Тригонометрические софизмы

Предлагаю вам теперь еще пару тригонометрических софизмов из той же книги А.А. Лямина “Математическiе парадоксы и интересныя задачи для любителей математики”, М.: 1911.

1. Синусы одних и тех же углов не равны. Из тригонометрии известно, что при

    \[\displaystyle \alpha<\frac{\pi}{2}\]

величина

    \[\sin\alpha\]

будет положительна, а

    \[\sin(\pi+\alpha)\]

будет меньше нуля, величина

    \[\cos\alpha\]

будет положительна, а

    \[\cos(\pi+\alpha)\]

будет меньше нуля, т.е.

    \[\sin\alpha>0,\sin(\pi+\alpha)<0,\cos\alpha>0,\cos(\pi+\alpha)<0 .\]

Поскольку положительное число всегда больше отрицательного, получаем

    \[\sin\alpha>\sin(\pi+\alpha),\cos\alpha>\cos(\pi+\alpha) .\]

Теперь перемножим эти два неравенства и получим следующее неравенство

    \[\sin\alpha\cos\alpha>\sin(\pi+\alpha)\cos(\pi+\alpha) .\]

Умножим обе его части на 2:

    \[2\sin\alpha\cos\alpha>2\sin(\pi+\alpha)\cos(\pi+\alpha) .\]

Заменим в полученном неравенстве

    \[2\sin\alpha\cos\alpha\]

на

    \[\sin2\alpha\]

и

    \[2\sin(\pi+\alpha)\cos(\pi+\alpha)\]

на

    \[\sin2(\pi+\alpha)\]

:

    \[\sin2\alpha>\sin2(\pi+\alpha) .\]

Однако

    \[\sin2(\pi+\alpha)=\sin(2\pi+2\alpha)=\sin2\alpha .\]

Следовательно,

    \[\sin2\alpha>\sin2\alpha .\]

2. Формула косинуса двойного угла верна не для всякого угла.

Возьмем формулу

    \[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha .\]

Преобразуем ее следующим образом:

    \[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=-(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)=-(\sin^2\alpha-\cos\alpha\cdot\cos\alpha) .\]

Однако

    \[-(\sin^2\alpha-\cos\alpha\cdot\cos\alpha)=- (\sin^2\alpha+\cos\alpha\cdot(-\cos\alpha)),\]

но

    \[-\cos\alpha=\cos(-\alpha)=\cos\alpha .\]

Следовательно,

    \[\cos2\alpha=-(\sin^2\alpha+\cos\alpha(-\cos\alpha))=-(\sin^2\alpha+\cos\alpha\cos\alpha)=\]

    \[=-(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) .\]

Так как

    \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1 ,\]

то

    \[\cos2\alpha=-1 .\]

откуда

    \[2\alpha=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\]

, и

    \[\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k .\]

Тем самым, формула

    \[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\]

верна только для углов

    \[\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k .\]

А теперь показываю, в чем тут подвох ;)

1. В неравенствах

    \[\sin\alpha>\sin(\pi+\alpha),\cos\alpha>\cos(\pi+\alpha)\]

в левой части стоит положительное число, а в правой — отрицательное. Когда мы их перемножаем, и в левой, и в правой части получаем числа положительные, и число в правой части может быть больше числа в левой части. Для примера можно рассмотреть перемножение двух очевидно верных неравенств

    \[5>-8,4>-10 ,\]

в результате чего получим

    \[20>80\]

— неправильный результат.

2. Здесь все еще проще:

    \[-\cos\alpha=\cos (\pi+\alpha)\ne\cos(-\alpha)\]

. Косинус не является нечетной функцией!

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение