Распечатать запись Распечатать запись

Теорема Штейнера – Лемуса

Якоб Штейнер

Якоб Штейнер (1796—1863) — швейцарский математик, является основателем синтетической геометрии кривых и поверхностей второго и высших порядков. Преподавал в Берлинском университете. Был членом Берлинской академии наук. В 1882 гг. в Берлине Вейерштрасс издал все его сочинения: “Gesammelte Werke von Jacob Steiner’’.

Даниэль Кристиан Лудольф Лемус (1780–1863) — немецкий математик, был профессором в Берлинском университете. Был постоянным сотрудником Журнала Крелля с момента выхода его первого номера в 1826 г.

Теорема Штейнера — Лемуса. Если в треугольнике равны биссектрисы двух внутренних углов, то этот треугольник равнобедренный.

Докажем сначала лемму, которая позволяет выразить длину биссектрисы угла треугольника через его стороны.

Рассмотрим треугольник ABC. Обозначим его стороны AB=c,BC=a,AC=b. Пусть AA_1=l_a — биссектриса угла A, равного 2\alpha, данного треугольника.

Лемма.

\displaystyle l_a^2=\frac{bc(a+b+c)(b+c-a)}{(b+c)^2} .

Доказательство. Поскольку биссектриса l_a угла треугольника делит сторону a на части, пропорциональные сторонам b и c, имеем

\displaystyle \frac{A_1C}{A_1B}=\frac{b}{c}, A_1C+A_1B=a\Rightarrow A_1C=\frac{ab}{b+c}, A_1B=\frac{ac}{b+c} .

Из треугольников ABA_1 и ACA_1 выразим по теореме косинусов квадраты сторон A_1B и A_1C соответственно:

\displaystyle l_a^2+c^2-2l_ac\cos\alpha=\frac{a^2c^2}{(b+c)^2}, l_a^2+b^2-2l_ab\cos\alpha=\frac{a^2b^2}{(b+c)^2} .

Теперь найдем \cos\alpha из каждого равенства и приравняем полученные результаты:

\displaystyle \cos\alpha=\frac{l_a^2+b^2-\frac{a^2b^2}{(b+c)^2}}{2bl_a}=\frac{l_a^2+c^2-\frac{a^2c^2}{(b+c)^2}}{2cl_a} .

Отсюда

\displaystyle l_a^2(c-b)+bc(b-c)+\frac{a^2}{(b+c)^2}(c^2-b^2)=0 ,

и в случае b\ne c (делим равенство на c-b):

\displaystyle l_a^2=\frac{bc(b+c-a)(a+b+c)}{(b+c)^2} .

Убеждаемся, что формула верна и при b=c, когда l_a^2=b^2+a^2/4.

Доказательство теоремы Штейнера — Лемуса. Выразим квадраты равных биссектрис l_a и l_b через стороны треугольника, воспользовавшись леммой:

\displaystyle \frac{bc(b+c-a)(a+b+c)}{(b+c)^2}=l_a^2=l_b^2=\frac{ac(a+c-b)(a+b+c)}{(a+c)^2} .

Переносим все в левую часть, приводим к общему знаменателю, упрощаем. Числитель полученной дроби равен нулю, или

c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^2+ab)+3abc+c^3]=0 .

В этом произведении все множители, кроме a-b, положительны. Следовательно, a=b.

Источники: Ч.Тригг “Задачи с изюминкой’’
http://ru.wikipedia.org/wiki/Штейнер,_Якоб

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение