Теорема Птолемея

25 Май 2011, 8:57

Клавдий Птолемей ( $K\lambda\alpha\upsilon\delta\iota o\varsigma\ \Pi\tau o\lambda\varepsilon\mu\alpha\tau o\varsigma$ ), живший в конце первого — начале второго века н.э., был древнегреческим ученым-астрономом, математиком, астрологом, географом, оптиком и теоретиком музыки. Он известен как комментатор Евклида. Птолемей пытался доказать знаменитый Пятый постулат. Основной труд Птолемея — “Альмагест”, в котором он изложил сведения по астрономии. Включал “Альмагест” и каталог звездного неба.

Теорема Птолемея. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

Доказательство необходимости. Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, то
$\angle ABC+\angle ADC=\pi$ , откуда $\cos\angle ABC+\cos\angle ADC=0 .$

Из треугольника $ABC$ по теореме косинусов находим

$\cos\angle ABC=\frac{a^2+b^2-e^2}{2ab} .$

Аналогично из треугольника $ADC$ :

$\cos\angle ADC=\frac{d^2+c^2-e^2}{2dc} .$

Сумма этих косинусов равна нулю:

$\cos\angle ABC+\cos\angle ADC=\frac{a^2+b^2-e^2}{2ab}+\frac{d^2+c^2-e^2}{2dc}=0 .$

Отсюда выразим $e^2$ :

$e^2=\frac{ab(d^2+c^2)+dc(a^2+b^2)}{ab+dc}=\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd} .$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $BCD$ и найдем $f^2$ :

$f^2=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc} .$

Отсюда

$(ef)^2=(ac+bd)^2,\ ef=ac+bd ,$

что и требовалось доказать.

Попутно мы доказали еще одно утверждение. Для четырехугольника, вписанного в окружность,

$\frac{e}{f}=\frac{ad+bc}{ab+cd} .$

Доказательство достаточности. Пусть выполнено равенство

$AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD .$

Докажем, что вокруг четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность.

Обозначим через $R$ радиус окружности, описанной вокруг $\Delta ABC$ . Из точки $D$ опустим перпендикуляры на прямые $AB, BC$ и $AC$ и обозначим точки пересечения этих прямых и перпендикуляров к ним через $C_1,A_1$ и $B_1$ соответственно. По теореме синусов для треугольника $A_1CB_1$ получаем (диаметр описанной окружности для этого треугольника равен $CD$ ):

$A_1B_1=CD\sin\angle A_1CB_1=CD\sin\angle BCA .$

По теореме синусов для треугольника $ABC$ имеем

$AB=2R\sin\angle BCA .$

Следовательно,

$A_1B_1=\frac{CD\cdot AB}{2R} .$

Таким же образом, рассматривая треугольники $B_1CC_1$ и $A_1CC_1$ получим соотношения

$B_1C_1=\frac{BC\cdot AD}{2R},\ A_1C_1=\frac{AC\cdot BD}{2R} .$

Отсюда, подставляя эти выражения в исходное равенство, имеем

$2R(A_1B_1+B_1C_1)=C_1A_1\cdot 2R,$

или

$C_1A_1=A_1B_1+B_1C_1,$

откуда следует, что точки $A_1,B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Докажем теперь, что из этого следует, что вокруг четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность (достаточное условие теоремы Симсона).

Построим окружности на отрезках $AD$ и $CD$ как на диаметрах. Первая из них проходит через точки $B_1$ и $C_1$ (углы $AB_1D$ и $AC_1D$ прямые), а вторая — через точки $A_1$ и $B_1$ ( $\displaystyle \angle CB_1D=\angle CA_1D=\frac{\pi}{2}$ ). Углы $AB_1C_1$ и $A_1B_1C$ равны как вертикальные, откуда следует, что $\angle ADC_1=\angle CDA_1$ , а значит, и $\angle DAC_1=\angle DCA_1$ . Отсюда $\angle DAB+\angle DCB=\pi$ , и вокруг четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность.

Источник: Я. П. Понарин “Элементарная геометрия”. Том 1. Планиметрия, преобразования плоскости.

Теги: геометрия, математика, планиметрия
Рубрика: Статьи по математике | Отзывы (RSS) | Трекбек

Комментариев: 12

1 fizzeg:

красивая теорема…))

[Ответить]
27 Май 2011, 5:52
2 Елизавета Александровна Калинина:

Да, действительно красивая, а иногда и очень полезная

[Ответить]
27 Май 2011, 8:38
3 Райхонбей (УзБЕк):

Птоломей-очен красивая теорема

[Ответить]
27 Март 2012, 21:34
4 bauka:

Полезная теорема:)

[Ответить]
7 Апрель 2012, 8:09
5 VaMpIrE:

Очень удобная теорема. Спасибо за доказательство!

[Ответить]
14 Март 2013, 11:21
6 Muster of puppets:

Круто! Очень помогает!

[Ответить]
27 Март 2013, 18:52
7 Андрей:

Спасибо, пригодиилась)

[Ответить]
7 Октябрь 2013, 20:07
8 александр:

в вашем доказательстве ошибка, авс+adc=180 следует что
cos(abc)=cos(180-adc)=-сos(adc).то есть дальнейшие выкладки верны конечно, но исходное предположение не верно

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 6th, 2014 at 19:01
Так в чем ошибка? Именно это и написано: $\cos\angle ABC+\cos \angle ADC=0$

[Ответить]
6 Октябрь 2014, 14:53
9 Сан:

Спасибо огромнейшее

[Ответить]
18 Декабрь 2014, 22:53
10 Алексей:

Ну и доказательство! А слабо подробно описать, как из треугольников A1CC1 и B1CC1 вывести те равенства, что, якобы, выведены аналогично?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 19th, 2018 at 17:30
Вы же все-таки должны сами хоть немного думать…

[Ответить]
1 Июнь 2018, 1:03

Математика, которая мне нравится

Теорема Птолемея

Комментариев: 12

1 fizzeg:

2 Елизавета Александровна Калинина:

3 Райхонбей (УзБЕк):

4 bauka:

5 VaMpIrE:

6 Muster of puppets:

7 Андрей:

8 александр:

9 Сан:

10 Алексей:

Оставьте свой отзыв

Навигация по сайту

Разделы

Новые комментарии

Подписка на обновления сайта