Теорема Штейнера – Лемуса
Якоб Штейнер (1796—1863) — швейцарский математик, является основателем синтетической геометрии кривых и поверхностей второго и высших порядков. Преподавал в Берлинском университете. Был членом Берлинской академии наук. В 1882 гг. в Берлине Вейерштрасс издал все его сочинения: “Gesammelte Werke von Jacob Steiner’’.
Даниэль Кристиан Лудольф Лемус (1780–1863) — немецкий математик, был профессором в Берлинском университете. Был постоянным сотрудником Журнала Крелля с момента выхода его первого номера в 1826 г.
Теорема Штейнера — Лемуса. Если в треугольнике равны биссектрисы двух внутренних углов, то этот треугольник равнобедренный.
Докажем сначала лемму, которая позволяет выразить длину биссектрисы угла треугольника через его стороны.
Рассмотрим треугольник . Обозначим его стороны
. Пусть
— биссектриса угла
, равного
, данного треугольника.
Лемма.
Доказательство. Поскольку биссектриса угла треугольника делит сторону
на части, пропорциональные сторонам
и
, имеем
Из треугольников и
выразим по теореме косинусов квадраты сторон
и
соответственно:
Теперь найдем из каждого равенства и приравняем полученные результаты:
Отсюда
и в случае (делим равенство на
):
Убеждаемся, что формула верна и при , когда
.
Доказательство теоремы Штейнера — Лемуса. Выразим квадраты равных биссектрис и
через стороны треугольника, воспользовавшись леммой:
Переносим все в левую часть, приводим к общему знаменателю, упрощаем. Числитель полученной дроби равен нулю, или
В этом произведении все множители, кроме , положительны. Следовательно,
.
Источники: Ч.Тригг “Задачи с изюминкой’’
http://ru.wikipedia.org/wiki/Штейнер,_Якоб
Оставьте свой отзыв