Распечатать запись Распечатать запись

Теорема Ван-Обеля

Теорема Ван-Обеля для треугольника. Для трех чевиан, пересекающихся внутри треугольника ABC в точке P, справедливо равенство:

\displaystyle \frac{AP}{PA_1}=\frac{AB_1}{B_1C}+ \frac{AC_1}{C_1B} .


Доказательство. С механической точки зрения, теорема Ван-Обеля — это свойство центра масс. Центр тяжести системы из трех материальных точек A,B,C может быть найден двумя способами. Во-первых, это центр тяжести системы из трех точек, в который помещена масса, равная сумме трех масс исходных точек. Во-вторых, это центр масс двух точек: одной из данных трех (например, A) и центра масс двух остальных точек (B и C).

Доказательство теоремы довольно простое, оно следует из сопоставления трех пар подобных треугольников: PHG и PBC, AB_1G и B_1BC и AC_1H и BCC_1.

Введем следующие обозначения:

\displaystyle u=\frac{PA_1}{AA_1},v=\frac{PB_1}{BB_1},w=\frac{PC_1}{CC_1}, r_a=\frac{CA_1}{A_1B}, r_b=\frac{AB_1}{B_1C}, r_c=\frac{BC_1}{C_1A} .

По теореме Чевы имеем

r_ar_br_c=1 .

Равенство из теоремы Ван-Обеля перепишется в новых обозначениях как

\displaystyle \frac{1}{u}=r_b+\frac{1}{r_c}+1,

что эквивалентно (используем предыдущее равенство)

\displaystyle \frac{1}{u}=r_b+r_ar_b+1 .

Аналогично

\displaystyle \frac{1}{v}=r_c+\frac{1}{r_a}+1=r_c+r_cr_b+r_ar_br_c=r_c(1+r_b+r_ar_b)

и

\displaystyle \frac{1}{w}=r_a+\frac{1}{r_b}+1=r_a+r_ar_c+r_ar_br_c=r_a(1+r_c+r_br_c)=

=r_a(r_ar_br_c+r_c+r_br_c)=r_ar_c(1+r_b+r_ar_b) .

Следовательно,

\displaystyle u+v+w=\frac{1+1/r_c+r_b}{1+r_b+r_ar_b} .

С учетом равенства r_ar_br_c=1 получаем u+v+w=1, что и требовалось доказать.

В действительности u,v и w — это барицентрические координаты точки P. Также заметим, что u=PA_1/AA_1, т.е. u — это отношение площадей треугольников PBC и ABC, аналогичные соотношения можно получить для v и w. Тем самым, барицентрические координаты точки P внутри треугольника ABC пропорциональны площадям треугольников, которые P образует с тремя сторонами треугольника.

Замечание. Теорема Ван-Обеля для треугольника допускает обобщение на случай, когда точка P лежит вне треугольника ABC (см. Понарин Я.П. “Элементарная геометрия’’, т. 1, с. 24).

Теорема Ван-Обеля для четырехугольника. Пусть на сторонах произвольного четырехугольника построены внешним образом квадраты. Тогда отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны по длине и перпендикулярны.

Доказательство. Для начала напомню простой факт: в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости вектору с координатами (a,b) перпендикулярны векторы с координатами (-b,a) и (b,-a). Проверяется это легко вычислением скалярного произведения векторов.

Введем прямоугольную систему координат, выбрав в качестве базисных векторы \vec{b}=\vec{AB}=(1,0) и вектор \vec{k}, перпендикулярный \vec{k}=(0,1). Тогда векторы \vec{a}=\vec{AD},\vec{c}=\vec{CB},vec{d}=\vec{DC} имеют координаты \vec{a}=(a_1,a_2),\vec{c}=(c_1,c_2),\vec{d}=(d_1,d_2), причем выпоняется равенство \vec{a}+\vec{d}+\vec{c}-\vec{b}=\vec{0}, из которого следует, что d_1=1-a_1-c_1,d_2=-a_2-c_2. Найдем в этом базисе координаты векторов \vec{O_1O_3} и \vec{O_2O_4}.

\displaystyle \vec{AO_1}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{k})=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right),

\displaystyle \vec{AO_4}=\frac{1}{2}\left(\vec{a}+(-a_2,a_1)\right) =\left(\frac{a_1-a_2}{2},\frac{a_1+a_2}{2}\right) ,

\displaystyle \vec{AO_3}=\vec{a}+\frac{1}{2}(\vec{d}+(-d_2,d_1))=\left(\frac{2a_1+d_1-d_2}{2},\frac{2a_2+d_1+d_2}{2}\right)=

\displaystyle =\left(\frac{1+a_1+a_2-c_1+c_2}{2},\frac{1-a_1+a_2-c_1-c_2}{2}\right) ,

\displaystyle \vec{AO_2}=\vec{b}+\frac{1}{2}(-\vec{c}+(-c_2,c_1))=\left(\frac{2-c_1-c_2}{2},\frac{c_1-c_2}{2}\right) .

Отсюда

\displaystyle \vec{O_3O_1}=\vec{AO_1}-\vec{AO_3}=\left(\frac{-a_1-a_2+c_1-c_2}{2},\frac{-2+a_1-a_2+c_1+c_2}{2}\right) ,

\displaystyle \vec{O_4O_2}=\vec{AO_2}-\vec{AO_4}=\left(\frac{2-a_1+a_2-c_1-c_2}{2},\frac{c_1-c_2-a_1-a_2}{2}\right) .

Далее легко проверить, что квадраты длин этих векторов равны, поскольку совпадают суммы квадратов их координат. А то, что они перпендикулярны, следует из очевидного равенства нулю их скалярного произведения (сравните координаты векторов, перемножать вовсе не нужно!).

К сожалению, хорошего геометрического доказательства этой теоремы не нашла, да и вообще никакого не нашла, привела здесь свое доказательство. Несмотря на то, что “когда появляются векторы, исчезает геометрия’’ (с), теорема доказана ;) .

Источники: http://www.cut-the-knot.org/triangle/VanObel.shtml
http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Ван-Обеля Пусть на сторонах произвольного четырехугольника построены внешним образом квадраты. Тогда отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны по длине и перпендикулярны.

Комментариев: 2

  1. 1 cojuer:

    До Теоремы Ван-Обеля для четырехугольника, там, где аналогично для 1/v, должно быть rc+rb*rc+ra*rb*rc

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение