Математика, которая мне нравится

Софизмы — это “мнимые доказательства” (Аристотель), в которых имеется ошибка и которые кажутся верными только на первый взгляд. Впрочем, далеко не всегда эту ошибку легко найти

1. , а длина всякой окружности равна ее диаметру.

Построим на отрезке как на диаметре окружность. Радиус окружности обозначим через . Тогда длина окружности будет равна :

   

Поделим и пополам точками и и построим новые окружности с центрами в этих точках радиусами . Найдем длины новых окружностей:

   

Сумма их длин будет равна

   

т.е. равна длине большой окружности .

Таким же образом будем строить окружности и далее и находить сумму их длин. Так, сумма длин окружностей и будет равна

   

Продолжая деление далее, мы будем делить диаметр на все меньшие части, а радиусы новых окружностей будут равны и т.д. При этом сумма длин всех этих окружностей всегда будет равна .

Так как число делений большого диаметра будет бесконечно большим, окружности станут настолько малыми, что сольются с диаметром, и сумма их длин в пределе будет равна длине диаметра, так что она будет равна . С другой стороны, сумма длин этих окружностей постоянна и равна , следовательно,

   

Из этого равенства получаем

   

или, деля на :

   

2. Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра.

В треугольнике точки и — середины сторон и соответственно. Построим на этих сторонах как на диаметрах окружности с центрами в и . Эти окружности пересекут сторону в точках и . Угол прямой, поскольку он опирается на диаметр , угол также прямой, так как он опирается на диаметр . Из этого следует, что прямые и , проходящие через одну точку , будут перпендикулярны стороне , следовательно, из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра.

Не знаю, как Вам, а мне всегда нравились софизмы, и поиск ошибки в решении, с виду очень правильно, доставлял удовольствие. Надеюсь, эти софизмы из книги А.А. Лямина “Математические парадоксы и интересные задачи для любителей математики” Вас тоже заинтересовали.

А теперь раскрываю, в чем тут подвох.

1. Так как сумма длин бесконечно малых окружностей постоянна, то она и в пределе равна . Пусть — длина малой окружности, — ее радиус. Как бы такая окружности ни была мала, всегда имеем

   

или

   

Отсюда видим, что эта бесконечно-малая окружность никогда не будет равна своему диаметру , что следовало бы из результата софизма.

2. Неправильный чертеж. Известно, что окружности, построенные на двух сторонах треугольника как на диаметрах, пересекаются в точке, лежащей на третьей стороне (докажите это!).

Действительно, опустив из перпендикуляр на , получим два прямоугольных треугольника, гипотенузами которых будут стороны и , и если вокруг этих треугольников описать окружности, их гипотенузы будут диаметрами.