Распечатать запись Распечатать запись

Полезные правила для ускорения вычислений

Как уже говорилось здесь, мне очень повезло с моими школьными учителями. До сих пор помню некоторые вещи, о которых узнала от них. Сейчас расскажу немного из того, что рассказывала нам Арсеньева Галина Павловна, учительница математики в средней школе N21 города Череповца Вологодской области (школа с углубленным изучением английского языка). Все это полезно для быстрого счета. Разумеется, это она не сама придумала, но я ссылаюсь на нее, поскольку именно от нее это узнала.

Квадрат числа, оканчивающегося на 5

Вот замечательное правило от моей учительницы математики из гуманитарной периферийной школы ;) Забавно, что сейчас далеко не все физматики это знают.

Пусть нам нужно возвести в квадрат число, которое оканчивается цифрой 5. Это можно сделать очень просто. Нужно всего-навсего умножить первую цифру этого числа на увеличенную на единицу ту же цифру, и к полученному при этом числу приписать справа 25. Это все.

Примеры. Допустим, нужно найти квадрат числа 35. Первая цифра этого числа –– цифра 3. К трем прибавляем 1, получаем 4. Умножаем 3 на 4, получаем 12. А теперь приписываем справа 25. Итак, получаем ответ 1225.

Возведем в квадрат 75. Имеем:

7\cdot(7+1)=7\cdot8=56 .

К 56 приписываем справа 25, получаем ответ: 5625.

А теперь объясню, почему это работает.

Двузначное число, оканчивающееся на 5, в десятичной системе счисления запишется следующим образом (здесь a — десятичная цифра, отличная от нуля):

\overline{a5}=10a+5 .

Возводим это число в квадрат, имеем:

\left(\overline{a5}\right)^2=(10a+5)^2=100a^2+100a+25=100\cdot(a^2+a)+25=(a+1)\cdot a\cdot100+25 .

Поскольку a — десятичная цифра, то (a+1)\cdot a не превосходит 90, т.е. это число двузначное. Как видим, мы его умножаем на 100 и к полученному числу прибавляем 25, а это и значит, что мы просто к нему приписываем справа 25.

Естественно, можно пользоваться этим правилом и для возведения в квадрат трехзначных чисел и чисел с большим числом знаков. Только умножать придется число, полученное из исходного зачеркиванием последней цифры (цифры 5), на это же число, увеличенное на 1. Так, например,

155^2=16\cdot15\cdot100+25=24025 ,

можете сами это проверить! Однако в этом случае приходится перемножать двузначные числа или числа с еще большим количеством знаков, что уже сложнее, чем простое применение таблицы умножения, что требуется для нахождения квадрата двузначного числа. Тем не менее, метод работает.

Умножение и деление на 25

Это совсем просто и очевидно, но опять-таки, не все, к сожалению, это знают. Иногда вместо умножения на 25 проще бывает разделить на 4, а затем умножить полученный результат на 100. (Однако можно и наоборот: умножить на 100, а потом разделить на 4!)

Вместо деления на 25 можно поделить на 100, а затем умножить то, что получится, на 4. (Наоборот: умножить на 4, а потом поделить на 100, тоже можно!).

Примеры. Умножим 12 на 25. Для этого 12 делим на 4, получаем 3. Теперь умножим 3 на 100 и получим ответ: 300.

Умножим 71 на 25. Для этого 71 сначала умножим на 100, а затем полученное число 7100 поделим на 4. Получим ответ: 1775.

Поделим 8100 на 25. Сначала делим 8100 на 100 и получаем 81. Теперь умножаем 81 на 4 и получаем ответ: 324.

Поделим 375 на 25. Умножив 375 на 4, получим 1500. Поделим 1500 на 100 и получим ответ: 15.

Кстати, забавная задачка, изображенная на картине Н.П. Богданова-Бельского, написанной в 1895 году. Эта картина называется “Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского”. Ребятишки задумались над такой задачей: требуется вычислить устно следующее значение

\displaystyle \frac{10^2+11^2+12^2+13^2+14^2}{365} .

А теперь вопрос вам. Чему равно значение выражения, написанного на доске? ;)

Комментариев: 11

  1. 1 Pavel Holoborodko:

    2.

    Моё решение “в лоб”:
    10^2+11^2+12^2+13^2+14^2 = =5\cdot10^2+2\cdot10^2+1+2^2+3^2+4^2=7\cdot10^2+30=730

    Было бы интересно узнать “красивое” решение.

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Павел, тут красивое решение то, которое проще всего для решающего. В “Науке и жизни” писали об этой задачке, посмотрите: http://www.nkj.ru/archive/articles/6347/

    [Ответить]

  3. 3 Корнеев В.Ф.:

    Для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, они не обязаны быть двузначными. Возведём устно 125. 12 в квадрате 144. Плюс 12 получим 156. Это 12х13. Итог 15625.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, Вы совершенно правы. На самом деле это лишь немного сложнее, чем просто выучить таблицу умножения ;)

    [Ответить]

  4. 4 Так- то:

    ну так то ответ 2 )

    [Ответить]

  5. 5 Елизавета Александровна Калинина:

    Ага, 2 ) И Павел об этом уже написал выше )

    [Ответить]

  6. 6 Применение формулы разности квадратов в устном счете | Математика, которая мне нравится:

    [...] (в последнем примере мы воспользовались правилом возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на , о котором написано здесь). [...]

  7. 7 Умножение дополнительных пар | Математика, которая мне нравится:

    [...] одно замечательное правило быстрого счета (раньше см. здесь). Разумеется, с объяснением, почему его можно [...]

  8. 8 Некто:

    Задача очень простая :) Просто надо знать что сумма квадратов 10, 11, 12 даёт 365 (а я знал :) ) и сумма квадратов 13 и 14 :) Ответ 2.

    [Ответить]

  9. 9 Елизавета Александровна Калинина:

    Правильно, только… лишнее в голове держать не затруднительно? ;)

    [Ответить]

  10. 10 Некто:

    Мне, как любителю олимпиадных задач, нужна любая информация которая может помочь в решении задач :)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение