Гипотеза Коллатца, или числа-градины
Эта проблема названа в честь Лотара Коллатца, предложившего ее впервые в 1937 году. Она имеет много других названий, в частности, числа-градины, сиракузская последовательность, проблема и др.). Задача эта имеет очень простую и доступную формулировку, однако до сих пор считается нерешенной.
Пол Эрдёш сказал по поводу гипотезы Коллатца: “Математика еще не готова к таким задачам’’. Он предложил также 500 долларов за ее решение.
В 2006 году Куртц и Симон, основываясь на работах Конвея 1970-х годов, доказали неразрешимость обобщенной гипотезы Коллатца, однако из этого не следует, что сама гипотеза недоказуема.
Совсем недавно (в июне текущего года) появились сообщения о том, что гипотеза Коллатца доказана Герхартом Опфером из Гамбургского университета. Однако его работа пока еще не опубликована, она находится на рецензии в журнале Mathematics of Computation.
Итак, вот в чем состоит проблема.
Возьмем произвольное натуральное число и построим последовательность по следующему правилу:
если четно, то поделим его на
и получим
;
если нечетно, то домножим его на
и прибавим
, получим
.
Затем берем как новое стартовое число и повторяем процесс.
Пример. Если возьмем , получим последовательность
При получаем
Так вот, гипотеза Коллатца состоит в том, что для любого стартового числа через конечное число шагов всегда получится последовательность
Название “числа-градины’’ связано с тем, что графики получаемых последовательностей (см. рис.) похожи на движение в атмосфере градин.
Гипотеза проверялась на компьютере для всех начальных значений до . Во всех этих случаях она заканчивалась повторяющимся циклом
, состоящим из трех элементов. Однако такая проверка не является доказательством гипотезы. Как показывают случаи гипотезы Пойа, гипотезы Мертенса и число Скьюза, иногда контрпримеры находятся только для очень больших чисел. Поскольку последовательное тестирование всех натуральных чисел — это процесс, который никогда не может быть закончен (их бесконечно много
), то такой подход не может доказать истинность гипотезы, он может показать только, что контрпример еще не найден.
http://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
http://plus.maths.org/content/mathematical-mysteries-hailstone-sequences (здесь вы можете также ввести начальный член последовательности и получить ее члены).
1 Георгий:
Если вам действительно интересно как устроены натуральные нечетные числа то вы можете прочитать об этом
https://www.amazon.com/Proof-Collatz-conjecture-Problems-Solutions-ebook/dp/B07PR2J3F8
Это электронный вариант но там же есть и бумажный
[Ответить]
31 Март 2019, 4:22