Интересное выражение для пи

Интересный метод нахождения \pi от Хонаса Кастильо Толосы из Колумбии.

Используем в знаменателях треугольные числа и получаем, что

    \[\displaystyle \pi - 2 = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}-\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} - \ldots\]

Треугольными числами называются числа вида \displaystyle \frac{n(n+1)}{2}. Это название связано с тем, что n-е такое число равно числу кругов в правильном треугольнике, сторона которого содержит n кругов.

Обратите внимание на то, что за двумя положительными слагаемыми следуют два отрицательных и т. д., что довольно необычно.

Доказательство выглядит следующим образом. Пусть A — сумма слагаемых, стоящих на нечетных местах и B — сумма всех остальных слагаемых, то есть:

    \[\displaystyle A=\frac{1}{1} - \frac{1}{6} + \frac{1}{15} - \ldots ,\]

    \[\displaystyle B = \frac{1}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{21} - \ldots\]

Иначе

    \[\displaystyle A= \frac{2}{1 \cdot 2} - \frac{2}{3 \cdot 4} +\frac{2}{5\cdot 6} -\frac{2}{7\cdot 8} + \ldots ,\]

что в свою очередь равно

    \[\displaystyle A=\left(\frac{2}{1} - \frac{2}{2}\right) - \left(\frac{2}{3} - \frac{2}{4}\right) + \left(\frac{2}{5} - \frac{2}{6}\right) - \left(\frac{2}{7} - \frac{2}{8}\right) + \ldots\]

Если мы теперь сгруппируем члены с четными знаменателями, получим

    \[\displaystyle  - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} -\frac{1}{5} +\frac{1}{6} - \ldots ,\]

что равно -\ln 2 в соответствии с известным разложением

    \[\displaystyle \ln (1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{х^4}{4} +\frac{x^5}{5} - \ldots\]

Сумма членов с нечетными знаменателями равна

    \[\displaystyle \frac{2}{1} -\frac{2}{3} + \frac{2}{5} - \frac{2}{7} + \frac{2}{9} - \frac{2}{11} + \ldots ,\]

что равно \pi/2, в соответствии с хорошо известным разложением для \pi (ряд Лейбница). Поэтому

    \[\displaystyle A= \frac{\pi}{2} - \ln 2.\]

Ну а теперь вернемся к B. Имеем

    \[\displaystyle B =\frac{2}{2\cdot 3} - \frac{2}{4 \cdot 5} + \frac{2}{6 \cdot 7} -\frac{2}{8\cdot 9} + \ldots ,\]

что равно

    \[\displaystyle  B = \left( \frac{2}{2} -\frac{2}{3}\right) - \left(\frac{2}{4} - \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{2}{6} - \frac{2}{7}\right) - \left(\frac{2}{8} - \frac{2}{9}\right) + \ldots\]

Объединив члены с четными знаменателями, получим

    \[\displaystyle \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} +\frac{1}{7} - \ldots =\ln 2 .\]

Сумма членов с нечетными знаменателями равна

    \[\displaystyle  -\frac{2}{3} + \frac{2}{5} - \frac{2}{7} + \frac{2}{9} -\frac{2}{11} +\frac{2}{13} - \frac{2}{15} + \ldots=\frac{\pi}{2}-2 .\]

Тем самым \displaystyle B = \frac{\pi}{2} – 2 + \ln 2.

Теперь давайте все сложим.

    \[\displaystyle A + B = \frac{\pi}{2} - \ln 2 + \frac{\pi}{2} - 2 + \ln 2 = \pi - 2.\]

Очень красиво, не правда ли?

Источник: http://www.lifesmith.com/mathfun.html#anchor5156300

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение