Распечатать запись Распечатать запись

От апельсинов к модемам

Еще одна статья об интересных приложениях абстрактных математических теорий.

От апельсинов к модемам

Эдмунд Харрисс

В 1998 году математика вдруг появилась в новостях. Томас Хейлc из университета Питтсбурга в Пенсильвании доказал гипотезу Кеплера, показав, что способ, которым торговцы фруктами укладывают апельсины, является самым выгодным способом упаковки шаров. Задача, поставленная в 1611 году, была наконец решена! Выступая на телевидении, один зеленщик сказал: “Я думаю, что это пустая трата времени и денег налогоплательщиков’’. Я мысленно спорю с тем зеленщиком: решение задачи об упаковке шаров позволяет развивать современные способы связи, эта задача связана с канальными кодами и кодами, исправляющими ошибки.

В 1611 году Иоганн Кеплер предположил, что способ укладки зеленщиков является самым плотным, но он не смог доказать этого. Оказалось, что эта задача очень сложна. Даже более простой вопрос об упаковке кругов был решен Ласло Феджесом Тотом только в 1940 году. Также в семнадцатом веке Исаак Ньютон и Дэвид Грегори поспорили о проблеме поцелуев: как много шаров может касаться данного шара так, чтобы не было наложений шаров друг на друга. В двумерном случае легко доказать, что таких кругов 6. Ньютон думал, что для трех измерений таких шаров может быть максимум 12. Это действительно так, но только в 1953 году Курт Шютте и Бартель ван дер Варден смогли это доказать.

Олег Мусин в 2003 году доказал, что число поцелуев в четырех измерениях равно 24. Для пятимерного пространства мы можем сказать только, что оно лежит между 40 и 44. Еще мы знаем, что для восьмимерного пространства ответ 240, и это было доказано в 1979 году Эндрю Одлизко из университета Миннесоты, Миннеаполис. Эта же работа содержит еще один несколько странный результат: ответ для двадцати четырех измерений — 196 560. Эти доказательства проще, чем результат для трех измерений и имеют отношение к двум невероятно плотным упаковкам сфер — упаковке Е8 в 8-мерном пространстве и решетке Лича в 24-мерном.

Все это достаточно интересно, но можно ли извлечь отсюда какую-нибудь пользу? В 60-х годах прошлого века инженер по имени Гордон Лэнг поверил в это. Лэнг разрабатывал модемы и пытался применять в своей работе всю математику, которую знал. Нужно было посылать сигнал по каналу с помехами, такому как телефонная линия. Естественный путь состоит в выборе набора тонов для сигналов. Но полученный звук может отличаться от того, который был послан. Чтобы исключить это, он описал сигналы, сопоставив каждому свой номер. Стало проще определять, какой сигнал из тех, что могли быть посланы, ближе всего к полученному сигналу. Тогда сигналы стало возможно рассматривать как сферы, которые несколько колеблются вследствие помех. Чтобы как можно больше увеличить объем информации, которая может быть передана, эти сферы должны быть упакованы так плотно, как это только возможно. В 1970-е годы Лэнг изобрел модем с 8-мерными сигналами, используя упаковку Е8. Это помогло открыть Интернет, так как данные стало возможно передавать по телефону вместо того, чтобы использовать специально разработанные кабели. Однако не все испытывали восторг. Дональд Коксетер, который помогал Лэнгу понять математику, сказал, что он “пришел в ужас, поскольку его красивые теории были запятнаны (примеч. думаю, дело в чистоте математики :) ) таким образом’’.

Источник: http://www.scribd.com/doc/60149953/Unplanned-Maths

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение