Распечатать запись Распечатать запись

Тригонометрические софизмы

Предлагаю вам теперь еще пару тригонометрических софизмов из той же книги А.А. Лямина “Математическiе парадоксы и интересныя задачи для любителей математики”, М.: 1911.

1. Синусы одних и тех же углов не равны. Из тригонометрии известно, что при \displaystyle \alpha<\frac{\pi}{2} величина \sin\alpha будет положительна, а \sin(\pi+\alpha) будет меньше нуля, величина \cos\alpha будет положительна, а \cos(\pi+\alpha) будет меньше нуля, т.е.

\sin\alpha>0,\sin(\pi+\alpha)<0,\cos\alpha>0,\cos(\pi+\alpha)<0 .

Поскольку положительное число всегда больше отрицательного, получаем

\sin\alpha>\sin(\pi+\alpha),\cos\alpha>\cos(\pi+\alpha) .

Теперь перемножим эти два неравенства и получим следующее неравенство

\sin\alpha\cos\alpha>\sin(\pi+\alpha)\cos(\pi+\alpha) .

Умножим обе его части на 2:

2\sin\alpha\cos\alpha>2\sin(\pi+\alpha)\cos(\pi+\alpha) .

Заменим в полученном неравенстве 2\sin\alpha\cos\alpha на \sin2\alpha и 2\sin(\pi+\alpha)\cos(\pi+\alpha) на \sin2(\pi+\alpha):

\sin2\alpha>\sin2(\pi+\alpha) .

Однако

\sin2(\pi+\alpha)=\sin(2\pi+2\alpha)=\sin2\alpha .

Следовательно, \sin2\alpha>\sin2\alpha .

2. Формула косинуса двойного угла верна не для всякого угла.

Возьмем формулу \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha .

Преобразуем ее следующим образом:

\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=-(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)=-(\sin^2\alpha-\cos\alpha\cdot\cos\alpha) .

Однако

-(\sin^2\alpha-\cos\alpha\cdot\cos\alpha)=- (\sin^2\alpha+\cos\alpha\cdot(-\cos\alpha)),

но

-\cos\alpha=\cos(-\alpha)=\cos\alpha .

Следовательно,

\cos2\alpha=-(\sin^2\alpha+\cos\alpha(-\cos\alpha))=-(\sin^2\alpha+\cos\alpha\cos\alpha)=

=-(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) .

Так как \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1 , то

\cos2\alpha=-1 .

откуда 2\alpha=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}, и \displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k .

Тем самым, формула \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha верна только для углов \displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k .

А теперь показываю, в чем тут подвох ;)

1. В неравенствах

\sin\alpha>\sin(\pi+\alpha),\cos\alpha>\cos(\pi+\alpha)

в левой части стоит положительное число, а в правой — отрицательное. Когда мы их перемножаем, и в левой, и в правой части получаем числа положительные, и число в правой части может быть больше числа в левой части. Для примера можно рассмотреть перемножение двух очевидно верных неравенств

5>-8,4>-10 ,

в результате чего получим 20>80 — неправильный результат.

2. Здесь все еще проще: -\cos\alpha=\cos (\pi+\alpha)\ne\cos(-\alpha). Косинус не является нечетной функцией!

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение