Теорема Гаусса
Теорема Гаусса. Пусть дан треугольник 
. Пусть прямая пересекает его стороны 
и 
в точках 
и 
соответственно, а продолжение стороны 
— в точке 
. Тогда середины отрезков 
и 
лежат на одной прямой.
Доказательство. Середины отрезков и обозначим через 
и 
соответственно. Эти точки лежат на прямых 
и 
, где 
и 
— середины сторон 
и треугольника .
Из подобия треугольников 
и 
получаем
![\[\frac{A_2P}{BC_1}=\frac{CP}{CC_1} ,\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71857f502df5199e564242b41038ceca_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
а из подобия треугольников 
и 
:
![\[\frac{B_2P}{AC_1}=\frac{CP}{CC_1} .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd34529d3126d52bee5a301efd40ac7e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Отсюда
![\[\frac{A_2P}{BC_1}=\frac{B_2P}{AC_1} \Rightarrow \frac{A_2P}{B_2P}=\frac{BC_1}{AC_1} .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14a02f7afb00dd0d8eba38b8de6319fd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Аналогично получаем соотношения
и 
Перемножим полученные три равенства:
![\[\frac{AB_1}{CB_1}\cdot \frac{CA_1}{BA_1}\cdot \frac{BC_1}{AC_1}= \frac{C_2N}{A_2N}\cdot \frac{A_2P}{B_2P}\cdot \frac{B_2M}{C_2M} .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b7cd510969d187d2bb260a0190c865df_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Так как точки 
и лежат на одной прямой, то по теореме Менелая левая часть этого равенства равна 
. Следовательно, учитывая правую часть равенства, по обратной теореме Менелая точки и лежат на одной прямой.
Источник: Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости. М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
Оставьте свой отзыв