Степень, степень… и еще раз степень

Муравьи внутри гонятся за муравьями, которые вторгаются снаружи (работа М.К.Эшера)

Эту интересную задачу я узнала от одного знакомого замечательного девятиклассника. Собственно, это софизм. Вот такой.

Рассмотрим уравнение (будем искать положительные решения)

    \[x^{x^{.^{.^{.^{x^{.^{.^{.}}}}}}}}=2 .\]

Здесь x записан бесконечное число раз. Теперь обозначим через a решение этого уравнения. Поскольку показатель степени, в которое возводится самый первый x, равен 2 (левая часть равна 2, а убрав один x из бесконечного их числа, мы все равно получим бесконечное число x), получаем такое уравнение:

    \[a^2=2,\]

откуда a=\sqrt{2} .

Теперь рассмотрим еще одно похожее уравнение (и опять-таки будем искать его положительные решения)

    \[x^{x^{.^{.^{.^{x^{.^{.^{.}}}}}}}}=4 .\]

Обозначим левую часть через b, и так же, как и в предыдущем случае, получим

    \[b^4=4,\]

откуда b=\sqrt{2}.

В итоге, у нас получилось, что последовательность a_n=\sqrt{2}^{a_{n-1}} с a_0=\sqrt{2} имеет два предела, хотя теорема о единственности предела говорит нам, что такого быть не может! В чем подвох?

Сначала как всегда, убедительная просьба ко всем заинтересованным лицам ;) не читать пока решение, приведенное ниже, а подумать самостоятельно, что же тут за хитрость!

Объяснение. Все приведенные выше выкладки справедливы только в том случае, если уравнения x^{x^{.^{.^{.^{x^{.^{.^{.}}}}}}}}=2 и x^{x^{.^{.^{.^{x^{.^{.^{.}}}}}}}}=4 имеют решения. Однако, как я сейчас покажу, второе уравнение вещественных положительных решений не имеет.

Действительно, давайте рассмотрим последовательность a_n=\sqrt{2}^{a_{n-1}}, a_0=\sqrt{2}. Здесь доказательство того, что \sqrt{2}^{\sqrt{2}}< 2, которое привел в комментарии Стас, указав мне на допущенную ошибку.

    \[\sqrt{2} ^{\sqrt{2}} < \sqrt{2}^2=2 .\]

Отсюда \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}<\sqrt{2}^2=2 и т.д.

Таким образом, наша последовательность a_n ограничена сверху, и любой ее член не превосходит 2.

Теперь докажем, что эта последовательность монотонно возрастает, а именно, что каждый ее член больше предыдущего. В самом деле,

    \[\sqrt{2}^{\sqrt{2}}>\sqrt{2},\]

поскольку и основание степени, и показатель больше 1. А значит,

    \[\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\]

(сравниваем показатели, помня о том, что основание степени больше 1).

Следовательно, последовательность a_n имеет предел как возрастающая ограниченная сверху. Этот предел не может быть больше 2. Обозначим этот предел через l. Переходим к пределу в равенстве

    \[a_{n}=\sqrt{2}^{a_{n-1}}:\]

    \[l=\sqrt{2}^l.\]

Это уравнение относительно l имеет два решения, так как производная функции

    \[f(x)=x-\sqrt{2}^x\]

меняет знак с плюса на минус в точке x_0=2-2{\rm log}_2(\ln 2), а значение f(x) в этой точке положительно. Эти два решения легко угадываются: 2 и 4! Однако 4 не может быть пределом нашей последовательности, поскольку, по доказанному, он не превосходит 2.

Комментариев: 3

  1. 1 Стас:

    “Используя неравенство Бернулли…”
    Здесь у вас альфа равно корню из двух, а, значит, больше единицы. В этом случае неравенство Бернулли записывается в противоположную сторону.
    А то, что

        \[\sqrt{2}^{\sqrt{2}} < 2\]

    – очевидно

        \[(\sqrt{2} ^{\sqrt{2}} < \sqrt{2}^2=2)\]

    .

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Спасибо большое, Вы совершенно правы. Исправила.

    [Ответить]

  3. 3 Стас:

    Очень приятно открыть для себя этот сайт, спасибо

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение