Полезные правила для ускорения вычислений
Как уже говорилось здесь, мне очень повезло с моими школьными учителями. До сих пор помню некоторые вещи, о которых узнала от них. Сейчас расскажу немного из того, что рассказывала нам Арсеньева Галина Павловна, учительница математики в средней школе N21 города Череповца Вологодской области (школа с углубленным изучением английского языка). Все это полезно для быстрого счета. Разумеется, это она не сама придумала, но я ссылаюсь на нее, поскольку именно от нее это узнала.
Квадрат числа, оканчивающегося на 5
Вот замечательное правило от моей учительницы математики из гуманитарной периферийной школы Забавно, что сейчас далеко не все физматики это знают.
Пусть нам нужно возвести в квадрат число, которое оканчивается цифрой . Это можно сделать очень просто. Нужно всего-навсего умножить первую цифру этого числа на увеличенную на единицу ту же цифру, и к полученному при этом числу приписать справа
. Это все.
Примеры. Допустим, нужно найти квадрат числа >. Первая цифра этого числа –– цифра
. К трем прибавляем
, получаем
. Умножаем
на
, получаем
. А теперь приписываем справа
. Итак, получаем ответ
.
Возведем в квадрат . Имеем:
К приписываем справа
, получаем ответ:
.
А теперь объясню, почему это работает.
Двузначное число, оканчивающееся на , в десятичной системе счисления запишется следующим образом (здесь
— десятичная цифра, отличная от нуля):
Возводим это число в квадрат, имеем:
Поскольку — десятичная цифра, то
не превосходит
, т.е. это число двузначное. Как видим, мы его умножаем на
и к полученному числу прибавляем
, а это и значит, что мы просто к нему приписываем справа
.
Естественно, можно пользоваться этим правилом и для возведения в квадрат трехзначных чисел и чисел с большим числом знаков. Только умножать придется число, полученное из исходного зачеркиванием последней цифры (цифры ), на это же число, увеличенное на
. Так, например,
можете сами это проверить! Однако в этом случае приходится перемножать двузначные числа или числа с еще большим количеством знаков, что уже сложнее, чем простое применение таблицы умножения, что требуется для нахождения квадрата двузначного числа. Тем не менее, метод работает.
Умножение и деление на
Это совсем просто и очевидно, но опять-таки, не все, к сожалению, это знают. Иногда вместо умножения на проще бывает разделить на
, а затем умножить полученный результат на
. (Однако можно и наоборот: умножить на
, а потом разделить на
!)
Вместо деления на можно поделить на
, а затем умножить то, что получится, на
. (Наоборот: умножить на
, а потом поделить на
, тоже можно!).
Примеры. Умножим на
. Для этого
делим на
, получаем
. Теперь умножим
на
и получим ответ:
.
Умножим на
. Для этого
сначала умножим на
, а затем полученное число
поделим на
. Получим ответ:
.
Поделим на
. Сначала делим
на
и получаем
. Теперь умножаем
на
и получаем ответ:
.
Поделим на
. Умножив
на
, получим
. Поделим
на
и получим ответ:
.
Кстати, забавная задачка, изображенная на картине Н.П. Богданова-Бельского, написанной в 1895 году. Эта картина называется “Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского”. Ребятишки задумались над такой задачей: требуется вычислить устно следующее значение
А теперь вопрос вам. Чему равно значение выражения, написанного на доске?
1 Pavel Holoborodko:
Моё решение “в лоб”:

Было бы интересно узнать “красивое” решение.
[Ответить]
22 Август 2011, 4:262 Елизавета Александровна Калинина:
Павел, тут красивое решение то, которое проще всего для решающего. В “Науке и жизни” писали об этой задачке, посмотрите: http://www.nkj.ru/archive/articles/6347/
[Ответить]
22 Август 2011, 9:223 Корнеев В.Ф.:
Для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, они не обязаны быть двузначными. Возведём устно 125. 12 в квадрате 144. Плюс 12 получим 156. Это 12х13. Итог 15625.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 2nd, 2011 at 22:03
Да, Вы совершенно правы. На самом деле это лишь немного сложнее, чем просто выучить таблицу умножения
[Ответить]
4 Так- то:
ну так то ответ 2 )
[Ответить]
29 Сентябрь 2011, 20:215 Елизавета Александровна Калинина:
Ага, 2 ) И Павел об этом уже написал выше )
[Ответить]
29 Сентябрь 2011, 20:316 Применение формулы разности квадратов в устном счете | Математика, которая мне нравится:
[...] (в последнем примере мы воспользовались правилом возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на , о котором написано здесь). [...]
2 Октябрь 2011, 0:097 Умножение дополнительных пар | Математика, которая мне нравится:
[...] одно замечательное правило быстрого счета (раньше см. здесь). Разумеется, с объяснением, почему его можно [...]
13 Ноябрь 2011, 0:058 Некто:
Задача очень простая
Просто надо знать что сумма квадратов 10, 11, 12 даёт 365 (а я знал
) и сумма квадратов 13 и 14
Ответ 2.
[Ответить]
13 Ноябрь 2011, 15:409 Елизавета Александровна Калинина:
Правильно, только… лишнее в голове держать не затруднительно?
[Ответить]
13 Ноябрь 2011, 17:3410 Некто:
Мне, как любителю олимпиадных задач, нужна любая информация которая может помочь в решении задач
[Ответить]
14 Ноябрь 2011, 15:08