Геометрические софизмы

24 Июль 2011, 0:03

Софизмы — это “мнимые доказательства” (Аристотель), в которых имеется ошибка и которые кажутся верными только на первый взгляд. Впрочем, далеко не всегда эту ошибку легко найти

$\pi=1$

, а длина всякой окружности равна ее диаметру.

Построим на отрезке

$MN$

как на диаметре окружность. Радиус окружности обозначим через

$R$

. Тогда длина окружности будет равна

$2\pi R$

$C=2\pi R .$

Поделим

$MO$

$NO$

пополам точками

$O_1$

$O_2$

и построим новые окружности с центрами в этих точках радиусами

$\displaystyle MO_1=NO_2=\frac{R}{2}$

. Найдем длины новых окружностей:

$\displaystyle C_1=C_2=\pi\frac{R}{2} .$

Сумма их длин будет равна

$C_1+C_2=2\pi\frac{R}{2}=2\pi R ,$

т.е. равна длине большой окружности

$C$

Таким же образом будем строить окружности и далее и находить сумму их длин. Так, сумма длин окружностей

$C_3,C_4,C_5$

$C_6$

будет равна

$\displaystyle C_3+C_4+C_5+C_6=4\cdot 2\pi\frac{R}{4}=2\pi R .$

Продолжая деление далее, мы будем делить диаметр

$MN$

на все меньшие части, а радиусы новых окружностей будут равны

$\displaystyle \frac{R}{8},\frac{R}{16},\frac{R}{32}$

и т.д. При этом сумма длин всех этих окружностей всегда будет равна

$2\pi R$

Так как число делений большого диаметра будет бесконечно большим, окружности станут настолько малыми, что сольются с диаметром, и сумма их длин в пределе будет равна длине диаметра, так что она будет равна

$2R$

. С другой стороны, сумма длин этих окружностей постоянна и равна

$2\pi R$

, следовательно,

$C=2\pi R=2R .$

Из этого равенства получаем

$2\pi R=2R,$

или, деля на

$2R$

$\pi=1 .$

2. Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра.

В треугольнике

$ABC$

точки

$M$

$N$

– середины сторон

$AB$

$BC$

соответственно. Построим на этих сторонах как на диаметрах окружности с центрами в

$M$

$N$

. Эти окружности пересекут сторону

$AC$

в точках

$D$

$E$

. Угол

$AEB$

прямой, поскольку он опирается на диаметр

$AB$

, угол

$BDC$

также прямой, так как он опирается на диаметр

$BC$

. Из этого следует, что прямые

$BD$

$BE$

, проходящие через одну точку

$B$

, будут перпендикулярны стороне

$AC$

, следовательно, из точки

$B$

на прямую

$AC$

можно опустить два перпендикуляра.

Не знаю, как Вам, а мне всегда нравились софизмы, и поиск ошибки в решении, с виду очень правильно, доставлял удовольствие. Надеюсь, эти софизмы из книги А.А. Лямина “Математические парадоксы и интересные задачи для любителей математики” Вас тоже заинтересовали.

А теперь раскрываю, в чем тут подвох.

1. Так как сумма длин бесконечно малых окружностей постоянна, то она и в пределе равна

$2\pi R$

. Пусть

$\Delta C$

— длина малой окружности,

$\Delta R$

— ее радиус. Как бы такая окружности ни была мала, всегда имеем

$\displaystyle \frac{\Delta C}{\Delta R}=2\pi ,$

или

$\Delta C=2\pi\Delta R .$

Отсюда видим, что эта бесконечно-малая окружность никогда не будет равна своему диаметру

$2\Delta R$

, что следовало бы из результата софизма.

2. Неправильный чертеж. Известно, что окружности, построенные на двух сторонах треугольника как на диаметрах, пересекаются в точке, лежащей на третьей стороне (докажите это!).

Действительно, опустив из

$B$

перпендикуляр на

$AC$

, получим два прямоугольных треугольника, гипотенузами которых будут стороны

$BC$

$AB$

, и если вокруг этих треугольников описать окружности, их гипотенузы будут диаметрами.

Теги: геометрия, планиметрия, софизмы
Рубрика: Развлекалочки ;) | Отзывы (RSS) | Трекбек

Комментариев: 4

1 Роман:

Относительно второго. Доказательство будет построенно на основании 5-го постулата Евклида, а он сам по себе неочевиден. Так что если брать за основу общую теорию геометрических построений,то последний софизм, вовсе не софизм,а является таковым лишь в Евклидовой геометрии. А сейчас любой мало-мальски соображающий 7-8-летний ребенок засомневается, что сумма углов тр-ка равна 180*, если конечно не скрыть от него, что Земля наша шарообразна.
Первое тоже софизмом будет только для тех,кому неизвестна неопределенность “ноль на бесконечность” из теории границ курса мат. анализа, что преподают в любом курсе высшей математики.
Не убедили. Я ищу софизмы, в которые человек с высшим маттехом поверит. Если есть таковые, пишите на valdr2@gmail.com.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 15th, 2012 at 15:32
Роман, конечно же, Вы правы. Это же в основном все для школьников . Если найду для Вас софизм, напишу.

[Ответить]
Роман Reply:
Сентябрь 15th, 2012 at 23:52
Да мне нужен не один. ))) Если интересно,то могу поделиться парочкой,которые в свою диссертацию хочу включить.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 16th, 2012 at 1:02
Роман, конечно же, интересно Если можно, поделитесь, пожалуйста.

[Ответить]
15 Сентябрь 2012, 11:35

Математика, которая мне нравится

Геометрические софизмы

Комментариев: 4

1 Роман:

Оставьте свой отзыв

Навигация по сайту

Разделы

Новые комментарии

Хороший книжный магазин

Подписка на обновления сайта

Твиттер