Геометрические софизмы


Софизмы — это “мнимые доказательства” (Аристотель), в которых имеется ошибка и которые кажутся верными только на первый взгляд. Впрочем, далеко не всегда эту ошибку легко найти ;)

1.

    \[\pi=1\]

, а длина всякой окружности равна ее диаметру.

Построим на отрезке

    \[MN\]

как на диаметре окружность. Радиус окружности обозначим через

    \[R\]

. Тогда длина окружности будет равна

    \[2\pi R\]

:

    \[C=2\pi R .\]

Поделим

    \[MO\]

и

    \[NO\]

пополам точками

    \[O_1\]

и

    \[O_2\]

и построим новые окружности с центрами в этих точках радиусами

    \[\displaystyle MO_1=NO_2=\frac{R}{2}\]

. Найдем длины новых окружностей:

    \[\displaystyle C_1=C_2=\pi\frac{R}{2} .\]

Сумма их длин будет равна

    \[C_1+C_2=2\pi\frac{R}{2}=2\pi R ,\]

т.е. равна длине большой окружности

    \[C\]

.

Таким же образом будем строить окружности и далее и находить сумму их длин. Так, сумма длин окружностей

    \[C_3,C_4,C_5\]

и

    \[C_6\]

будет равна

    \[\displaystyle C_3+C_4+C_5+C_6=4\cdot 2\pi\frac{R}{4}=2\pi R .\]

Продолжая деление далее, мы будем делить диаметр

    \[MN\]

на все меньшие части, а радиусы новых окружностей будут равны

    \[\displaystyle \frac{R}{8},\frac{R}{16},\frac{R}{32}\]

и т.д. При этом сумма длин всех этих окружностей всегда будет равна

    \[2\pi R\]

.

Так как число делений большого диаметра будет бесконечно большим, окружности станут настолько малыми, что сольются с диаметром, и сумма их длин в пределе будет равна длине диаметра, так что она будет равна

    \[2R\]

. С другой стороны, сумма длин этих окружностей постоянна и равна

    \[2\pi R\]

, следовательно,

    \[C=2\pi R=2R .\]

Из этого равенства получаем

    \[2\pi R=2R,\]

или, деля на

    \[2R\]

:

    \[\pi=1 .\]

2. Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра.

В треугольнике

    \[ABC\]

точки

    \[M\]

и

    \[N\]

– середины сторон

    \[AB\]

и

    \[BC\]

соответственно. Построим на этих сторонах как на диаметрах окружности с центрами в

    \[M\]

и

    \[N\]

. Эти окружности пересекут сторону

    \[AC\]

в точках

    \[D\]

и

    \[E\]

. Угол

    \[AEB\]

прямой, поскольку он опирается на диаметр

    \[AB\]

, угол

    \[BDC\]

также прямой, так как он опирается на диаметр

    \[BC\]

. Из этого следует, что прямые

    \[BD\]

и

    \[BE\]

, проходящие через одну точку

    \[B\]

, будут перпендикулярны стороне

    \[AC\]

, следовательно, из точки

    \[B\]

на прямую

    \[AC\]

можно опустить два перпендикуляра.

Не знаю, как Вам, а мне всегда нравились софизмы, и поиск ошибки в решении, с виду очень правильно, доставлял удовольствие. Надеюсь, эти софизмы из книги А.А. Лямина “Математические парадоксы и интересные задачи для любителей математики” Вас тоже заинтересовали.

А теперь раскрываю, в чем тут подвох.

1. Так как сумма длин бесконечно малых окружностей постоянна, то она и в пределе равна

    \[2\pi R\]

. Пусть

    \[\Delta C\]

— длина малой окружности,

    \[\Delta R\]

— ее радиус. Как бы такая окружности ни была мала, всегда имеем

    \[\displaystyle \frac{\Delta C}{\Delta R}=2\pi ,\]

или

    \[\Delta C=2\pi\Delta R .\]

Отсюда видим, что эта бесконечно-малая окружность никогда не будет равна своему диаметру

    \[2\Delta R\]

, что следовало бы из результата софизма.

2. Неправильный чертеж. Известно, что окружности, построенные на двух сторонах треугольника как на диаметрах, пересекаются в точке, лежащей на третьей стороне (докажите это!).

Действительно, опустив из

    \[B\]

перпендикуляр на

    \[AC\]

, получим два прямоугольных треугольника, гипотенузами которых будут стороны

    \[BC\]

и

    \[AB\]

, и если вокруг этих треугольников описать окружности, их гипотенузы будут диаметрами.

Комментариев: 4

  1. 1 Роман:

    Относительно второго. Доказательство будет построенно на основании 5-го постулата Евклида, а он сам по себе неочевиден. Так что если брать за основу общую теорию геометрических построений,то последний софизм, вовсе не софизм,а является таковым лишь в Евклидовой геометрии. А сейчас любой мало-мальски соображающий 7-8-летний ребенок засомневается, что сумма углов тр-ка равна 180*, если конечно не скрыть от него, что Земля наша шарообразна.
    Первое тоже софизмом будет только для тех,кому неизвестна неопределенность “ноль на бесконечность” из теории границ курса мат. анализа, что преподают в любом курсе высшей математики.
    Не убедили. Я ищу софизмы, в которые человек с высшим маттехом поверит. Если есть таковые, пишите на valdr2@gmail.com.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Роман, конечно же, Вы правы. Это же в основном все для школьников :) . Если найду для Вас софизм, напишу.

    [Ответить]

    Роман Reply:

    Да мне нужен не один. ))) Если интересно,то могу поделиться парочкой,которые в свою диссертацию хочу включить.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Роман, конечно же, интересно :) Если можно, поделитесь, пожалуйста.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение