Геометрические софизмы
Софизмы — это “мнимые доказательства” (Аристотель), в которых имеется ошибка и которые кажутся верными только на первый взгляд. Впрочем, далеко не всегда эту ошибку легко найти
1. , а длина всякой окружности равна ее диаметру.
Построим на отрезке как на диаметре окружность. Радиус окружности обозначим через
. Тогда длина окружности будет равна
:
Поделим и
пополам точками
и
и построим новые окружности с центрами в этих точках радиусами
. Найдем длины новых окружностей:
Сумма их длин будет равна
т.е. равна длине большой окружности .
Таким же образом будем строить окружности и далее и находить сумму их длин. Так, сумма длин окружностей и
будет равна
Продолжая деление далее, мы будем делить диаметр на все меньшие части, а радиусы новых окружностей будут равны
и т.д. При этом сумма длин всех этих окружностей всегда будет равна
.
Так как число делений большого диаметра будет бесконечно большим, окружности станут настолько малыми, что сольются с диаметром, и сумма их длин в пределе будет равна длине диаметра, так что она будет равна . С другой стороны, сумма длин этих окружностей постоянна и равна
, следовательно,
Из этого равенства получаем
или, деля на :
2. Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра.
В треугольнике точки
и
— середины сторон
и
соответственно. Построим на этих сторонах как на диаметрах окружности с центрами в
и
. Эти окружности пересекут сторону
в точках
и
. Угол
прямой, поскольку он опирается на диаметр
, угол
также прямой, так как он опирается на диаметр
. Из этого следует, что прямые
и
, проходящие через одну точку
, будут перпендикулярны стороне
, следовательно, из точки
на прямую
можно опустить два перпендикуляра.
Не знаю, как Вам, а мне всегда нравились софизмы, и поиск ошибки в решении, с виду очень правильно, доставлял удовольствие. Надеюсь, эти софизмы из книги А.А. Лямина “Математические парадоксы и интересные задачи для любителей математики” Вас тоже заинтересовали.
А теперь раскрываю, в чем тут подвох.
1. Так как сумма длин бесконечно малых окружностей постоянна, то она и в пределе равна . Пусть
— длина малой окружности,
— ее радиус. Как бы такая окружности ни была мала, всегда имеем
или
Отсюда видим, что эта бесконечно-малая окружность никогда не будет равна своему диаметру , что следовало бы из результата софизма.
2. Неправильный чертеж. Известно, что окружности, построенные на двух сторонах треугольника как на диаметрах, пересекаются в точке, лежащей на третьей стороне (докажите это!).
Действительно, опустив из перпендикуляр на
, получим два прямоугольных треугольника, гипотенузами которых будут стороны
и
, и если вокруг этих треугольников описать окружности, их гипотенузы будут диаметрами.
1 Роман:
Относительно второго. Доказательство будет построенно на основании 5-го постулата Евклида, а он сам по себе неочевиден. Так что если брать за основу общую теорию геометрических построений,то последний софизм, вовсе не софизм,а является таковым лишь в Евклидовой геометрии. А сейчас любой мало-мальски соображающий 7-8-летний ребенок засомневается, что сумма углов тр-ка равна 180*, если конечно не скрыть от него, что Земля наша шарообразна.
Первое тоже софизмом будет только для тех,кому неизвестна неопределенность “ноль на бесконечность” из теории границ курса мат. анализа, что преподают в любом курсе высшей математики.
Не убедили. Я ищу софизмы, в которые человек с высшим маттехом поверит. Если есть таковые, пишите на valdr2@gmail.com.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 15th, 2012 at 15:32
Роман, конечно же, Вы правы. Это же в основном все для школьников
. Если найду для Вас софизм, напишу.
[Ответить]
Роман Reply:
Сентябрь 15th, 2012 at 23:52
Да мне нужен не один. ))) Если интересно,то могу поделиться парочкой,которые в свою диссертацию хочу включить.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 16th, 2012 at 1:02
Роман, конечно же, интересно
Если можно, поделитесь, пожалуйста.
[Ответить]