Математика, которая мне нравится

Теорема Гаусса. Пусть дан треугольник . Пусть прямая пересекает его стороны и в точках и соответственно, а продолжение стороны — в точке . Тогда середины отрезков и лежат на одной прямой.

Доказательство. Середины отрезков и обозначим через и соответственно. Эти точки лежат на прямых и , где и — середины сторон и треугольника .

Из подобия треугольников и получаем

а из подобия треугольников и :

Отсюда

Аналогично получаем соотношения

и

Перемножим полученные три равенства:

Так как точки и лежат на одной прямой, то по теореме Менелая левая часть этого равенства равна . Следовательно, учитывая правую часть равенства, по обратной теореме Менелая точки и лежат на одной прямой.

Источник: Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости. М.: Изд-во МЦНМО, 2004.