Математика, которая мне нравится

Теорема Ван-Обеля для треугольника. Для трех чевиан, пересекающихся внутри треугольника ABC в точке P, справедливо равенство:

   

Доказательство. С механической точки зрения, теорема Ван-Обеля — это свойство центра масс. Центр тяжести системы из трех материальных точек может быть найден двумя способами. Во-первых, это центр тяжести системы из трех точек, в который помещена масса, равная сумме трех масс исходных точек. Во-вторых, это центр масс двух точек: одной из данных трех (например, ) и центра масс двух остальных точек ( и ).

Доказательство теоремы довольно простое, оно следует из сопоставления трех пар подобных треугольников: и , и и и .

Введем следующие обозначения:

   

По теореме Чевы имеем

   

Равенство из теоремы Ван-Обеля перепишется в новых обозначениях как

   

что эквивалентно (используем предыдущее равенство)

   

Аналогично

   

и

   

   

Следовательно,

   

С учетом равенства получаем , что и требовалось доказать.

В действительности и — это барицентрические координаты точки . Также заметим, что , т.е. — это отношение площадей треугольников и , аналогичные соотношения можно получить для и . Тем самым, барицентрические координаты точки внутри треугольника пропорциональны площадям треугольников, которые образует с тремя сторонами треугольника.

Замечание. Теорема Ван-Обеля для треугольника допускает обобщение на случай, когда точка лежит вне треугольника (см. Понарин Я.П. “Элементарная геометрия’’, т. 1, с. 24).

Теорема Ван-Обеля для четырехугольника. Пусть на сторонах произвольного четырехугольника построены внешним образом квадраты. Тогда отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны по длине и перпендикулярны.

Доказательство. Для начала напомню простой факт: в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости вектору с координатами перпендикулярны векторы с координатами и . Проверяется это легко вычислением скалярного произведения векторов.

Введем прямоугольную систему координат, выбрав в качестве базисных векторы и вектор , перпендикулярный . Тогда векторы имеют координаты , причем выполняется равенство , из которого следует, что . Найдем в этом базисе координаты векторов и .

   

   

   

   

   

Отсюда

   

   

Далее легко проверить, что квадраты длин этих векторов равны, поскольку совпадают суммы квадратов их координат. А то, что они перпендикулярны, следует из очевидного равенства нулю их скалярного произведения (сравните координаты векторов, перемножать вовсе не нужно!).

К сожалению, хорошего геометрического доказательства этой теоремы не нашла, да и вообще никакого не нашла, привела здесь свое доказательство. Несмотря на то, что “когда появляются векторы, исчезает геометрия’’ (с), теорема доказана .

Источники: http://www.cut-the-knot.org/triangle/VanObel.shtml
http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Ван-Обеля Пусть на сторонах произвольного четырехугольника построены внешним образом квадраты. Тогда отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны по длине и перпендикулярны.