Математика, которая мне нравится

Жозеф Диас Жергонн (Joseph Diaz Gergonne, 19.06.1771 – 4.05.1859) — французский математик, геометр, на которого оказал большое влияние Монж, с 1830 по 1844 год был ректором университета Монпелье.

В 1810 году Жергонн начал издавать свой журнал, который имел официальное название Annales de mathématiques pures et appliquées, но стал известен как Annales de Gergonne. Этот журнал издавался в течение 22 лет, в основном в нем печатались работы, посвященные геометрии как основной области интересов Жергонна. В нем печатались работы многих известных математиков: Понселе, Плюкера, Брианшона, Галуа и др.

Жергонн дал элегантное решение задачи Аполлония: построить окружность, которая касается трех данных окружностей. Он ввел термин “поляра” и принцип двойственности в проективную геометрию.

Вот так Жергонн говорил о математических теориях:

“Невозможно чувствовать удовлетворение от того, что в некоторой теории сказано все, пока она не может быть объяснена в нескольких словах любому прохожему, с которым вы встретитесь на улице.’’

Красиво, не правда ли? Жаль, что это невозможно…

Определение. Точкой Жергонна называется точка пересечения отрезков, которые соединяют вершины треугольника с точками касания сторон, противоположных этим вершинам, и вписанной в треугольник окружности.

Пусть точка — центр вписанной окружности треугольника . Пусть вписанная окружность касается сторон треугольника и в точках и соответственно. Точка Жергонна — это точка пересечения отрезков и .

Докажем, что эти три отрезка действительно пересекаются в одной точке. Заметим, что центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника , а радиусы вписанной окружности и перпендикулярны сторонам треугольника. Тем самым, имеем три пары равных треугольников ( и , и , и ).

Произведения и равны, поскольку

   

следовательно, отношение этих произведений равно , и по теореме Чевы, отрезки пересекаются в одной точке.

Замечание. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема Жергонна. Пусть три чевианы и пересекаются в точке внутри треугольника . Тогда выполняются следующие равенства:

1)

2)

Доказательство. Поскольку выполняются очевидные равенства

   

то равенства 1) и 2) эквивалентны. Докажем первое из них.

Рассмотрим отношения площадей треугольников

   

Здесь мы используем тот факт, что отношения площадей треугольников, имеющих общую сторону, равны отношениям их высот. Соответственно, отношение высот будет равно отношению длин параллельных отрезков, проведенных к общей стороне из противоположной вершины.

Теперь сложим отношения площадей:

   

Источники:

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Gergonne.html
http://jwilson.coe.uga.edu/EMT669/Essay.Ideas/Gergonne/Gergonne.html
http://www.cut-the-knot.org/triangle/Gergonne.shtml
http://www.collections.univ-montp2.fr/page:JD_Gergonne