Математика, которая мне нравится

Барицентром называется центр тяжести (или центр масс) системы материальных точек.

Напомню, что для точек пространства , положение которых определяется радиус-векторами с массами соответственно радиус-вектор их центра тяжести находится по формуле

Барицентрические координаты – координаты точки относительно системы координат, начало которой находится в центре тяжести системы. Впервые барицентрические координаты ввел Мёбиус в 1827 году, рассматривая задачу, какие массы нужно поместить в вершины данного треугольника, чтобы данная точка была центром тяжести этих масс. Барицентрические координаты – первые однородные координаты.

Так вот, собственно, барицентрические координаты вводятся следующим образом (мы рассмотрим барицентрические координаты на плоскости). Пусть на плоскости введены декартовы координаты . Рассмотрим какие-либо три различные точки , , , не лежащие на одной прямой и произвольную данную точку . Выясним, существуют ли такие три числа и , удовлетворяющие условию

что точка будет центром тяжести точек с массами , , соответственно. Данная задача сводится к вопросу об однозначной разрешимости системы линейных уравнений

Здесь первое уравнение – это условие на массы точек, а последние два – уравнения центра тяжести в координатах с учетом этого условия.

Первое уравнение умножим на и вычтем из второго, а затем умножим его на и вычтем из третьего, получим

Если , то точки и лежат на одной прямой, поскольку в этом случае векторы и коллинеарны, так как их координаты пропорциональны.

Значит, . Из третьего уравнения, домноженного на , вычтем первое, домноженное на и найдем :

Аналогично находим

Находим

Аналогично вводятся барицентрические координаты в пространстве.

Применяются барицентрические координаты в различных химических, топологических задачах. Интересно их применение в колориметрии. Любой цвет может быть представлен смешением трех цветов. В 1931 году Международная Осветительная Комиссия (МОК) приняла в качестве основных три цвета: красный R, зеленый G и синий B с длинами волн соответственно нм, нм и нм.

При смешении цветов и можно, в частности, получить и белый цвет.

Приняты различные стандарты “белизны”. Если смешать с равными интенсивностями (то есть освещенностями, скажем, по 1 люмену) красный цвет , зеленый и синий , то получится цвет синего оттенка. В качестве стандартного белого цвета (обозначается буквой ) принят цвет, который получается от смешения цвета с освещенностью в 1 люмен с люмена цвета и с люмена цвета .

Мы можем теперь наглядно изобразить цвета, получаемые от смешения трех цветов . Выберем на плоскости какой-нибудь треугольник и вершины его обозначим буквами (в соответстии с основными цветами). Если некоторый цвет возник при смешении “единиц” цвета , “единиц” цвета и “единиц” цвета , причем , то можно этому цвету сопоставить точку , имеющую барицентрические координаты . При этом надо условиться, что считать “единицей” того или иного цвета. В соответствии со сказанным выше за “единицу” принимают такие интенсивности цветов и , которые соответствуют освещенности соответственно в 1, 4.6 и 0.06 люмена.

Эти координаты называют в колориметрии координатами цветности или трехцветными координатами. В частности, стандартный белый цвет имеет барицентрические координаты (координаты цветности) .

Литература

М.Г. Балк, В.Г. Болтянский “Геометрия масс’’ М.: Физматлит, 1987 (Библиотечка “Квант”, выпуск 61)