Математика, которая мне нравится

Эту интересную задачу я узнала от одного знакомого замечательного девятиклассника. Собственно, это софизм. Вот такой.

Рассмотрим уравнение (будем искать положительные решения)

Здесь записан бесконечное число раз. Теперь обозначим через решение этого уравнения. Поскольку показатель степени, в которое возводится самый первый , равен (левая часть равна , а убрав один из бесконечного их числа, мы все равно получим бесконечное число ), получаем такое уравнение:

,

откуда

Теперь рассмотрим еще одно похожее уравнение (и опять-таки будем искать его положительные решения)

Обозначим левую часть через , и так же, как и в предыдущем случае, получим

,

откуда .

В итоге, у нас получилось, что последовательность с имеет два предела, хотя теорема о единственности предела говорит нам, что такого быть не может! В чем подвох?

Сначала как всегда, убедительная просьба ко всем заинтересованным лицам не читать пока решение, приведенное ниже, а подумать самостоятельно, что же тут за хитрость!

Объяснение. Все приведенные выше выкладки справедливы только в том случае, если уравнения и имеют решения. Однако, как я сейчас покажу, второе уравнение вещественных положительных решений не имеет.

Действительно, давайте рассмотрим последовательность . Здесь доказательство того, что , которое привел в комментарии Стас, указав мне на допущенную ошибку.

Отсюда и т.д.

Таким образом, наша последовательность ограничена сверху, и любой ее член не превосходит .

Теперь докажем, что эта последовательность монотонно возрастает, а именно, что каждый ее член больше предыдущего. В самом деле,

,

поскольку и основание степени, и показатель больше . А значит,

(сравниваем показатели, помня о том, что основание степени больше ).

Следовательно, последовательность имеет предел как возрастающая ограниченная сверху. Этот предел не может быть больше . Обозначим этот предел через . Переходим к пределу в равенстве :

.

Это уравнение относительно имеет два решения, так как производная функции

меняет знак с плюса на минус в точке , а значение в этой точке положительно. Эти два решения легко угадываются: и ! Однако не может быть пределом нашей последовательности, поскольку, по доказанному, он не превосходит .