Математика, которая мне нравится

Я уже писала здесь, как можно извлекать в столбик квадратный корень. Однако практически такой же алгоритм, напоминающий деление столбиком (или арабский способ деления) работает и для извлечения корней более высоких степеней. Рассмотрим, как извлекать кубический корень с произвольной точностью, определяя на каждом шаге по одной цифре этого корня. Как и для квадратных корней, буду описывать алгоритм пошагово, и каждый шаг будет сопровождаться примером.

Итак, давайте для примера будем извлекать кубический корень из

   

.

1. Разобьем цифры исходного числа на группы по три цифры в каждой. При этом разбиение начинаем от десятичной запятой, двигаясь влево и вправо.

Пример. В нашем случае разбиение выглядит таким образом:

   

.

2. Извлечем кубический корень из первой слева группы цифр. Разумеется, точно корень может не извлекаться, поэтому возьмем наибольшее число, куб которого меньше числа, образованного данной группой цифр.

Пример. В нашем случае первая слева группа цифр

   

, поэтому первая цифра кубического корня —

   

. Действительно,

   

, а вот

   

уже равно

   

.

3. Возводим найденное число в куб и вычитаем из первой слева группы цифр, к разности приписываем справа следующие три цифры (т.е. цифры следующей группы).

Пример. В нашем случае получаем:

   

4. Теперь нужно подобрать следующую цифру корня. Для этого квадрат числа, образованного уже имеющимися цифрами, умножаем на

   

и выбираем цифру, при умножении на которую получится число, меньшее, чем число, образованное всеми цифрами разности, кроме двух последних, но достаточно близкое к нему. Однако следует иметь в виду, что если при очередном вычитании получилось отрицательное число, нужно последнюю вычисленную цифру уменьшить на единицу.

Пример. Имеем:

   

, поэтому выбираем цифру

   

(в самом деле,

   

, а

   

.

5. Умножаем полученное ранее произведение на выбранную цифру, потом еще на

   

, прибавляем к полученному числу квадрат выбранной цифры, умноженный на число, образованное уже найденными цифрами корня, домноженное на

   

, после чего прибавляем еще куб выбранной цифры.

Пример. У нас получится

   

.

6. Из полученной на шаге 3 разности вычитаем число, полученное на шаге 5.

Пример. В нашем случае это будет

   

.

7. Переходим к шагу 4.

Продолжаем данную последовательность шагов алгоритма до тех пор, пока корень не вычислен с требуемой точностью.

Пример. В нашем случае мы возводим в квадрат

   

и умножаем его на

   

:

   

. Теперь подберем цифру, при умножении на которую числа

   

получим близкое к

   

, но меньшее его число. Эта цифра

   

(

   

). Теперь из числа

   

(разность, полученная на предыдущем шаге и приписанная справа следующая группа цифр) нужно вычесть следующую сумму:

   

.

Тем самым, разность будет равна нулю, и корень, который оказался точным, извлечен — это

   

.

Теперь приведу запись, которая при этом получается (разумеется, при реальных вычислениях все скорее всего будет не столь красиво и аккуратно ).

   

   

Алгоритм основан на формуле куба суммы:

   

.

Для тех же, кому интересно извлечение корней высших степеней, даю ссылку (правда, материал на английском): http://en.wikipedia.org/wiki/Shifting_nth-root_algorithm.