Теорема Ван-Обеля
Теорема Ван-Обеля для треугольника. Для трех чевиан, пересекающихся внутри треугольника
Доказательство. С механической точки зрения, теорема Ван-Обеля — это свойство центра масс. Центр тяжести системы из трех материальных точек может быть найден двумя способами. Во-первых, это центр тяжести системы из трех точек, в который помещена масса, равная сумме трех масс исходных точек. Во-вторых, это центр масс двух точек: одной из данных трех (например,
) и центра масс двух остальных точек (
и
).
Доказательство теоремы довольно простое, оно следует из сопоставления трех пар подобных треугольников: и
,
и
и
и
.
Введем следующие обозначения:
По теореме Чевы имеем
Равенство из теоремы Ван-Обеля перепишется в новых обозначениях как
что эквивалентно (используем предыдущее равенство)
Аналогично
и
Следовательно,
С учетом равенства получаем
, что и требовалось доказать.
В действительности и
— это барицентрические координаты точки
. Также заметим, что
, т.е.
— это отношение площадей треугольников
и
, аналогичные соотношения можно получить для
и
. Тем самым, барицентрические координаты точки
внутри треугольника
пропорциональны площадям треугольников, которые
образует с тремя сторонами треугольника.
Замечание. Теорема Ван-Обеля для треугольника допускает обобщение на случай, когда точка лежит вне треугольника
(см. Понарин Я.П. “Элементарная геометрия’’, т. 1, с. 24).
Теорема Ван-Обеля для четырехугольника. Пусть на сторонах произвольного четырехугольника построены внешним образом квадраты. Тогда отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны по длине и перпендикулярны.
Доказательство. Для начала напомню простой факт: в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости вектору с координатами перпендикулярны векторы с координатами
и
. Проверяется это легко вычислением скалярного произведения векторов.
Введем прямоугольную систему координат, выбрав в качестве базисных векторы и вектор
, перпендикулярный
. Тогда векторы
имеют координаты
, причем выполняется равенство
, из которого следует, что
. Найдем в этом базисе координаты векторов
и
.
Отсюда
Далее легко проверить, что квадраты длин этих векторов равны, поскольку совпадают суммы квадратов их координат. А то, что они перпендикулярны, следует из очевидного равенства нулю их скалярного произведения (сравните координаты векторов, перемножать вовсе не нужно!).
К сожалению, хорошего геометрического доказательства этой теоремы не нашла, да и вообще никакого не нашла, привела здесь свое доказательство. Несмотря на то, что “когда появляются векторы, исчезает геометрия’’ (с), теорема доказана .
Источники: http://www.cut-the-knot.org/triangle/VanObel.shtml
http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Ван-Обеля Пусть на сторонах произвольного четырехугольника построены внешним образом квадраты. Тогда отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны по длине и перпендикулярны.
1 cojuer:
До Теоремы Ван-Обеля для четырехугольника, там, где аналогично для 1/v, должно быть rc+rb*rc+ra*rb*rc
[Ответить]
9 Май 2012, 10:152 Елизавета Александровна Калинина:
Спасибо, исправила!
[Ответить]
9 Май 2012, 11:173 Олег Баран:
Элементарное доказательство
(рисунок тот же).
Используем три пары подобных треугольников
(их легко увидеть самостоятельно):
1. AH/BC=AC1/C1B
2. AG/BC=AB1/B1C
3. AC1/C1B+AB1/B1C=AH/BC+AG/BC=
=(AH+AG)/BC=AP/PA1.
Что и требовалось доказать.
[Ответить]
Виктор Reply:
Июль 21st, 2020 at 19:25
Короткий путь всегда более предпочтителен. Молодец, Олег!
[Ответить]