Теорема Птолемея
Клавдий Птолемей (
), живший в конце первого — начале второго века н.э., был древнегреческим ученым-астрономом, математиком, астрологом, географом, оптиком и теоретиком музыки. Он известен как комментатор Евклида. Птолемей пытался доказать знаменитый Пятый постулат. Основной труд Птолемея — “Альмагест”, в котором он изложил сведения по астрономии. Включал “Альмагест” и каталог звездного неба.
Теорема Птолемея. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.
Доказательство необходимости. Поскольку четырехугольник вписан в окружность, то
, откуда
Из треугольника по теореме косинусов находим
Аналогично из треугольника :
Сумма этих косинусов равна нулю:
Отсюда выразим :
Рассмотрим треугольники и
и найдем
:
Отсюда
что и требовалось доказать.
Попутно мы доказали еще одно утверждение. Для четырехугольника, вписанного в окружность,
Доказательство достаточности. Пусть выполнено равенство
Докажем, что вокруг четырехугольника можно описать окружность.
Обозначим через радиус окружности, описанной вокруг
. Из точки
опустим перпендикуляры на прямые
и
и обозначим точки пересечения этих прямых и перпендикуляров к ним через
и
соответственно. По теореме синусов для треугольника
получаем (диаметр описанной окружности для этого треугольника равен
):
По теореме синусов для треугольника имеем
Следовательно,
Таким же образом, рассматривая треугольники и
получим соотношения
Отсюда, подставляя эти выражения в исходное равенство, имеем
или
откуда следует, что точки и
лежат на одной прямой.
Докажем теперь, что из этого следует, что вокруг четырехугольника можно описать окружность (достаточное условие теоремы Симсона).
Построим окружности на отрезках и
как на диаметрах. Первая из них проходит через точки
и
(углы
и
прямые), а вторая — через точки
и
(
). Углы
и
равны как вертикальные, откуда следует, что
, а значит, и
. Отсюда
, и вокруг четырехугольника
можно описать окружность.
Источник: Я. П. Понарин “Элементарная геометрия”. Том 1. Планиметрия, преобразования плоскости.
1 fizzeg:
красивая теорема…))
[Ответить]
27 Май 2011, 5:522 Елизавета Александровна Калинина:
Да, действительно красивая, а иногда и очень полезная
[Ответить]
27 Май 2011, 8:383 Райхонбей (УзБЕк):
Птоломей-очен красивая теорема
[Ответить]
27 Март 2012, 21:344 bauka:
Полезная теорема:)
[Ответить]
7 Апрель 2012, 8:095 VaMpIrE:
Очень удобная теорема. Спасибо за доказательство!
[Ответить]
14 Март 2013, 11:216 Muster of puppets:
Круто! Очень помогает!
[Ответить]
27 Март 2013, 18:527 Андрей:
Спасибо, пригодиилась)
[Ответить]
7 Октябрь 2013, 20:078 александр:
в вашем доказательстве ошибка, авс+adc=180 следует что
cos(abc)=cos(180-adc)=-сos(adc).то есть дальнейшие выкладки верны конечно, но исходное предположение не верно
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 6th, 2014 at 19:01
Так в чем ошибка? Именно это и написано:
[Ответить]
9 Сан:
Спасибо огромнейшее
[Ответить]
18 Декабрь 2014, 22:5310 Алексей:
Ну и доказательство! А слабо подробно описать, как из треугольников A1CC1 и B1CC1 вывести те равенства, что, якобы, выведены аналогично?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 19th, 2018 at 17:30
Вы же все-таки должны сами хоть немного думать…
[Ответить]