Математика, которая мне нравится

Клавдий Птолемей (), живший в конце первого — начале второго века н.э., был древнегреческим ученым-астрономом, математиком, астрологом, географом, оптиком и теоретиком музыки. Он известен как комментатор Евклида. Птолемей пытался доказать знаменитый Пятый постулат. Основной труд Птолемея — “Альмагест”, в котором он изложил сведения по астрономии. Включал “Альмагест” и каталог звездного неба.

Теорема Птолемея. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

Доказательство необходимости. Поскольку четырехугольник вписан в окружность, то

, откуда

Из треугольника по теореме косинусов находим

Аналогично из треугольника :

Сумма этих косинусов равна нулю:

Отсюда выразим :

Рассмотрим треугольники и и найдем :

Отсюда

что и требовалось доказать.

Попутно мы доказали еще одно утверждение. Для четырехугольника, вписанного в окружность,

Доказательство достаточности. Пусть выполнено равенство

Докажем, что вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Обозначим через радиус окружности, описанной вокруг . Из точки опустим перпендикуляры на прямые и и обозначим точки пересечения этих прямых и перпендикуляров к ним через и соответственно. По теореме синсов для треугольника получаем (диаметр описанной окружности для этого треугольника равен ):

По теореме синусов для треугольника имеем

Следовательно,

Таким же образом, рассматривая треугольники и получим соотношения

Отсюда, подставляя эти выражения в исходное равенство, имеем

или

откуда следует, что точки и лежат на одной прямой.

Докажем теперь, что из этого следует, что вокруг четырехугольника можно описать окружность (достаточное условие теоремы Симсона).

Построим окружности на отрезках и как на диаметрах. Первая из них проходит через точки и (углы и прямые), а вторая — через точки и (). Углы и равны как вертикальные, откуда следует, что , а значит, и . Отсюда , и вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Источник: Я. П. Понарин “Элементарная геометрия”. Том 1. Планиметрия, преобразования плоскости.