Извлечение кубического корня в столбик
Я уже писала здесь, как можно извлекать в столбик квадратный корень. Однако практически такой же алгоритм, напоминающий деление столбиком (или арабский способ деления) работает и для извлечения корней более высоких степеней. Рассмотрим, как извлекать кубический корень с произвольной точностью, определяя на каждом шаге по одной цифре этого корня. Как и для квадратных корней, буду описывать алгоритм пошагово, и каждый шаг будет сопровождаться примером.
Итак, давайте для примера будем извлекать кубический корень из .
1. Разобьем цифры исходного числа на группы по три цифры в каждой. При этом разбиение начинаем от десятичной запятой, двигаясь влево и вправо.
Пример. В нашем случае разбиение выглядит таким образом: .
2. Извлечем кубический корень из первой слева группы цифр. Разумеется, точно корень может не извлекаться, поэтому возьмем наибольшее число, куб которого меньше числа, образованного данной группой цифр.
Пример. В нашем случае первая слева группа цифр , поэтому первая цифра кубического корня —
. Действительно,
, а вот
уже равно
.
3. Возводим найденное число в куб и вычитаем из первой слева группы цифр, к разности приписываем справа следующие три цифры (т.е. цифры следующей группы).
Пример. В нашем случае получаем:
4. Теперь нужно подобрать следующую цифру корня. Для этого квадрат числа, образованного уже имеющимися цифрами, умножаем на и выбираем цифру, при умножении на которую получится число, меньшее, чем число, образованное всеми цифрами разности, кроме двух последних, но достаточно близкое к нему. Однако следует иметь в виду, что если при очередном вычитании получилось отрицательное число, нужно последнюю вычисленную цифру уменьшить на единицу.
Пример. Имеем: , поэтому выбираем цифру
(в самом деле,
, а
).
5. Умножаем полученное ранее произведение на выбранную цифру, потом еще на , прибавляем к полученному числу квадрат выбранной цифры, умноженный на число, образованное уже найденными цифрами корня, домноженное на
, после чего прибавляем еще куб выбранной цифры.
Пример. У нас получится
.
6. Из полученной на шаге 3 разности вычитаем число, полученное на шаге 5.
Пример. В нашем случае это будет .
7. Переходим к шагу 4.
Продолжаем данную последовательность шагов алгоритма до тех пор, пока корень не вычислен с требуемой точностью.
Пример. В нашем случае мы возводим в квадрат и умножаем его на
:
. Теперь подберем цифру, при умножении на которую числа
получим близкое к
, но меньшее его число. Эта цифра
(
). Теперь из числа
(разность, полученная на предыдущем шаге и приписанная справа следующая группа цифр) нужно вычесть следующую сумму:
Тем самым, разность будет равна нулю, и корень, который оказался точным, извлечен — это .
Теперь приведу запись, которая при этом получается (разумеется, при реальных вычислениях все скорее всего будет не столь красиво и аккуратно ).
Алгоритм основан на формуле куба суммы: .
Для тех же, кому интересно извлечение корней высших степеней, даю ссылку (правда, материал на английском): http://en.wikipedia.org/wiki/Shifting_nth-root_algorithm.
1 Дорофей.:
Спасибо за “добротную” формулу. Хоть она и большая и для меня в новинку такой ход вычисления, но ведь новое – иногда хорошо.
Ещё раз спасибо. :3 :3 :3
http://hijos.ru/wp-content/uploads/comment_images/post-7130/2013/2/01e41c1233f19c7eb751940de014c1da.jpg
[Ответить]
4 Февраль 2013, 19:232 Никита:
В последнем примере в первой строчке ошибка: в нашем случае мы возводим в квадрат не 23, а 42, исправте)
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Февраль 7th, 2014 at 18:49
Спасибо! Исправила.
[Ответить]
Georgiev Reply:
Май 8th, 2015 at 14:38
Pravilno: 42,a net 23!
[Ответить]
3 Павел:
Хочу акцентировать внимание на этой фразе.
“Однако следует иметь в виду, что кроме данного числа, из разности необходимо будет вычитать еще и другие числа, так что иногда имеет выбрать цифру чуть меньше.”
Если при очередном вычитании получилось отрицательное число, значит последний рассчитанный вами разряд нужно уменьшить на единичку.
Завис из-за этого где-то на пол часа. В статье все сходилось, а на бумаге – нет.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 4th, 2015 at 22:38
Спасибо, исправила.
[Ответить]
4 Антон:
У меня почему то не получается вычислить вторую цифру. К примеру я хочу вычислить корень из 48558765
Начало понятно. Разбиваю число на группы по 3 цифры в каждой. 485.587.656
Потом я знаю, что 7 в кубе 343, а 8 в кубе 512. Соответственно первая цифра 7
Потом вычитаю 343 из 485 и добавляю три цифры из второй группы, получается 142587.
Дальше 7 я возвожу в квадрат, и умножаю на 3, получаю 147. И выбираю цифру, при умножении на которую получаю число, меньшее, чем число, образованное всеми цифрами разности, кроме двух последних, но достаточно близкое к нему.
147*8=1176 147*9=1323.
Получается, я должен выбрать цифру 9, но в ответе цифра 8.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 23:11
Если Вы сложите все, что нужно:
, это больше, чем
, т.е., как указано в алгоритме, нужно взять
.
[Ответить]