Распечатать запись Распечатать запись

Интересное выражение для пи

Интересный метод нахождения \pi от Хонаса Кастильо Толосы из Колумбии.

Используем в знаменателях треугольные числа и получаем, что

\displaystyle \pi – 2 = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}-\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} – \ldots

Треугольными числами называются числа вида \displaystyle \frac{n(n+1)}{2}. Это название связано с тем, что n-е такое число равно числу кругов в правильном треугольнике, сторона которого содержит n кругов.

Обратите внимание на то, что за двумя положительными слагаемыми следуют два отрицательных и т. д., что довольно необычно.

Доказательство выглядит следующим образом. Пусть A — сумма слагаемых, стоящих на нечетных местах и B — сумма всех остальных слагаемых, то есть:

\displaystyle A=\frac{1}{1} – \frac{1}{6} + \frac{1}{15} – \ldots ,

\displaystyle B = \frac{1}{3} – \frac{1}{10} + \frac{1}{21} – \ldots

Иначе

\displaystyle A= \frac{2}{1 \cdot 2} – \frac{2}{3 \cdot 4} +\frac{2}{5\cdot 6} -\frac{2}{7\cdot 8} + \ldots ,

что в свою очередь равно

\displaystyle A=\left(\frac{2}{1} – \frac{2}{2}\right) – \left(\frac{2}{3} – \frac{2}{4}\right) + \left(\frac{2}{5} – \frac{2}{6}\right) – \left(\frac{2}{7} – \frac{2}{8}\right) + \ldots

Если мы теперь сгруппируем члены с четными знаменателями, получим

\displaystyle  – \frac{1}{1} + \frac{1}{2} – \frac{1}{3} + \frac{1}{4} -\frac{1}{5} +\frac{1}{6} – \ldots ,

что равно -\ln 2 в соответствии с известным разложением

\displaystyle \ln (1 + x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{х^4}{4} +\frac{x^5}{5} – \ldots

Сумма членов с нечетными знаменателями равна

\displaystyle \frac{2}{1} -\frac{2}{3} + \frac{2}{5} – \frac{2}{7} + \frac{2}{9} – \frac{2}{11} + \ldots ,

что равно \pi/2, в соответствии с хорошо известным разложением для \pi (ряд Лейбница). Поэтому

\displaystyle A= \frac{\pi}{2} – \ln 2.

Ну а теперь вернемся к B. Имеем

\displaystyle B =\frac{2}{2\cdot 3} – \frac{2}{4 \cdot 5} + \frac{2}{6 \cdot 7} -\frac{2}{8\cdot 9} + \ldots ,

что равно

\displaystyle  B = \left( \frac{2}{2} -\frac{2}{3}\right) – \left(\frac{2}{4} – \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{2}{6} – \frac{2}{7}\right) – \left(\frac{2}{8} – \frac{2}{9}\right) + \ldots

Объединив члены с четными знаменателями, получим

\displaystyle \frac{1}{1} – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \frac{1}{5} – \frac{1}{6} +\frac{1}{7} – \ldots =\ln 2 .

Сумма членов с нечетными знаменателями равна

\displaystyle  -\frac{2}{3} + \frac{2}{5} – \frac{2}{7} + \frac{2}{9} -\frac{2}{11} +\frac{2}{13} – \frac{2}{15} + \ldots=\frac{\pi}{2}-2 .

Тем самым \displaystyle B = \frac{\pi}{2} – 2 + \ln 2.

Теперь давайте все сложим.

\displaystyle A + B = \frac{\pi}{2} – \ln 2 + \frac{\pi}{2} – 2 + \ln 2 = \pi – 2.

Очень красиво, не правда ли?

Источник: http://www.lifesmith.com/mathfun.html#anchor5156300

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение