Распечатать запись Распечатать запись

Заключающая логика: к бесконечности и за нее

Ричард Элвис

Тайны бесконечности могут привести нас к фантастической структуре над математикой, какой мы ее знаем, и за ее пределами.

Когда Давид Гильберт сошел со сцены Сорбонны в Париже, во Франции, 8 августа 1900 года, лишь малое число собравшихся делегатов казалось очень впечатленным. Согласно одному из современных докладов, обсуждение, последовавшее за его выступлением на втором международном конгрессе математиков, было “довольно бессистемным’’. Страсти, кажется, были более накалены в последующей дискуссии о том, следует ли принять эсперанто в качестве рабочего языка математики.

И все же обращение Гильберта установило направления развития математики XX века. Они выделены в список из 23 важнейших нерешенных вопросов, в число которых входят задача об упаковке шаров, наилучшим образом использующей имеющееся пространство, и вопрос о справедливости гипотезы Римана, касающейся распределения простых чисел.

Сегодня многие из этих проблем решены, задача об упаковке в их числе. В других, таких как гипотеза Римана, продвижения мало или оно вообще отсутствует. Но первый пункт в списке Гильберта выделяется явным различием ответов, которые с тех пор давали на него поколения математиков: это вопрос, на который математика просто не может дать ответ.

Эта любопытная неразрешимая загадка известна как континуум-гипотеза, и она касается самого загадочного числа, бесконечности. Теперь, спустя 140 лет со времени формулировки задачи, известный американский математик считает, что он решил ее. Более того, он утверждает, что получил решение не с помощью той математики, которую мы знаем, но построением новой, гораздо более сильной логической структуры: эту структуру он называет “заключающее L’’ (“ultimate L”).

Движение к этому моменту началось в ранних 1870-х, когда немец Георг Кантор создал основы теории множеств. Теория множеств занимается подсчетом и действиями над наборами объектов, а также составляет важную логическую основу математики: поскольку числа могут быть связаны с размерами множеств, правила операций над множествами также определяют логику арифметики и все, что на ней строится.

Эти сухие, пресноватые логические соображения получили новую остроту, когда Кантор задался важным вопросом: насколько большое множество можно получить? Очевидный ответ — бесконечно большое — как оказалось, имеет шокирующий смысл: бесконечность не одна сущность, она имеет много уровней.

Как же так? Вы можете понять эту идею, пересчитывая целые числа: 1, 2, 3, 4, 5… Как далеко вы можете идти? Ну конечно, бесконечно далеко, — нет самого большого целого числа. Это один вид бесконечности, самая маленькая, “счетный’’ уровень, где действует арифметика.

Теперь рассмотрим вопрос “сколько точек на прямой?’’ Линия абсолютно прямая и гладкая, без каких-либо отверстий и разрывов; она содержит бесконечное множество точек. Но это не счетная бесконечность целых чисел, где вы, считая, делаете ряд определенных, хорошо разделенных шагов. Это гладкая, непрерывная бесконечность, которая описывает геометрические объекты. Она характеризует не целые числа, а числа вещественные — целые числа и все промежуточные числа, которые имеют столько знаков после запятой, сколько хотите — 0.1, 0.01, \sqrt{2}, \pi и так далее.

Кантор показал, что эта “континуум’’ бесконечность на самом деле бесконечно больше, чем счетная, целочисленная. Более того, это всего лишь один шаг по лестнице, ведущей к еще более высоким уровням бесконечностей, ведущей вверх далеко, на бесконечность.

Точный состав этих высших бесконечностей остался туманным, но и более насущный вопрос не поддался Кантору. Существует ли промежуточный уровень между счетной бесконечностью и континуумом? Он подозревал, что нет, но не мог этого доказать. Его догадка об отсутствии этой математической ниши стала известна как континуум-гипотеза.

Попытки подтвердить или опровергнуть континуум-гипотезу основаны на рассмотрении всех возможных бесконечных подмножеств множества вещественных чисел. Если каждое из них либо счетно, либо имеет тот же размер, что все множество вещественных чисел, то гипотеза верна. Наоборот, наличие даже одного подмножества промежуточного размера сделает ее ложной.

Аналогичный метод использования подмножеств множества целых чисел показывает, что нет уровня бесконечности ниже счетной. Заманчиво, возможно, думать, что существует вдвое меньше четных чисел, так как целые числа в общей сложности являются набором четных и нечетных чисел, которые могут быть составлены в пары. В действительности же каждое подмножество целых чисел либо конечно, либо бесконечно, но счетно (примеч. см. Виленкин Н.Я. “Рассказы о множествах’’).

Для вещественных чисел этот подход принес немного плодов, по причинам, которые вскоре станут ясны. В 1885 году шведский математик Гёста Миттаг-Леффлер не позволил опубликовать одну из работ Кантора на том основании, что она появилась “примерно на 100 лет раньше, чем нужно’’. И как в 1901 году показал британский математик и философ Бертран Рассел, Кантор действительно опередил свое время. Хотя его выводы о бесконечности были глубокими, в логической основе его теории множеств были изъяны, происходящие из неформального и, в конечном счете, парадоксального понимания того, что есть множество.

Только в 1922 году два немецких математика, Эрнст Цермело и Абрахам Френкель, разработали ряд правил для работы с множествами, казалось бы, достаточно строгие, чтобы поддержать Канторовское построение бесконечностей и стабилизировать основания математики. К сожалению, эти правила не позволяют дать точный ответ для континуум-гипотезы. На самом деле, они, казалось, заставляют предположить, что ответ может даже и не существовать.

Муки выбора

Сразу же камнем преткновения стало правило, известно как “аксиома выбора’’. Она не была частью аксиом Цермело и Френкеля, но вскоре, когда стало ясно, что некоторые сущности математики, такие как возможность сравнения различных размеров бесконечностей, были бы невозможны без нее, была введена.

Аксиома выбора утверждает, что если у вас есть набор множеств, то всегда можно сформировать новый набор, выбрав по одному элементу из каждого множества. Это звучит успокаивающе, но здесь есть и проблема: можно придумать несколько настолько сложных исходных множеств, что когда вы выбираете по одному элементу из каждого из них, получаются очень странные множества. Польские математики Стефан Банах и Альфред Тарский вскоре показали, как аксиома выбора может использоваться для разделения множества точек, из которых состоит шар, на шесть подмножеств, которые могут быть затем сдвинуты так, чтобы получилось два шара такого же размера, как и исходный. Это было признаком фундаментальной проблемы: аксиома допускала существование особенно неправильных множеств вещественных чисел, свойства которых не могут быть определены. Если дело обстояло так, то это являлось мрачным предзнаменованием невозможности доказать континуум-гипотезу.

Эта новость пришла в тот момент, когда понятие “недоказуемость’’ только становилась популярным. В 1931 году австрийский логик Курт Гёдель доказал свою пресловутую “теорему о неполноте’’. В ней утверждается, что при любой системе аксиом всегда существуют утверждения о множествах или числах, которые математика не может ни доказать, ни опровергнуть.

В то же время Гёдель выдвинул представлявшуюся безумной догадку о том, как можно заполнить большинство пробелов в основании логической структуры математики: нужно просто построить больше уровней бесконечности. Это идет против всего, что мы могли бы считать правильным, но догадка Гёделя оказалась воодушевляющей. Он доказал свою точку зрения в 1938 году. Начиная от простой концепции множеств, удовлетворяющих аксиомам Цермело и Френкеля и затем тщательно определяя их бесконечную надстройку, он создал математическую среду, в которой аксиома выбора и континуум-гипотеза одновременно истинны. Он назвал свой новый мир “конструктивной Вселенной’’ – или просто “L’’.

L была привлекательной средой для занятий математикой, но вскоре возникли причины для сомнений в том, что она была “правильной’’. Во-первых, ее бесконечная лестница не поднималась достаточно высоко, чтобы заполнить все пробелы, которые, как известно, существуют в базовой структуре. В 1963 году Пол Коэн из Стэнфордского университета в Калифорнии связал все воедино, когда разработал способ получения множества упорядоченных математических вселенных, совместимых с аксиомами Цермело и Френкеля.

Это было началом строительного бума. “За последние полвека математики, занимающиеся теорией множеств, обнаружили огромное разнообразие моделей этой теории, хаотическое нагромождение теоретико-множественных возможностей’’, — говорит Джоэл Хэмкинс из Городского университета Нью-Йорка. Некоторые из них “миры L-типа’’ с суперструктурами типа L Гёделя, отличающиеся только спектром дополнительных уровней бесконечности, которые они содержат, другие имеют различные архитектурные стили с совершенно разными уровнями и бесконечными лестницами, ведущими в самых разных направлениях.

В большинстве случаев жизнь в этих структурах одинакова: по большей части математика в них, также как и законы физики, не отличается. Но существование этой математической “мультивселенной’’ также, казалось, разбивает любую возможность когда-либо справиться с континуум-гипотезой. Как Коэн сумел показать, в некоторых логически возможных мирах гипотеза верна, и нет промежуточного уровня бесконечности между счетной и континуум, в других есть один, в третьих — бесконечно много. С математической логикой, как мы ее понимаем, просто не существует способа узнать, в мире какого вида мы живем.

Вот здесь Хью Вудин из Университета Калифорнии, Беркли, и выдвинул свое предложение. Ответ, по его словам, можно найти, выйдя за рамки нашего обычного математического мира и перейдя на более высокий уровень.

Вудин не “одурманивающий и не проходящий мимо’’ гуру. Он признанный специалист в теории множеств, он уже получил максимальную награду в своей области: уровень на бесконечной лестнице назван его именем. На этом уровне, который находится гораздо выше, чем все, что предусмотрено в L Гёделя, находятся гигантские образования, известные как кардиналы Вудина.

Кардиналы Вудина иллюстрируют, как добавление апартаментов пентхауса в структуру математики может решить задачи на менее тонких уровнях внизу. В 1988 году американские математики Дональд Мартин и Джон Стил показали, что если кардиналы Вудина существуют, то все “проективные’’ подмножества множества вещественных чисел имеют измеримые размеры. Почти все обычные геометрические объекты могут быть описаны в терминах этого особого вида множеств, так что это была только опора, необходимая для поддержания неудобных явлений, таких как шар Банаха и Тарского, вне основной математики.

Эти успехи, однако, оставили Вудина неудовлетворенным. “Какой смысл в концепции мира множеств, в которой существуют очень большие множества, если вы даже не можете выяснить основные свойства небольших множеств?’’ — спрашивает он. Даже спустя 90 лет после того как Цермело и Френкель вроде бы установили основания математики, пробелов было хоть отбавляй. “Теорию множеств пронизывают неразрешимые вопросы. Практически любой вопрос, который вы хотите задать, неразрешим,’’ — говорит Вудин. И прямо в сердце этого лежит континуум-гипотеза.

Заключающее L

Вудин и другие увидели зародыш нового, более радикального подхода, исследуя особенности структуры множества вещественных чисел, которые появляются в различных мирах L-типа. Модели, известные как универсальные бэровские множества, немного изменили геометрию, возможную в каждом из миров, и, казалось, выступили в качестве своего рода кода идентификации для него. И чем больше Вудин думал, тем больше становилось ясно, что существовали связи между моделями, казалось бы, в разрозненных мирах. При сопоставлении моделей границы, которые, казалось, существуют между мирами, начали растворяться, и постепенно появилась карта одной математической супервселенной. В честь оригинального изобретения Гёделя Вудин назвал эту гигантскую логическую структуру “заключающее L’’.

Среди прочего, заключающее L предусматривает впервые определенный расчет спектра подмножеств множества вещественных чисел: для каждой точки разветвления между мирами, которую открывают методы Коэна, только один возможный маршрут совместим с картой Вудина. В частности, это означает, что гипотеза Кантора верна, что исключает что-нибудь между счетной бесконечностью и континуумом. Это будет означать не только ответ на 140-летнюю загадку, но и благоприятный поворот для Вудина лично: 10 лет назад он считал, что континуум-гипотезу следует считать ложной.

Это не все, что касается заключающего L. Широкое, просторное пространство позволяет сделать дополнительные шаги, которые ведут к вершине бесконечной лестницы, что необходимо для заполнения пробелов внизу, что дает хороший прогноз для предчувствия Гёделя об уничтожении неразрешимости, которой страдает математика. Теорема о неполноте Гёделя не погибнет, но вы можете следовать ей настолько, насколько вы хотите, поднимаясь вверх по лестнице в бесконечность математики.

Перспективы удалить наконец логическую незавершенность, которая терзала даже основные области, такие как теория чисел достаточно, чтобы у многих математиков вызвать слюноотделение. Остается только один вопрос. Является ли заключающее L действительно правдой?

Андрес Кайседо, логик из Университета штата Айдахо в Айдахо, высказывает осторожный оптимизм. “Было бы разумно сказать, что это “правильный’’ способ идти к установке полных аксиом теории множеств’’, — говорит он. “Но есть еще несколько технических вопросов, которые будут уточнены, прежде чем можно будет сказать с уверенностью, что это удастся’’.

Другие менее убеждены. Хэмкинс, бывший студент Вудина, разделяет идею, что это просто так много законных логических математических построений, как мы смогли найти на сегодняшний день. Он считает, что математики должны учиться охватывать разнообразие математических мультивселенных, с пространствами, где континуум-гипотеза верна, и другими, где она ложна. Выбор таких пространств для работы тогда будет делом личного вкуса и удобства. “Ответ состоит в нашем глубоком понимании того, как континуум-гипотеза выполняется и не выполняется во всей мультивселенной’’, — говорит он.

Идеи Вудина не ставят крест на этом выборе полностью, хотя отдельные стороны многих из этих различных вселенных выживут внутри заключающего L. “Одной из целей является показать, что любая достижимая вселенная может быть получена из теории с помощью средств, которые мы можем в настоящее время предвидеть,’’ — говорит Кайседо. “Если так, то заключающее L — это все, что нам нужно’’.

В 2010 году Вудин представил свои идеи на том же форуме, к которому Гильберт обратился на столетие раньше, Международном конгрессе математиков, на этот раз в Хайдарабаде, в Индии. Однажды Гильберт защитил теорию множеств, заявив, что “никто не должен изгонять нас из рая, который создал Кантор’’. Но мы спотыкались об этот рай без какого-либо четкого представления о том, где мы находимся. Может быть, теперь нам виден маршрут — тот путь, по которому мы пойдем в этом столетии и позже.

Ричард Элвис преподает в Университете Лидса в Великобритании и является автором книг Maths 1001: Absolutely Everything That Matters in Mathematics (Quercus, 2010) и How to Build a Brain (Quercus, 2011)

Источник: http://www.newscientist.com/article/mg21128231.400-ultimate-logic-to-infinity-and-beyond.html

Комментариев: 6

  1. 1 Корнеев В.Ф.:

    О-о-о! Место для моих юморесок.
    1) “Вот придурки!”
    Вы представляете себе какие математики софисты? С одной стороны они доказывают, что иррациональных чисел больше, чем рациональных, хотя между любыми двумя иррациональными числами на числовой оси легко указать бесчисленное множество рациональных. С другой стороны они доказывают, что рациональных чисел столько же, сколько и натуральных, хотя легко указать бесчисленное множество пар рациональных чисел, среди которых нет ни одного натурального числа. Занялись бы чем-нибудь полезным…

    [Ответить]

  2. 2 Корнеев В.Ф.:

    2) “Теорема Коэна или новый наряд короля для математиков.”
    Я сейчас то ли удручен собственным дебилизмом, то ли мне просто следует полечиться на Культпарковской. (Во Львове на ул. Культпарковской расположена общеизвестная психбольница.) Мне кажется, что я окончательно то ли рехнулся, то ли решил известную континуум-гипотезу (проблему). Ответ таков: промежуточного множества не существует, и пошел Коэн … Доказательство до того легкое и очевидное (просто детское), что я его приведу прямо сейчас.
    Коль Коэн доказал невозможность установления истинности континуум-гипотезы, то отсюда следует, что указать промежуточное множество невозможно, а следовательно его не существует, ибо противоположное будет противоречить самой теореме Коэна. Вот и все доказательство. Одним предложением!
    Теорема Коэна показала себя змеей, пожирающей самую себя с хвоста (вот уж поистине
    бесплатный обед!). Если теорема Коэна верна, то она … не верна! Гордиевы узлы нужно
    развязывать по-Македонски.
    Сторонники мнимых множеств (в отличие от сторонников мнимых чисел) конечно мо-
    гут себе заниматься онанизмом и получать удовольствие от создания «геометрии Лобачев-ского», презрев гнев беотийцев. Только вот геометрия Лобачевского – особь статья, а мнимые множества – особь статья. А впрочем…, впрочем… смеётся тот, кто смеётся последним. Не побоялся же Лобачевский знаете чего. Нашлись же ещё герои, поступив-шие с аксиомой Архимеда точно так же, как поступил Лобачевский с аксиомой Эвклида, и взрастившие плодоносящее древо.
    Мне же удовольствие доставляет только женщина. Р. Клайн, сетующий в своей книге «Математика и правдоподобные рассуждения» о том, что математики ушли от приклад-ных вопросов и занялись чистой математикой (самоудовлетворением), прочитав все это, наверное, поддержал бы меня и руками и ногами. Но и на мой адрес, наверное, отпустил бы таки реплику, что, мол, и я согрешил онанизмом, коль заинтересовался континуум-гипотезой.

    [Ответить]

  3. 3 Корнеев В.Ф.:

    3) ” Сентенции.”
    Рассмотрим два высказывания А и Б и проимплицируем их.
    А: высказывание Б ложно.
    Б: высказывание А истинно.
    Что можно сказать об истинности хотя бы высказывания А? Рассмотрим по порядку обе возможности.
    1) Высказывание А истинно. Но тогда оно ложно.
    2) Высказывание А ложно. Но тогда оно истинно.
    Получаем ситуацию с самопожирающейся змеёй? Ни истинно ни ложно? Вы правы. Но удивительно, что это всего лишь ваша точка зрения. Моя же точка зрения противоположна вашей: как истинно, так и ложно, и я, оказывается, тоже прав. Я сейчас это легонько докажу. Начну с обвинения в ваш адрес. Почему вы остановились на полдороги? В шахматах это называется рассмотреть полуход при анализе. Проделаем эту же процедуру ещё разочек. И мы приходим к моей точке зрения!
    А может вообще остановиться на четверти дороги, рассмотреть только первую возможность, и поскольку она ведёт к противоречию, то сделать вывод, что верна вторая возможность? По закону исключения третьего! Ведь в математике так делается постоянно!
    Пришла мысль, как конкретно приколоться над законом исключения третьего (всякое утверждение либо верно либо оно не верно, и третьего не дано). Как быть с известным вопросом «кто старше, курица или яйцо?»? Думаю, что теперь вы любому математику с помощью закона исключения третьего (от противного) докажете любую возможность.

    [Ответить]

  4. 4 Елизавета Александровна Калинина:

    Спасибо! Здорово! Простор для шуток действительно неограниченный! ;)

    [Ответить]

  5. 5 юра:

    Спасибо огромное за перевод этой статьи! у самого вариант на английском есть а на русский всё времени не было перевести. грандиозная тема в этой статье.

    [Ответить]

  6. 6 Парадокс Банаха - Тарского | Математика, которая мне нравится:

    [...] преобразованиях. Доказательство также опирается на аксиому выбора. Идея доказательства связана с [...]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение