«
»

Барицентрические координаты

27 Апрель 2011, 8:51

Барицентром называется центр тяжести (или центр масс) системы материальных точек.

Напомню, что для точек пространства M_1,M_2,\ldots,M_n, положение которых определяется радиус-векторами {\bf r}_1,{\bf r}_2,\ldots,{\bf r}_n с массами m_1,m_2,\ldots,m_n соответственно радиус-вектор их центра тяжести находится по формуле

    \[{\bf r}=\frac{m_1{\bf r}_1+m_2{\bf r}_2+\ldots+m_n{\bf r}_n}{m_1+m_2+\ldots+m_n} .\]

Барицентрические координаты – координаты точки относительно системы координат, начало которой находится в центре тяжести системы. Впервые барицентрические координаты ввел Мёбиус в 1827 году, рассматривая задачу, какие массы нужно поместить в вершины данного треугольника, чтобы данная точка была центром тяжести этих масс. Барицентрические координаты — первые однородные координаты.

Так вот, собственно, барицентрические координаты вводятся следующим образом (мы рассмотрим барицентрические координаты на плоскости). Пусть на плоскости введены декартовы координаты Oxy. Рассмотрим какие-либо три различные точки M_1(x_1,y_1), M_2(x_2,y_2), M_3(x_3,y_3), не лежащие на одной прямой и произвольную данную точку M(x,y). Выясним, существуют ли такие три числа m_1,m_2 и m_3, удовлетворяющие условию

    \[m_1+m_2+m_3=1,\]

что точка M(x,y) будет центром тяжести точек M_1,M_2,M_3 с массами m_1, m_2, m_3 соответственно. Данная задача сводится к вопросу об однозначной разрешимости системы линейных уравнений

    \[\left\{\begin{array}{l} m_1+m_2+m_3=1,\\ m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3=x,\\ m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3=y. \end{array}\right.\]

Здесь первое уравнение — это условие на массы точек, а последние два — уравнения центра тяжести в координатах с учетом этого условия.

Первое уравнение умножим на x_1 и вычтем из второго, а затем умножим его на y_1 и вычтем из третьего, получим

    \[\left\{\begin{array}{l} m_1+m_2+m_3=1,\\ m_2(x_2-x_1)+m_3(x_3-x_1)=x-x_1,\\ m_2(y_2-y_1)+m_3(y_3-y_1)=y-y_1. \end{array}\right.\]

Если \displaystyle \frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}=\frac{x_3-x_1}{y_3-y_1}, то точки M_1,M_2 и M_3 лежат на одной прямой, поскольку в этом случае векторы {\bf r}_2-{\bf r}_1 и {\bf r}_3-{\bf r}_1 коллинеарны, так как их координаты пропорциональны.

Значит, \displaystyle \frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\ne\frac{x_3-x_1}{y_3-y_1}. Из третьего уравнения, домноженного на x_2-x_1, вычтем первое, домноженное на y_2-y_1 и найдем m_3:

    \[m_3=\frac{(y-y_1)(x_2-x_1)-(x-x_1)(y_2-y_1)}{ (y_3-y_1)(x_2-x_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)} .\]

Аналогично находим

    \[m_2=\frac{(y-y_1)(x_3-x_1)-(x-x_1)(y_3-y_1)}{ (y_2-y_1)(x_3-x_1)-(x_2-x_1)(y_3-y_1)} .\]

Находим

    \[m_1=\frac{(y-y_3)(x_2-x_3)-(x-x_3)(y_2-y_3)}{ (y_1-y_3)(x_2-x_3)-(x_1-x_3)(y_2-y_3)} .\]

Аналогично вводятся барицентрические координаты в пространстве.

Применяются барицентрические координаты в различных химических, топологических задачах. Интересно их применение в колориметрии. Любой цвет может быть представлен смешением трех цветов. В 1931 году Международная Осветительная Комиссия (МОК) приняла в качестве основных три цвета: красный R, зеленый G и синий B с длинами волн соответственно \lambda=700 нм, \lambda=546.1 нм и \lambda=435.8 нм.

При смешении цветов R,G и B можно, в частности, получить и белый цвет.

Приняты различные стандарты “белизны”. Если смешать с равными интенсивностями (то есть освещенностями, скажем, по 1 люмену) красный цвет R, зеленый G и синий B, то получится цвет синего оттенка. В качестве стандартного белого цвета (обозначается буквой E) принят цвет, который получается от смешения цвета R с освещенностью в 1 люмен с 4.5907 люмена цвета G и с 0.0601 люмена цвета B.

Мы можем теперь наглядно изобразить цвета, получаемые от смешения трех цветов R,G,B. Выберем на плоскости какой-нибудь треугольник и вершины его обозначим буквами R,G,B (в соответствии с основными цветами). Если некоторый цвет возник при смешении r “единиц” цвета R, g “единиц” цвета G и b “единиц” цвета B, причем r+g+b=1, то можно этому цвету сопоставить точку F, имеющую барицентрические координаты (r;g;b). При этом надо условиться, что считать “единицей” того или иного цвета. В соответствии со сказанным выше за “единицу” принимают такие интенсивности цветов R,G и B, которые соответствуют освещенности соответственно в 1, 4.6 и 0.06 люмена.

Эти координаты называют в колориметрии координатами цветности или трехцветными координатами. В частности, стандартный белый цвет E имеет барицентрические координаты (координаты цветности) (1/3;1/3;1/3).

Литература

М.Г. Балк, В.Г. Болтянский “Геометрия масс’’ М.: Физматлит, 1987 (Библиотечка “Квант”, выпуск 61)

Теги: ,
Рубрика: Статьи по математике  |  Отзывы (RSS)  |  Трекбек

Один комментарий

  1. 1 Теорема Ван-Обеля | Математика, которая мне нравится:

    [...] действительности и — это барицентрические координаты точки . Также заметим, что , т.е. — это отношение [...]

    9 Май 2012, 11:17

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение