Теорема Гаусса
Теорема Гаусса. Пусть дан треугольник 
. Пусть прямая пересекает его стороны 
и 
в точках 
и 
соответственно, а продолжение стороны 
— в точке 
. Тогда середины отрезков 
и 
лежат на одной прямой.
Доказательство. Середины отрезков и обозначим через 
и 
соответственно. Эти точки лежат на прямых 
и 
, где 
и 
— середины сторон 
и треугольника .
Из подобия треугольников 
и 
получаем
а из подобия треугольников 
и 
:
Отсюда
Аналогично получаем соотношения
и 
Перемножим полученные три равенства:
Так как точки 
и лежат на одной прямой, то по теореме Менелая левая часть этого равенства равна 
. Следовательно, учитывая правую часть равенства, по обратной теореме Менелая точки и лежат на одной прямой.
Источник: Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости. М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
Оставьте свой отзыв