Распечатать запись Распечатать запись

Геометрические софизмы


Софизмы — это “мнимые доказательства” (Аристотель), в которых имеется ошибка и которые кажутся верными только на первый взгляд. Впрочем, далеко не всегда эту ошибку легко найти ;)

1. \pi=1, а длина всякой окружности равна ее диаметру.

Построим на отрезке MN как на диаметре окружность. Радиус окружности обозначим через R. Тогда длина окружности будет равна 2\pi R:

C=2\pi R .

Поделим MO и NO пополам точками O_1 и O_2 и построим новые окружности с центрами в этих точках радиусами \displaystyle MO_1=NO_2=\frac{R}{2}. Найдем длины новых окружностей:

\displaystyle C_1=C_2=\pi\frac{R}{2} .

Сумма их длин будет равна

C_1+C_2=2\pi\frac{R}{2}=2\pi R ,

т.е. равна длине большой окружности C.

Таким же образом будем строить окружности и далее и находить сумму их длин. Так, сумма длин окружностей C_3,C_4,C_5 и C_6 будет равна

\displaystyle C_3+C_4+C_5+C_6=4\cdot 2\pi\frac{R}{4}=2\pi R .

Продолжая деление далее, мы будем делить диаметр MN на все меньшие части, а радиусы новых окружностей будут равны \displaystyle \frac{R}{8},\frac{R}{16},\frac{R}{32} и т.д. При этом сумма длин всех этих окружностей всегда будет равна 2\pi R.

Так как число делений большого диаметра будет бесконечно большим, окружности станут настолько малыми, что сольются с диаметром, и сумма их длин в пределе будет равна длине диаметра, так что она будет равна 2R. С другой стороны, сумма длин этих окружностей постоянна и равна 2\pi R, следовательно,

C=2\pi R=2R .

Из этого равенства получаем

2\pi R=2R,

или, деля на 2R:

\pi=1 .

2. Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра.

В треугольнике ABC точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно. Построим на этих сторонах как на диаметрах окружности с центрами в M и N. Эти окружности пересекут сторону AC в точках D и E. Угол AEB прямой, поскольку он опирается на диаметр AB, угол BDC также прямой, так как он опирается на диаметр BC. Из этого следует, что прямые BD и BE, проходящие через одну точку B, будут перпендикулярны стороне AC, следовательно, из точки B на прямую AC можно опустить два перпендикуляра.

Не знаю, как Вам, а мне всегда нравились софизмы, и поиск ошибки в решении, с виду очень правильно, доставлял удовольствие. Надеюсь, эти софизмы из книги А.А. Лямина “Математические парадоксы и интересные задачи для любителей математики” Вас тоже заинтересовали.

А теперь раскрываю, в чем тут подвох.

1. Так как сумма длин бесконечно малых окружностей постоянна, то она и в пределе равна 2\pi R. Пусть \Delta C — длина малой окружности, \Delta R — ее радиус. Как бы такая окружности ни была мала, всегда имеем

\displaystyle \frac{\Delta C}{\Delta R}=2\pi ,

или

\Delta C=2\pi\Delta R .

Отсюда видим, что эта бесконечно-малая окружность никогда не будет равна своему диаметру 2\Delta R, что следовало бы из результата софизма.

2. Неправильный чертеж. Известно, что окружности, построенные на двух сторонах треугольника как на диаметрах, пересекаются в точке, лежащей на третьей стороне (докажите это!).

Действительно, опустив из B перпендикуляр на AC, получим два прямоугольных треугольника, гипотенузами которых будут стороны BC и AB, и если вокруг этих треугольников описать окружности, их гипотенузы будут диаметрами.

Комментариев: 4

  1. 1 Роман:

    Относительно второго. Доказательство будет построенно на основании 5-го постулата Евклида, а он сам по себе неочевиден. Так что если брать за основу общую теорию геометрических построений,то последний софизм, вовсе не софизм,а является таковым лишь в Евклидовой геометрии. А сейчас любой мало-мальски соображающий 7-8-летний ребенок засомневается, что сумма углов тр-ка равна 180*, если конечно не скрыть от него, что Земля наша шарообразна.
    Первое тоже софизмом будет только для тех,кому неизвестна неопределенность “ноль на бесконечность” из теории границ курса мат. анализа, что преподают в любом курсе высшей математики.
    Не убедили. Я ищу софизмы, в которые человек с высшим маттехом поверит. Если есть таковые, пишите на valdr2@gmail.com.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Роман, конечно же, Вы правы. Это же в основном все для школьников :) . Если найду для Вас софизм, напишу.

    [Ответить]

    Роман Reply:

    Да мне нужен не один. ))) Если интересно,то могу поделиться парочкой,которые в свою диссертацию хочу включить.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Роман, конечно же, интересно :) Если можно, поделитесь, пожалуйста.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение