Математика, которая мне нравится

Как уже говорилось здесь, мне очень повезло с моими школьными учителями. До сих пор помню некоторые вещи, о которых узнала от них. Сейчас расскажу немного из того, что рассказывала нам Арсеньева Галина Павловна, учительница математики в средней школе N21 города Череповца Вологодской области (школа с углубленным изучением английского языка). Все это полезно для быстрого счета. Разумеется, это она не сама придумала, но я ссылаюсь на нее, поскольку именно от нее это узнала.

Квадрат числа, оканчивающегося на 5

Вот замечательное правило от моей учительницы математики из гуманитарной периферийной школы Забавно, что сейчас далеко не все физматики это знают.

Пусть нам нужно возвести в квадрат число, которое оканчивается цифрой . Это можно сделать очень просто. Нужно всего-навсего умножить первую цифру этого числа на увеличенную на единицу ту же цифру, и к полученному при этом числу приписать справа . Это все.

Примеры. Допустим, нужно найти квадрат числа >. Первая цифра этого числа –– цифра . К трем прибавляем , получаем . Умножаем на , получаем . А теперь приписываем справа . Итак, получаем ответ .

Возведем в квадрат . Имеем:

   

К приписываем справа , получаем ответ: .

А теперь объясню, почему это работает.

Двузначное число, оканчивающееся на , в десятичной системе счисления запишется следующим образом (здесь — десятичная цифра, отличная от нуля):

   

Возводим это число в квадрат, имеем:

   

Поскольку — десятичная цифра, то не превосходит , т.е. это число двузначное. Как видим, мы его умножаем на и к полученному числу прибавляем , а это и значит, что мы просто к нему приписываем справа .

Естественно, можно пользоваться этим правилом и для возведения в квадрат трехзначных чисел и чисел с большим числом знаков. Только умножать придется число, полученное из исходного зачеркиванием последней цифры (цифры ), на это же число, увеличенное на . Так, например,

   

можете сами это проверить! Однако в этом случае приходится перемножать двузначные числа или числа с еще большим количеством знаков, что уже сложнее, чем простое применение таблицы умножения, что требуется для нахождения квадрата двузначного числа. Тем не менее, метод работает.

Умножение и деление на

Это совсем просто и очевидно, но опять-таки, не все, к сожалению, это знают. Иногда вместо умножения на проще бывает разделить на , а затем умножить полученный результат на . (Однако можно и наоборот: умножить на , а потом разделить на !)

Вместо деления на можно поделить на , а затем умножить то, что получится, на . (Наоборот: умножить на , а потом поделить на , тоже можно!).

Примеры. Умножим на . Для этого делим на , получаем . Теперь умножим на и получим ответ: .

Умножим на . Для этого сначала умножим на , а затем полученное число поделим на . Получим ответ: .

Поделим на . Сначала делим на и получаем . Теперь умножаем на и получаем ответ: .

Поделим на . Умножив на , получим . Поделим на и получим ответ: .

Кстати, забавная задачка, изображенная на картине Н.П. Богданова-Бельского, написанной в 1895 году. Эта картина называется “Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского”. Ребятишки задумались над такой задачей: требуется вычислить устно следующее значение

   

А теперь вопрос вам. Чему равно значение выражения, написанного на доске?