyle \frac{\sin\alpha^{\prime}}{\sin\alpha^{\prime\prime}}\cdot\frac{\sin\beta^{\prime}}{\sin\beta^{\prime\prime}}\cdot\frac{\sin\gamma^{\prime}}{\sin\gamma^{\prime\prime}}=\frac{\sin(\pi-\angle C)}{\sin\angle B}\cdot\frac{\sin\angle A}{\sin\angle C}\cdot\frac{\sin\angle B}{\sin(\pi-\angle A)}=1,

поскольку из формул приведения \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha.

Источник: Я.И. Понарин “Элементарная геометрия”. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение