Математика, которая мне нравится

О некоторых способах умножения чисел уже рассказывалось здесь. Вообще говоря, известно довольно много способов умножения чисел. Лука Пачиоли, итальянский математик, живший в конце XV — начале XVI века, в своей книге об арифметике приводит восемь таких способов. Один из них, называющийся “маленький замок’’ и похожий на всем нам знакомое умножение столбиком, состоит в следующем.

1. Числа записываются друг под другом.
2. Цифры верхнего числа, начиная со старшей, поочередно умножаются на нижнее число и полученные результаты записываются в столбик.
3. При умножении на следующую цифру полученный результат записывается со сдвигом на одну цифру вправо.
4. К верхним числам столбика приписываются нули справа так, чтобы последний разряд у всех чисел совпадал.
5. Результаты складываются.

Вот пример такого умножения.

   

   

Этот способ хорошо применять, если нужно провести прикидочный расчет, и важны цифры старших разрядов результата. Они при вычислениях данным методом определяются с самого начала.

А вот еще один способ, им пользовались русские крестьяне (забавно, что недавно нашла страничку в Интернете, автор которой приписывает этот метод себе , хотя, возможно, он его переоткрыл). Интересно, что для вычислений этим методом не нужно знать таблицу умножения. Используется здесь только умножение и деление на .

1. Два числа, которые нужно перемножить, записывают рядом.

2. На каждом шаге левое число делят на , отбрасывая остаток, а правое умножают на .

3. Заканчивается процесс, когда слева будет получена .

4. Вычеркивают все строки, в которых в левой колонке стоят четные числа.

5. Все числа, оставшиеся в правой колонке после вычеркивания, складывают. Полученная сумма и будет равна произведению исходных чисел.

Вот пример использования данного метода. Перемножим снова и :

   

Результат тот же, что и полученный предыдущим способом:

   

А теперь объясню, почему метод работает. Давайте запишем произведение двух чисел в двоичной системе счисления (здесь — двоичные цифры, то есть либо , либо ):

   

Результат не изменится, если первое число поделить на , а второе — умножить на . Если мы это сделаем, учитывая, что может быть равно единице, получим:

   

И отсюда сразу же следует данный метод.

Источник: Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика, М.: АСТ, 1996.