Теорема Гаусса
Теорема Гаусса. Пусть дан треугольник
. Пусть прямая пересекает его стороны
и
в точках
и
соответственно, а продолжение стороны
— в точке
. Тогда середины отрезков
и
лежат на одной прямой.
Доказательство. Середины отрезков и
обозначим через
и
соответственно. Эти точки лежат на прямых
и
, где
и
— середины сторон
и
треугольника
.
Из подобия треугольников и
получаем
а из подобия треугольников и
:
Отсюда
Аналогично получаем соотношения
и
Перемножим полученные три равенства:
Так как точки и
лежат на одной прямой, то по теореме Менелая левая часть этого равенства равна
. Следовательно, учитывая правую часть равенства, по обратной теореме Менелая точки
и
лежат на одной прямой.
Источник: Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости. М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
Оставьте свой отзыв