Распечатать запись Распечатать запись

Деление многочленов в столбик

Несколько лет назад с удивлением узнала, что сегодня в школах (даже во многих физ-мат школах), на кружках, да и в случаях “репетирования’’ не учат делить полиномы, или многочлены, в столбик. Самое забавное при этом, что схему Горнера школьники знают и используют для деления полиномов. Похоже, считается, что деление в столбик слишком сложно для неокрепшего разума, а вот выучить наизусть табличку, которая позволяет делить на многочлен первой степени, ему вполне по силам. Естественно, никто при этом не заботится о том, чтобы школьники поняли, почему так можно делить. Чтобы восполнить вопиющий пробел в образовании таких ребят, привожу здесь метод деления полинома на полином столбиком, который на самом деле довольно прост и позволяет делить на полиномы произвольной степени.

Начнем с того, что для двух многочленов f(x) и g(x) (g(x) не должен быть тождественно равным нулю) справделива теорема о делении с остатком. Если же остаток нулевой, то говорят, что f делится на g без остатка.

А теперь давайте рассмотрим примеры: на них учиться делить полиномы проще.

Пример 1. Разделим x^3-7x+6 на x^2-3x+2 (обратите внимание, оба многочлена записаны по убыванию степенй x). Сначала запишу то, что должно получиться, а затем приведу объяснения, как это получить.

\begin{tabular}{r@{}l@{}l@{}l@{}l|l}<br />
&$x^3$&&$-7x$&$+6$&$x^2-3x+2$\\<br />
\cline{1–1}\cline{6–6}<br />
&$x^3$&$-3x^2$&$+2x$&&$x+3$\\<br />
\cline{2–5}<br />
\end{tabular}\\<br />
\mbox{\hskip0.5cm}\begin{tabular}{r@{}l@{}l@{}l@{}}<br />
&$3x^2$&$-9x$&$+6$\\[-3mm]<br />
$-$&&&\\[-3mm]<br />
&$3x^2$&$-9x$&$+6$\\<br />
\cline{2–4}<br />
&&&$0$<br />
\end{tabular}

Сначала старший член делимого — это x^3 — поделим на старший член делителя, то есть на x^2. Полученный результат, который равен x, будет старшим членом частного. Теперь умножим делитель на этот многочлен (получим x^3+3x^2+2x) и вычтем полученный результат из делимого. Получим остаток 3x^2-9x+6. Старший член этого остатка, который равен 3x^2 снова поделим на старший член делителя, который равен x^2, получим 3, что и будет вторым членом частного. Делитель, умноженный на этот член, вычитаем из первого остатка. Получаем второй остаток, который равен нулю. На этом процесс деления заканчивается.

Легко проверить, что

(x^2-3x+2)(x+3)=x^3-7x+6 .

Вообще говоря, деление заканчивается, как только степень полученного остатка будет меньше (строго меньше!) степени делителя. Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2. Поделим x^7+1 на x^3+1.

\begin{tabular}{r@{}l@{}r@{}|l}<br />
&$x^7$&$+1$&$x^3+1$\\<br />
\cline{1–1}\cline{4–4}<br />
&$x^7$&$+x^4$&$x^4-x$\\</p>
<p>\cline{2–3}<br />
\end{tabular}\\<br />
\begin{tabular}{r@{}r@{}l@{}}<br />
&$-x^4$&$+1$\\[-3mm]<br />
$-$&&\\[-3mm]<br />
&$-x^4$&$-x$\\<br />
\cline{2–3}<br />
&$x$&$+1$<br />
\end{tabular}

Деление закончено, поскольку степень последнего остатка меньше степени делителя (1<3), иначе говоря, старший член остатка не делится нацело на старший член делителя.

Проверка. Действительно, нетрудно убедиться в том, что

(x^3+1)(x^4-x)+x+1=x^7+1 .

Можно делить таким образом и многочлены с буквенными коэффициентами, другими словами, полиномы с коэффициентами, зависящими от параметров. Рассмотрим пример.

Пример 3. Поделим полином x^3+y^3+z^3-3xyz на x+y+z. Будем считать эти полиномы многочленами от одной переменной, например, x, с коэффициентами, зависящими от y и z. Производим деление.

\begin{tabular}{r@{}l@{}l@{}l@{}l@{}|l}<br />
&$x^3$&&$-3yzx$&$+(y^3+z^3)$&$x+(y+z)$\\<br />
\cline{1–1}\cline{6–6}<br />
&$x^3$&$+(y+z)x^2$&&&$x^2-(y+z)x+(y^2+z^2-yz)$\\<br />
\cline{1–5}<br />
\end{tabular}\\<br />
\begin{tabular}{r@{}r@{}l@{}l@{}}<br />
&$(y+z)x^2$&$-3yzx$&$+(y^3+z^3)$\\[-3mm]<br />
$-$&&&\\[-3mm]<br />
&$(y+z)x^2$&$+(y+z)^2x$&\\<br />
\cline{2–4}<br />
&&$(y^2+z^2-yz)x$&$+(y^3+z^3)$\\[-3mm]<br />
&$-$&&\\[-3mm]<br />
&&$(y^2+z^2-yz)x$&$+(y^3+z^3)$\\<br />
\cline{3–4}<br />
&&&$0$<br />
\end{tabular}

Таким образом,

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz) .

Литература: Туманов С.И. “Элементарная алгебра”

Комментариев: 43

  1. 1 Света:

    У вас в первом примере деления ошибка
    должно быть -3x^2 с минусом

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    В первом примере все верно. Минуса там быть не должно, вычитаем именно то, что написано.

    [Ответить]

  3. 3 Света:

    как и во втором
    пишете что делите x^8 а в примере x^7

    [Ответить]

  4. 5 Дина:

    Как вот это решить столбиком? Помогите, пожалуйста!
    у^3-5x^2y+4xy^2+3xy+15x^2:5x+y

    [Ответить]

  5. 6 Елизавета Александровна Калинина:

    Сначала перепишем первый многочлен так:

    y^3+4xy^2+(-5x^2+3x)y+15x^2

    и делим на y+5x. Первое слагаемое частного y^2. Дальше вычитаем y^2(y+5x) из исходного полинома и продолжаем деление так же. Напишу ответ: частное y^2-xy+3x.

    [Ответить]

  6. 7 Гелена:

    Классный сайт, здесь всё хорошо расписано. Только мне всё равно мало что понятно.

    [Ответить]

  7. 8 Елизавета Александровна Калинина:

    Спасибо. Вы можете задавать вопросы, Гелена!

    [Ответить]

  8. 9 Саша:

    Извиняюсь за возможно глупый вопрос, но почему мы ставим пропуск в многочлене?
    например тут:
    http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-f5be9ab9a583b4a2c0347a8d0d0e8415.gif

    [Ответить]

  9. 10 Елизавета Александровна Калинина:

    Саша, там коэффициент при x^2 равен нулю. Мы просто записываем так, чтобы одинаковые степени x стояли друг под другом.

    [Ответить]

  10. 11 Maryna:

    Ребят, а как такое решить?? Сижу сижу, но не получается(( заранее спасибо) x^5-y^5 : x+y

    [Ответить]

  11. 12 Елизавета Александровна Калинина:

    Проще всего применить формулу сокращенного умножения:
    x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4) ;) .

    P.S. Формула исправлена, так как в ней была ошибка, на которую указал ниже Лейб Александрович.

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    В этой формуле, к сожалению, имеется неточность.
    Во втором множителе все слагаемые должны быть со знаком ПЛЮС:
    .
    x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, Вы совершенно правы, спасибо, исправила.

    [Ответить]

  12. 13 Maryna:

    Спасибо большое)

    [Ответить]

  13. 14 Nina:

    Привет, помогите, пожалуйста, решить (X³+3X²-2X+8/27) : (x–0,(3))

    [Ответить]

  14. 15 Елизавета Александровна Калинина:

    Привет! ;) Nina, сначала периодическую десятичную дробь переведите в рациональную дробь. Смотрите здесь, как это сделать: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/5-desyatichnaya-zapis-racionalnogo-chisla/

    А дальше делите многочлен на многочлен, как описано. Подсказка: первое слагаемое частного (возможно, неполного) x^2. Удачи!

    [Ответить]

  15. 16 Nina:

    спасибо)

    [Ответить]

  16. 17 Fess:

    Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста как разделить, например такие полиномы:
    4x^3+x^2 и x+1+i?

    [Ответить]

  17. 18 Елизавета Александровна Калинина:

    Их делить нужно точно так же, как и описано выше, только придется умножать на полиномы с комплексными коэффициентами. Так, первое слагаемое частного будет равно 4x^2, что после умножения на x+1+i даст 4x^3+(4+4i)x^2. Вычитаем полученное из исходного полинома, остается (-3-4i)x^2. Теперь находим второе слагаемое частного: (-3-4i)x и умножаем на него x+1+i. И т.д.

    [Ответить]

  18. 19 Fess:

    Спасибо!

    [Ответить]

  19. 20 Fess:

    а подскажите, пожалуйста, где нибудь примеры вышеуказанных примеров именно с комплексным коэффициентом можно найти?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ваш пример взят из “Сборника задач по высшей алгебре” Фаддеева, Соминского. Там можно найти еще пару примеров. А вообще Вы же сами можете себе таких примеров самостоятельно напридумывать. Главное, потом проверяйте, чтобы частное, умноженное на делитель, плюс остаток было равно делимому :)

    [Ответить]

  20. 21 Алексей Д.:

    А все-таки Света в первом комментарии была права… ))

    [Ответить]

  21. 22 Елизавета Александровна Калинина:

    Действительно ( . Исправила. Спасибо Свете и Вам :)

    [Ответить]

  22. 24 Елизавета Александровна Калинина:

    Андрей, в чем проблема? Первое слагаемое частного 1/4x. Дальше все точно так, как написано…

    [Ответить]

  23. 25 Дмитрий:

    Задание: для каких чисел a и b многочлен f(x) делится на g(x)? f(x) = x^6+6x^3+3x^2+ax+b; g(x)=x^2+x+1.

    [Ответить]

  24. 26 Дмитрий:

    Ой, простите. Ерунда какая-то напечаталась.. Но надеюсь, поймете)

    [Ответить]

  25. 27 Елизавета Александровна Калинина:

    Дмитрий, да, все понятно, исправила так, чтобы было лучше. Поделите, как написано, а потом напишите условие того, что остаток равен нулю. Остатком будет полином первой степени ((a-2)x+(b+3)). Его коэффициенты нулевые, т.е. a=2,b=-3.

    [Ответить]

  26. 28 Евгения:

    Здравствуйте, вы не могли бы мне помочь?
    Задание такое:x^3+2x^2+x+3 делить на 2x^2-3x-4
    Заранее большое спасибо:)

    [Ответить]

  27. 29 Евгения:

    Cпасибо,уже решила:)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Это правильно, рада за Вас ;)

    [Ответить]

  28. 30 Дмитрий К.:

    Простите, но нет ли ошибки в словах: “Полученный результат, который равен x, будет старшим членом частного. Теперь умножим делитель на этот МНОГОЧЛЕН (получим x^3+3x^2+2x) и вычтем полученный результат из делимого.” Ведь там, вроде бы, всегда должен получаться одночлен, а не многочлен

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Дмитрий, многочлен есть сумма одночленов. Вообще говоря, в сумме может быть одно слагаемое. Посмотрите здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/Многочлен

    Одночлен является многочленом (обратное неверно).

    [Ответить]

  29. 31 Дмитрий К.:

    Здравствуйте, не могли бы Вы объяснить такую вот нестыковку. Насколько я понимаю, все алгебраические выражения должны быть верными арифметическими выражениями, если вместо переменных подставить какие-то конкретные числа (при условии, чтоб не было деления на нуль или может еще чего-то). Вот есть многочлен 4x^3 – 2x^2 + 4 . Если его разделить на линейный двучлен x + 2 , то получается частное 4x^2 – 10x + 20 и остаток -36. Если вместо х подставить -3, то все нормально: делимое равно -122, частное 86. делимое – частное = остаток (-122 + 86 = -36). Но если подставить 3, то делимое равно 94, частное 26. Если из делимого вычесть частное, то остаток никак не получается. Не могли бы намекнуть в чем дело?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Дмитрий, получается 4x^3-2x^2+4=(4x^2-10x+20)(x+2)-36. И всегда делимое минус остаток равно частному, умноженному на делитель.

    [Ответить]

    Дмитрий К. Reply:

    Ой, спасибо большое, натупил.

    [Ответить]

  30. 32 Лейб:

    Неожиданно для себя обнаружил, что никогда не обращал внимания на следующую тонкость.
    .
    Для простоты понимания, разделим многочлен x^2+3
    на двучлен x-2.
    В частном получим x+2, а в остатке число 7.
    .
    Но, подставив вместо x, например, число 4, получим ложное утверждение о том, что число 4^2+3 при делении на число 4-2 дает в остатке 7.
    .
    Иначе говоря, если утверждение верно для деления многочленов, то это еще не означает, что оно верно для деления соответствующих чисел.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Потому, что нет переполнения и переноса в старший разряд, как у чисел?

    [Ответить]

  31. 33 Андрей:

    Помогите, пожалуйста решить
    6a^(2n-2)+a^(2n+4)-a^(2n)поделить на a^4+2a^2

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Андрей, вынесите в делимом a^{2n-2} за свкобки, а в делителе – a^2, дальше делите множители отдельно.

    [Ответить]

  32. 34 Андрей:

    Спасибо огромное)) разобрался

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение