«
»

Теорема Птолемея

25 Май 2011, 8:57

Клавдий Птолемей (K\lambda\alpha\upsilon\delta\iota o\varsigma\ \Pi\tau o\lambda\varepsilon\mu\alpha\tau o\varsigma), живший в конце первого — начале второго века н.э., был древнегреческим ученым-астрономом, математиком, астрологом, географом, оптиком и теоретиком музыки. Он известен как комментатор Евклида. Птолемей пытался доказать знаменитый Пятый постулат. Основной труд Птолемея — “Альмагест”, в котором он изложил сведения по астрономии. Включал “Альмагест” и каталог звездного неба.

Теорема Птолемея. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

Доказательство необходимости. Поскольку четырехугольник ABCD вписан в окружность, то

    \[\angle ABC+\angle ADC=\pi\]

, откуда

    \[\cos\angle ABC+\cos\angle ADC=0 .\]

Из треугольника ABC по теореме косинусов находим

    \[\cos\angle ABC=\frac{a^2+b^2-e^2}{2ab} .\]

Аналогично из треугольника ADC:

    \[\cos\angle ADC=\frac{d^2+c^2-e^2}{2dc} .\]

Сумма этих косинусов равна нулю:

    \[\cos\angle ABC+\cos\angle ADC=\frac{a^2+b^2-e^2}{2ab}+\frac{d^2+c^2-e^2}{2dc}=0 .\]

Отсюда выразим e^2:

    \[e^2=\frac{ab(d^2+c^2)+dc(a^2+b^2)}{ab+dc}=\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd} .\]

Рассмотрим треугольники ABD и BCD и найдем f^2:

    \[f^2=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc} .\]

Отсюда

    \[(ef)^2=(ac+bd)^2,\ ef=ac+bd ,\]

что и требовалось доказать.

Попутно мы доказали еще одно утверждение. Для четырехугольника, вписанного в окружность,

    \[\frac{e}{f}=\frac{ad+bc}{ab+cd} .\]

Доказательство достаточности. Пусть выполнено равенство

    \[AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD .\]

Докажем, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Обозначим через R радиус окружности, описанной вокруг \Delta ABC. Из точки D опустим перпендикуляры на прямые AB, BC и AC и обозначим точки пересечения этих прямых и перпендикуляров к ним через C_1,A_1 и B_1 соответственно. По теореме синусов для треугольника A_1CB_1 получаем (диаметр описанной окружности для этого треугольника равен CD):

    \[A_1B_1=CD\sin\angle A_1CB_1=CD\sin\angle BCA .\]

По теореме синусов для треугольника ABC имеем

    \[AB=2R\sin\angle BCA .\]

Следовательно,

    \[A_1B_1=\frac{CD\cdot AB}{2R} .\]

Таким же образом, рассматривая треугольники B_1CC_1 и A_1CC_1 получим соотношения

    \[B_1C_1=\frac{BC\cdot AD}{2R},\ A_1C_1=\frac{AC\cdot BD}{2R} .\]

Отсюда, подставляя эти выражения в исходное равенство, имеем

    \[2R(A_1B_1+B_1C_1)=C_1A_1\cdot 2R,\]

или

    \[C_1A_1=A_1B_1+B_1C_1,\]

откуда следует, что точки A_1,B_1 и C_1 лежат на одной прямой.

Докажем теперь, что из этого следует, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность (достаточное условие теоремы Симсона).

Построим окружности на отрезках AD и CD как на диаметрах. Первая из них проходит через точки B_1 и C_1 (углы AB_1D и AC_1D прямые), а вторая — через точки A_1 и B_1 (\displaystyle \angle CB_1D=\angle CA_1D=\frac{\pi}{2}). Углы AB_1C_1 и A_1B_1C равны как вертикальные, откуда следует, что \angle ADC_1=\angle CDA_1, а значит, и \angle DAC_1=\angle DCA_1. Отсюда \angle DAB+\angle DCB=\pi, и вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Источник: Я. П. Понарин “Элементарная геометрия”. Том 1. Планиметрия, преобразования плоскости.

Теги: , ,
Рубрика: Статьи по математике  |  Отзывы (RSS)  |  Трекбек

Комментариев: 10

  1. 1 fizzeg:

    красивая теорема…))

    [Ответить]

    27 Май 2011, 5:52

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Да, действительно красивая, а иногда и очень полезная ;)

    [Ответить]

    27 Май 2011, 8:38

  3. 3 Райхонбей (УзБЕк):

    Птоломей-очен красивая теорема

    [Ответить]

    27 Март 2012, 21:34

  4. 4 bauka:

    Полезная теорема:)

    [Ответить]

    7 Апрель 2012, 8:09

  5. 5 VaMpIrE:

    Очень удобная теорема. Спасибо за доказательство!

    [Ответить]

    14 Март 2013, 11:21

  6. 6 Muster of puppets:

    Круто! Очень помогает!

    [Ответить]

    27 Март 2013, 18:52

  7. 7 Андрей:

    Спасибо, пригодиилась)

    [Ответить]

    7 Октябрь 2013, 20:07

  8. 8 александр:

    в вашем доказательстве ошибка, авс+adc=180 следует что
    cos(abc)=cos(180-adc)=-сos(adc).то есть дальнейшие выкладки верны конечно, но исходное предположение не верно

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Октябрь 6th, 2014 at 19:01

    Так в чем ошибка? Именно это и написано:

        \[\cos\angle ABC+\cos \angle ADC=0\]

    :)

    [Ответить]

    6 Октябрь 2014, 14:53

  9. 9 Сан:

    Спасибо огромнейшее

    [Ответить]

    18 Декабрь 2014, 22:53

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение