Распечатать запись Распечатать запись

Теорема Гаусса

Теорема Гаусса. Пусть дан треугольник ABC. Пусть прямая пересекает его стороны AC и BC в точках B_1 и A_1 соответственно, а продолжение стороны AB — в точке C_1. Тогда середины отрезков AA_1, BB_1 и CC_1 лежат на одной прямой.

Доказательство. Середины отрезков AA_1, BB_1 и CC_1 обозначим через M,N и P соответственно. Эти точки лежат на прямых B_2C_2,C_2A_2 и A_2B_2, где A_2,B_2 и C_2 — середины сторон BC,AC и AB треугольника ABC.



Из подобия треугольников A_2CP и BCC_1 получаем

\displaystyle \frac{A_2P}{BC_1}=\frac{CP}{CC_1} ,

а из подобия треугольников B_2CP и ACC_1:

\displaystyle \frac{B_2P}{AC_1}=\frac{CP}{CC_1} .

Отсюда

\displaystyle \frac{A_2P}{BC_1}=\frac{B_2P}{AC_1} \Rightarrow \frac{A_2P}{B_2P}=\frac{BC_1}{AC_1} .

Аналогично получаем соотношения

\displaystyle \frac{B_2M}{C_2M}=\frac{CA_1}{BA_1} и \displaystyle \frac{C_2N}{A_2N}=\frac{AB_1}{CB_1} .

Перемножим полученные три равенства:

\displaystyle \frac{AB_1}{CB_1}\cdot \frac{CA_1}{BA_1}\cdot \frac{BC_1}{AC_1}= \frac{C_2N}{A_2N}\cdot \frac{A_2P}{B_2P}\cdot \frac{B_2M}{C_2M} .

Так как точки A_1,B_1 и C_1 лежат на одной прямой, то по теореме Менелая левая часть этого равенства равна 1. Следовательно, учитывая правую часть равенства, по обратной теореме Менелая точки M,N и P лежат на одной прямой.

Источник: Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости. М.: Изд-во МЦНМО, 2004.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение