Распечатать запись Распечатать запись

Теорема Вивиани, элегантная и простая

Теорема Вивиани. Сумма расстояний от точки P, находящейся внутри правильного треугольника, до трех сторон треугольника равна высоте треугольника независмо от выбора точки P.

Эта теорема названа в честь итальянского математика Винченцо Вивиани (1622-1703), уроженца Флоренции. Галилео Галилей был настолько впечатлен талантом Вивиани, что стал работать с ним как с соавтором, когда тому было только 17 лет. Работали они вместе на вилле Арчетри, где он жил, выйдя в отставку будучи осужденным церковью, до своей смерти в 1642 году.

Винченцо Вивиани

После смерти Галилея, в 1655 году, Вивиани составил и опубликовал свою работу, а также написал биографию Галилея, которая была опубликована уже после его смерти, в 1717 году.

В Музее Истории Флоренции на картине Тито Лесси можно увидеть Галилео Галилея со своим ассистентом Винченцо Вивиани.

В 1690 году Вивиани опубликовал итальянский перевод Евклида и переводы работ Архимеда и Аполлония.

Кроме того, он изучал инженерное дело и сопротивление материалов. Совместно с Борелли он рассчитал скорость звука в воздухе, получив результат 350 м/с. Это приближение было гораздо лучше, чем полученное ранее — 478 м/с, в то время как в действительности скорость звука составляет 331.29 м/с.

Галилей и Вивиани

Кроме того, одна кривая названа кривой Вивиани. Она определяется как пересечение цилиндра со сферой, радиус которой равен диаметру цилиндра, при условии, что цилиндр проходит через центр сферы.

Кривая Вивиани

Теорема Вивиани интересна многочисленными ее доказательствами, а также она полезна при обучении геометрии. Существуют различные интересные задачи, требующие применения этой теоремы. Например, такая: остров имеет форму равностороннего треугольника, где нужно разместить кабинку для переодевания, чтобы сумма расстояний до трех пляжей была минимальной?…. Удивительно, что неважно, в каком месте. Все точки треугольника удовлетворяют требуемому свойству.

А теперь приведу доказательство теоремы Вивиани.

Доказательство. Пусть P — внутренняя точка равностороннего треугольника ABC со стороной a. Высоту треугольника ABC обозначим через h. Рассмотрим треугольники ABP,ACP и BCP.

Площадь треугольника ABC равна \displaystyle S_{ABC}=\frac{ah}{2}.

Площади треугольников ABP,ACP и BCP равны соответственно

\displaystyle S_{ABP}=\frac{an}{2},S_{ACP}=\frac{am}{2},S_{BCP}=\frac{al}{2}.

Поскольку S_{ABC}=S_{ABP}+S_{ACP}+S_{BCP}, имеем

\displaystyle \frac{ah}{2}=\frac{am}{2}+\frac{an}{2}+\frac{al}{2},

откуда

h=m+n+l.

Источник: http://revistasacitametam.blogspot.com/2011/09/teorema-de-viviani-elegante-y-sencillo.html

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение