«
»

Тригонометрические софизмы

16 Октябрь 2011, 0:05

Предлагаю вам теперь еще пару тригонометрических софизмов из той же книги А.А. Лямина “Математическiе парадоксы и интересныя задачи для любителей математики”, М.: 1911.

1. Синусы одних и тех же углов не равны. Из тригонометрии известно, что при \displaystyle \alpha<\frac{\pi}{2} величина \sin\alpha будет положительна, а \sin(\pi+\alpha) будет меньше нуля, величина \cos\alpha будет положительна, а \cos(\pi+\alpha) будет меньше нуля, т.е.

    \[\sin\alpha>0,\sin(\pi+\alpha)<0,\cos\alpha>0,\cos(\pi+\alpha)<0 .\]

Поскольку положительное число всегда больше отрицательного, получаем

    \[\sin\alpha>\sin(\pi+\alpha),\cos\alpha>\cos(\pi+\alpha) .\]

Теперь перемножим эти два неравенства и получим следующее неравенство

    \[\sin\alpha\cos\alpha>\sin(\pi+\alpha)\cos(\pi+\alpha) .\]

Умножим обе его части на 2:

    \[2\sin\alpha\cos\alpha>2\sin(\pi+\alpha)\cos(\pi+\alpha) .\]

Заменим в полученном неравенстве 2\sin\alpha\cos\alpha на \sin2\alpha и 2\sin(\pi+\alpha)\cos(\pi+\alpha) на \sin2(\pi+\alpha):

    \[\sin2\alpha>\sin2(\pi+\alpha) .\]

Однако

    \[\sin2(\pi+\alpha)=\sin(2\pi+2\alpha)=\sin2\alpha .\]

Следовательно, \sin2\alpha>\sin2\alpha .

2. Формула косинуса двойного угла верна не для всякого угла.

Возьмем формулу \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha .

Преобразуем ее следующим образом:

    \[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=-(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)=-(\sin^2\alpha-\cos\alpha\cdot\cos\alpha) .\]

Однако

    \[-(\sin^2\alpha-\cos\alpha\cdot\cos\alpha)=- (\sin^2\alpha+\cos\alpha\cdot(-\cos\alpha)),\]

но

    \[-\cos\alpha=\cos(-\alpha)=\cos\alpha .\]

Следовательно,

    \[\cos2\alpha=-(\sin^2\alpha+\cos\alpha(-\cos\alpha))=-(\sin^2\alpha+\cos\alpha\cos\alpha)=\]

    \[=-(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) .\]

Так как \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1 , то
\cos2\alpha=-1, откуда 2\alpha=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}, и \displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k .

Тем самым, формула \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha верна только для углов \displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k .

А теперь показываю, в чем тут подвох ;)

1. В неравенствах

    \[\sin\alpha>\sin(\pi+\alpha),\cos\alpha>\cos(\pi+\alpha)\]

в левой части стоит положительное число, а в правой — отрицательное. Когда мы их перемножаем, и в левой, и в правой части получаем числа положительные, и число в правой части может быть больше числа в левой части. Для примера можно рассмотреть перемножение двух очевидно верных неравенств

    \[5>-8,4>-10 ,\]

в результате чего получим 20>80 — неправильный результат.

2. Здесь все еще проще: -\cos\alpha=\cos (\pi+\alpha)\ne\cos(-\alpha). Косинус не является нечетной функцией!

Теги: ,
Рубрика: Развлекалочки ;)  |  Отзывы (RSS)  |  Трекбек

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение