Распечатать запись Распечатать запись

Точка Жергонна, теорема Жергонна

Жозеф Диас Жергонн (Joseph Diaz Gergonne, 19.06.1771 – 4.05.1859) — французский математик, геометр, на которого оказал большое влияние Монж, с 1830 по 1844 год был ректором университета Монпелье.

В 1810 году Жергонн начал издавать свой журнал, который имел официальное название Annales de mathématiques pures et appliquées, но стал известен как Annales de Gergonne. Этот журнал издавался в течение 22 лет, в основном в нем печатались работы, посвященные геометрии как основной области интересов Жергонна. В нем печатались работы многих известных математиков: Понселе, Плюкера, Брианшона, Галуа и др.

Жергонн дал элегантное решение задачи Аполлония: построить окружность, которая касается трех данных окружностей. Он ввел термин “поляра” и принцип двойственности в проективную геометрию.

Вот так Жергонн говорил о математических теориях:

“Невозможно чувствовать удовлетворение от того, что в некоторой теории сказано все, пока она не может быть объяснена в нескольких словах любому прохожему, с которым вы встретитесь на улице.’’

Красиво, не правда ли? Жаль, что это невозможно…

Определение. Точкой Жергонна называется точка пересечения отрезков, которые соединяют вершины треугольника с точками касания сторон, противоположных этим вершинам, и вписанной в треугольник окружности.

Пусть точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Пусть вписанная окружность касается сторон треугольника BC,AC и AB в точках D,E и F соответственно. Точка Жергонна — это точка пересечения отрезков AD,BE и CF.


Докажем, что эти три отрезка действительно пересекаются в одной точке. Заметим, что центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника ABC, а радиусы вписанной окружности ID,IE и IF перпендикулярны сторонам треугольника. Тем самым, имеем три пары равных треугольников (AFI и AEI, BFI и BDI, CDI и CEI).

Произведения AF\cdot BD\cdot CE и AE\cdot BE\cdot CF равны, поскольку

BF = BD, CD = CE, AE = AF ,

следовательно, отношение этих произведений равно 1, и по теореме Чевы, отрезки пересекаются в одной точке.

Замечание. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема Жергонна. Пусть три чевианы AD,BE и CF пересекаются в точке K внутри треугольника ABC. Тогда выполняются следующие равенства:

1) \displaystyle \frac{KD}{AD}+\frac{KE}{BE}+\frac{KF}{CF}=1 .

2) \displaystyle \frac{AK}{AD}+\frac{BK}{BE}+\frac{CK}{CF}=2 .


Доказательство. Поскольку выполняются очевидные равенства

\displaystyle \frac{AK}{AD}+\frac{KD}{AD}=1, \frac{BK}{BE}+\frac{KE}{BE}=1, \frac{CK}{CF}+\frac{KF}{CF}=1 ,

то равенства 1) и 2) эквивалентны. Докажем первое из них.

Рассмотрим отношения площадей треугольников

\displaystyle \frac{S_{\Delta BKC}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{KD}{AD}, \frac{S_{\Delta AKC}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{KE}{BE}, \frac{S_{\Delta AKB}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{KF}{CF} .

Здесь мы используем тот факт, что отношения площадей треугольников, имеющих общую сторону, равны отношениям их высот. Соответственно, отношение высот будет равно отношению длин параллельных отрезков, проведенных к общей стороне из противоположной вершины.

Теперь сложим отношения площадей:

\displaystyle \frac{KD}{AD} + \frac{KE}{BE} +\frac{KF}{CF} =\frac{S_{\Delta BKC} + S_{\Delta AKC} + S_{\Delta AKB}}{S_{\Delta ABC}} = 1.

Источники:

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Gergonne.html
http://jwilson.coe.uga.edu/EMT669/Essay.Ideas/Gergonne/Gergonne.html
http://www.cut-the-knot.org/triangle/Gergonne.shtml
http://www.collections.univ-montp2.fr/page:JD_Gergonne

Комментариев: 4

  1. 1 аноним:

    А эти чевианы посл словосочетания Теорема Чевы , выделенного курсивом, связаны с теми точками, что говорились вначале? Просто непонятно написано – Вначале очевидное следствие из теоремы Чевы, потом речь о чевианах, несмотря на то, что это теорема Жергонна…

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы правы, добавила определение чевианы (хотя в статье о теореме Чевы оно есть).

    [Ответить]

  2. 2 Ромка:

    как я понял,во второй строке с дробями в первом равенстве должно быть не AB/AD, a KD/AD, не так ли?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы правы, спасибо! Исправила.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение