Распечатать запись Распечатать запись

Парадокс Монти Холла

У меня создается такое ощущение, что об этом замечательном парадоксе теории вероятности не писал только ленивый. Причем не только писал в книжках и статьях, посвященных математике. Есть много различных роликов, его объясняющих, о нем говорят в фильме “Двадцать одно’’ да и в художественную литературу он просочился, правда, без названия. Приведу в качестве примера книгу Сергея Лукьяненко “Недотепа’’, где этот парадокс забавно обыгран. Собственно, и объяснять его буду на примере этой книги, а то как-то автомобили и козы уже оскомину набили. Карета, а точнее, колесо от кареты, и козы выглядят хоть немного, но свежее ;) .

Итак, герой книги, юный волшебник Трикс Солье, вместе со своим наставником, магом Радионом Щавелем, “по прискорбным обстоятельствам пути (гнедой ногу сломал)’’ попадают во дворец к барону Исмунду, у которого просят карету и лошадей, чтобы иметь возможность продолжить путь. Барон предлагает сыграть в свою любимую игру. За тремя одинаковыми дверями, ведущими из зала, находятся разные предметы. За двумя дверями — козы, и только за одной дверью — третьей — колесо от кареты. Барон предлагает выбрать одну из дверей. Если это будет колесо, то он дает Триксу и Щавелю карету и лошадей, а если коза, то волшебники остаются на год у него в услужении. Умный Трикс предлагает изменить условия игры. Он предлагает играть девять раз вместо одного. Кроме того, после сделанного выбора он просит барона открыть одну из двух оставшихся дверей — ту, за которой точно находится коза. После этого он просит предоставить ему возможность изменить свой выбор.

Барон согласен и… проигрывает… Казалось бы, что Трикс не предложил ничего нечестного. Вероятность выбора для него колеса после открытия двери с козой составляет 1/2, ведь из двух дверей, за одной из которых колесо, он выбирает одну.

Но не тут-то было! Житейский опыт и интуиция в данном случае противоречат строгому доказательству. Вероятность выиграть, если изменить свой первоначальный выбор, равна 2/3! Давайте же разберемся. Попробую привести более понятное объяснение, чем те, что встречаются в большинстве случаев. Во всяком случае, мне это объяснение кажется более внятным.

Трикс делает первоначальный выбор. В результате этого выбора двери разделяются на две группы: та дверь, которую он выбрал, и две оставшиеся двери. Вероятность того, что колесо находится за дверью, которую выбрал Трикс, равна 1/3. Вероятность того, что колесо находится за одной из дверей, которые Трикс не выбрал, равна 2/3. Теперь барон открывает одну из этих двух дверей. Что это меняет? Вероятность того, что колесо находится за той дверью, которую сначала выбрал Трикс, остается равной 1/3, а вероятность нахождения колеса за дверью, которая не открыта равна теперь 2/3 (она была равна 2/3 для двух дверей, но за одной из них колеса нет!). Вот и все объяснение. Так что в данном случае всегда нужно менять свой выбор, это увеличивает шанс выиграть в 2 раза!

Комментариев: 6

  1. 1 Корнеев В.Ф.:

    Есть аналогичная задачка. Имеем три костяшки домино: 0-0, 0-1 и 1-1. Выбрать дубль легко: вероятность 2/3. Но если вы сначала посмотрите на половинку домина, то вероятность равна 1/2. Вот хоть убейте меня, но я не знаю разницы…

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    То есть у всех доминошек открывается половинка, или я неправильно понимаю?

    [Ответить]

  3. 3 Алексей Д.:

    Да, забавный парадокс. Я смирился с этими 2/3 только после того, как представил не 3 двери, а 100 дверей (ведущий-барон, соответственно, открывает 98 “неправильных” дверей), а вероятность выигрыша при изменении первоначального варианта 99/100

    [Ответить]

  4. 4 Корнеев В.Ф.:

    Доминошки все в закрытом состоянии. Какова вероятность вытянуть дубль? Есть 2 варианта решения. Ответы разные. Да, во втором случае открывается половинка. Ну и что из этого? Ведь что-то увидим.

    [Ответить]

  5. 5 Еще немного о вероятностях | Математика, которая мне нравится:

    [...] своих комментариях В.Ф. Корнеев отметил забавный парадокс из теории [...]

  6. 6 Zav:

    Как только открывается дверь за которой точно коза вероятности надо считать заново. Никакого парадокса нет. Есть безграмотность.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение