Распечатать запись Распечатать запись

Гиппопеда Евдокса

Евдокс Книдский

Евдокс Книдский был греческим философом, астрономом, математиком и врачом, учеником Платона. Ни одна из его работ на сохранилась до наших дней, все ссылки, с которыми мы имеем дело, из вторичных источников. Евдокс родился в Книде (в настоящее время эта территория принадлежит Турции), около 400 г. до н.э.

Основными достижениями Евдокса являются введение астрономических сфер, что дало достаточно хорошую модель движения планет (в астрономии), и работы по теории отношений и вычислению площадей и объемов методом исчерпывания, им же созданным (в математике). В этой статье мы поговорим о кривой, введенной Евдоксом: гиппопеде.

Гиппопеда Евдокса

Рассмотрим сферу с центром O, которая вращается вокруг оси ON. Возьмем точку M, которая закреплена на сфере и вращается вместе с ней, и точку P — точку пересечения больших окружностей сферы, лежащих в плоскостях, перпендикулярных ON и OM. Если во время вращения сферы точка H отделится от точки P и будет двигаться по большой окружности в плоскости, перпендикулярной OM с той же угловой скоростью, что и сфера, но в противоположном направлении, то она опишет в пространстве кривую в форме восьмерки.

Согласно Симплицию, комментатору Аристотеля, жившему в шестом веке, и интерпретации Скиапарелли, Евдокс эту кривую назвал гиппопедой (примеч. так как по форме она схожа с лошадиными путами).

Если R — точка в пространстве, в которой во время движения совпадают P и H, то угол POR всегда равен углу POH.

Скиапарелли отметил, что гиппопеда является пересечением сферы с цилиндром, который внутренним образом касается сферы в точке R, и что она также является пересечением сферы с конусом, ось которого касается сферы в точке R и параллельна ON. Он привел элементарное доказательство этих фактов, но доказательство, приведенное ниже, еще проще.

Остановим вращение сферы, но позволим продолжать двигаться точке H по своей большой окружности (окружность PBS на рисунке), удаляясь от P. Если в то же время, когда точка H выходит из P, из P выйдут еще две точки — R и T, движущиеся по большой окружности, перпендикулярной ON (окружность PAS на рисунке), в противоположных направлениях с одинаковой угловой скоростью (равной угловой скорости H, с которой она движется по своей окружности), плоскость, в которой находятся R, H и T в каждый момент времени будет параллельна плоскости, касательной к сфере в точке P.

Эта плоскость пересекает сферу по окружности диаметром RT и, следовательно, угол RHT прямой. Тогда углы HTR и HRT в сумме дают \pi/2. Если FR — перпендикуляр к плоскости PAS, то углы FRH и HRT в сумме тоже дают \pi/2, откуда заключаем, что углы FRH и HTR равны.

Но угол HTR, вписанный в окружность диаметра RT, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, а это угол между плоскостями PAS и PBS.

Таким образом, угол между прямыми FR и HR не изменяется. И так как треугольники HRT в своих различных положениях подобны, отношение \displaystyle \frac{RC}{RT}, где C — основание перпендикуляра, опущенного из H на RT, постоянно.

Если теперь будем поворачивать сферу вокруг оси ON с угловой скоростью, равной угловой скорости точки P, но в противоположном направлении, точка R будет фиксирована в пространстве в положении, которое занимала точка P, а точка H опишет гиппопеду. Так как угол между FR и HR постоянный, HR является образующей конуса с осью FR, и так как отношение \displaystyle \frac{RC}{RT} постоянно, точка C описывает кривую, которая является результатом применения гомотетии с центром R к кривой, которую описывает точка T, т.е. окружностью. И так как гиппопеда проектируется на эту окружность, она лежит на цилиндре.

Как следствие получаем, что кривая, по которой пересекаются цилиндр и конус с осью, являющейся образующей цилиндра, — гиппопеда Евдокса и, следовательно, кривая, лежащая на сфере.

В реконструкции Скиапарелли астрономической теории гомоцентрических сфер Евдокса движение планеты по гиппопеде, которое образуют две внутренние области (из 4-х областей для каждой планеты) служит для объяснения нерегулярных движений планет, т.е. движений назад, которые наблюдаются в траекториях планет, видимых с Земли на фоне неподвижных звезд.

Источник: http://gaussianos.com/la-hipopede-de-eudoxo/

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение