Тригонометрические софизмы
Предлагаю вам теперь еще пару тригонометрических софизмов из той же книги А.А. Лямина “Математическiе парадоксы и интересныя задачи для любителей математики”, М.: 1911.
1. Синусы одних и тех же углов не равны. Из тригонометрии известно, что при величина
будет положительна, а
будет меньше нуля, величина
будет положительна, а
будет меньше нуля, т.е.
Поскольку положительное число всегда больше отрицательного, получаем
Теперь перемножим эти два неравенства и получим следующее неравенство
Умножим обе его части на 2:
Заменим в полученном неравенстве на
и
на
:
Однако
Следовательно,
2. Формула косинуса двойного угла верна не для всякого угла.
Возьмем формулу
Преобразуем ее следующим образом:
Однако
но
Следовательно,
Так как то
, откуда
, и
Тем самым, формула верна только для углов
А теперь показываю, в чем тут подвох
1. В неравенствах
в левой части стоит положительное число, а в правой — отрицательное. Когда мы их перемножаем, и в левой, и в правой части получаем числа положительные, и число в правой части может быть больше числа в левой части. Для примера можно рассмотреть перемножение двух очевидно верных неравенств
в результате чего получим — неправильный результат.
2. Здесь все еще проще: . Косинус не является нечетной функцией!
Оставьте свой отзыв