Непрерывные дроби
Исторически непрерывные, или цепные дроби появились в связи с необходимости найти наилучшее приближение вещественного числа с помощью числа рационального. Так, при конструировании зубчатых передач для передачи вращения с одного колеса на другое требуется нарезать на одном из них
зубцов, а на другом —
, так чтобы отношение
как можно лучше приближало заранее заданное отношение угловых скоростей
. При этом ясно, что чем меньше зубцов нужно будет нарезать, тем это будет выгоднее. Интересно, что к такой же задаче сводится и установление длины года — ведь Земля совершает оборот вокруг Солнца за
суток, а это число иррациональное. Давайте же посмотрим, что такое цепные дроби и как они связаны с алгоритмом Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух чисел.
Определение. Непрерывной (или цепной) дробью называется выражение вида
Непрерывная дробь может быть как конечной, так и бесконечной.
Числа , участвующие в разложении числа
в непрерывную дробь, называются неполными частными.
Иногда непрерывную дробь обозначают следующим образом (с помощью неполных частных): .
Возьмем произвольное вещественное число . Пусть
— целая часть числа
(
— наибольшее целое число, не превосходящее
). Если число
не целое, то получим
. Если
не является целым числом, то для него также можно найти целую часть и найти число
и т.д.:
откуда и получаем разложение в непрерывную дробь:
Ясно, что если число иррационально, то непрерывная дробь будет бесконечной. Действительно, любая конечная цепная дробь является рациональным числом.
Пример 1. Разложим в непрерывную дробь число .
, поэтому
, следовательно,
поэтому
т.е. . Следовательно, неполные частные также будут повторяться. И разложение
в непрерывную дробь имеет вид
Если же число рационально, то оно представимо конечной непрерывной дробью. Разложить
в непрерывную дробь в этом случае можно с помощью алгоритма Евклида.
Отсюда последовательной заменой каждой дроби
на ее соответствующее выражение, получается представление
Определение. Дроби
называются подходящими дробями.
Теорема. Для подходящих дробей при справедливо соотношение
Другими словами, числители и знаменатели подходящих дробей можно последовательно находить по формулам
Доказательство. Доказывать будем по индукции. Проверим базу индукции. Положим ,
. Тогда поскольку
получается из
заменой в выражении для
числа
на
, имеем
Предположим теперь, что справедливо равенство
Тогда
Тем самым, для справедливо равенство того же вида. Теорема доказана.
Вычисления и
удобно производить с помощью следующей таблицы:
Замечание. Последний столбец пишем только в том случае, когда — несократимая дробь с положительным знаменателем:
.
Пример 2. Разложим в непрерывную дробь несократимую дробь :
Получаем непрерывную дробь:
Таблица выглядит следующим образом:
Таким образом, подходящие дроби будут следующие:
В случае же, когда числитель и знаменатель дроби не взаимно простые (НОД) в последнем столбце таблицы будут стоять числитель и знаменатель несократимой дроби, равной данной дроби
.
Пример 3. Разложим в непрерывную дробь :
Утверждение 1. 1) При имеем
2) При имеем
Доказательство. Действительно, при получаем
Далее из равенств
откуда сразу же следует требуемое.
Вторая часть утверждения получается следующим образом:
Следствие. Линейное представление наибольшего общего делителя чисел и
получается из равенства
домножением на НОД, поскольку
.
Пример 4. Приведем линейное представление наибольшего общего делителя чисел и
(см. пример 3):
или
Утверждение 2. Пусть , а если
— рациональная несократимая дробь
с положительным знаменателем, то пусть также
. Тогда
лежит между
и
, причем ближе к
, чем к
.
Доказательство. Заменим в равенстве
на
, получим
откуда ясно, что первая из разностей, стоящих в скобках, по знаку противоположна второй и численно меньше (так как ), что и доказывает наше утверждение.
Литература
1. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике.
2. Виноградов И.М. Основы теории чисел
3. Нестеренко Ю.В., Никишин Е.М. Очерк о цепных дробях, Квант, 1983. – N5. – C- 16—20; N6. – С. 26-30
1 гость:
Одна третья больше чем одна вторая. Сравнение идет в десятичном исчислении значит десять разделить на одну треть и десять разделить на одну вторую значит 30 больше чем 20. Умножаем десятичное 10 на перевернутую дробь. Сколько раз одна третья встречается в десятке десятичного исчисления. А сколько раз встречается 3 в единице? Ни одного раза. А есть шестнадцатиричная система исчисления 0123456789ABCDEF. Буквы это некие предпосылки к образованияю компьютерной программы которая наиболее быстро производит вычисления при меньшем объеме памяти. Все упущено. Промах!
Пили линейку. Люди говорят пили линейку. Ведь сравнение ведется в статистическом десятке в общем поле с десятичными числами а не в общем основании которое есть частное основание. Выборка из десятка. Сравнение это статистика а статистика требует учесть выборку из наибольшего количества исследуемого числового массива.
Пили же скорее линейки.
Сэмь раз отмэръ одын раз отреш. А что если сравниваить общее и частное частота возникновения частного в общем?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 22nd, 2015 at 23:50
Одна третья меньше одной второй
Или я чего-то не понимаю?
[Ответить]
2 Дмитрий:
Надеюсь пригодится ресурс в тему
Калькулятор элементов непрерывной, цепной дроби
http://abak.pozitiv-r.ru/online-16/111-nepreryvnaya-tsepnaya-drob
[Ответить]
28 Июль 2015, 16:153 blabla:
[Ответить]
2 Октябрь 2018, 17:44