Теорема Штейнера - Лемуса | Математика, которая мне нравится

Теорема Штейнера – Лемуса

13 Июль 2011, 9:06

Якоб Штейнер

Якоб Штейнер (1796—1863) — швейцарский математик, является основателем синтетической геометрии кривых и поверхностей второго и высших порядков. Преподавал в Берлинском университете. Был членом Берлинской академии наук. В 1882 гг. в Берлине Вейерштрасс издал все его сочинения: “Gesammelte Werke von Jacob Steiner’’.

Даниэль Кристиан Лудольф Лемус (1780–1863) — немецкий математик, был профессором в Берлинском университете. Был постоянным сотрудником Журнала Крелля с момента выхода его первого номера в 1826 г.

Теорема Штейнера — Лемуса. Если в треугольнике равны биссектрисы двух внутренних углов, то этот треугольник равнобедренный.

Докажем сначала лемму, которая позволяет выразить длину биссектрисы угла треугольника через его стороны.

Рассмотрим треугольник $ABC$ . Обозначим его стороны $AB=c,BC=a,AC=b$ . Пусть $AA_1=l_a$ — биссектриса угла $A$ , равного $2\alpha$ , данного треугольника.

Лемма.

$l_a^2=\frac{bc(a+b+c)(b+c-a)}{(b+c)^2} .$

Доказательство. Поскольку биссектриса $l_a$ угла треугольника делит сторону $a$ на части, пропорциональные сторонам $b$ и $c$ , имеем

$\frac{A_1C}{A_1B}=\frac{b}{c}, A_1C+A_1B=a\Rightarrow A_1C=\frac{ab}{b+c}, A_1B=\frac{ac}{b+c} .$

Из треугольников $ABA_1$ и $ACA_1$ выразим по теореме косинусов квадраты сторон $A_1B$ и $A_1C$ соответственно:

$l_a^2+c^2-2l_ac\cos\alpha=\frac{a^2c^2}{(b+c)^2}, l_a^2+b^2-2l_ab\cos\alpha=\frac{a^2b^2}{(b+c)^2} .$

Теперь найдем $\cos\alpha$ из каждого равенства и приравняем полученные результаты:

$\cos\alpha=\frac{l_a^2+b^2-\frac{a^2b^2}{(b+c)^2}}{2bl_a}=\frac{l_a^2+c^2-\frac{a^2c^2}{(b+c)^2}}{2cl_a} .$

Отсюда

$l_a^2(c-b)+bc(b-c)+\frac{a^2}{(b+c)^2}(c^2-b^2)=0 ,$

и в случае $b\ne c$ (делим равенство на $c-b$ ):

$l_a^2=\frac{bc(b+c-a)(a+b+c)}{(b+c)^2} .$

Убеждаемся, что формула верна и при $b=c$ , когда $l_a^2=b^2+a^2/4$ .

Доказательство теоремы Штейнера — Лемуса. Выразим квадраты равных биссектрис $l_a$ и $l_b$ через стороны треугольника, воспользовавшись леммой:

$\frac{bc(b+c-a)(a+b+c)}{(b+c)^2}=l_a^2=l_b^2=\frac{ac(a+c-b)(a+b+c)}{(a+c)^2} .$

Переносим все в левую часть, приводим к общему знаменателю, упрощаем. Числитель полученной дроби равен нулю, или

$c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^2+ab)+3abc+c^3]=0 .$

В этом произведении все множители, кроме $a-b$ , положительны. Следовательно, $a=b$ .

Источники: Ч.Тригг “Задачи с изюминкой’’
http://ru.wikipedia.org/wiki/Штейнер,_Якоб

Теги: геометрия, планиметрия
Рубрика: Статьи по математике | Отзывы (RSS) | Трекбек

Математика, которая мне нравится

Теорема Штейнера – Лемуса

Оставьте свой отзыв

Навигация по сайту

Разделы

Новые комментарии

Подписка на обновления сайта