Барицентрические координаты
Барицентром называется центр тяжести (или центр масс) системы материальных точек.
Напомню, что для точек пространства , положение которых определяется радиус-векторами
с массами
соответственно радиус-вектор их центра тяжести находится по формуле
Барицентрические координаты – координаты точки относительно системы координат, начало которой находится в центре тяжести системы. Впервые барицентрические координаты ввел Мёбиус в 1827 году, рассматривая задачу, какие массы нужно поместить в вершины данного треугольника, чтобы данная точка была центром тяжести этих масс. Барицентрические координаты — первые однородные координаты.
Так вот, собственно, барицентрические координаты вводятся следующим образом (мы рассмотрим барицентрические координаты на плоскости). Пусть на плоскости введены декартовы координаты . Рассмотрим какие-либо три различные точки
,
,
, не лежащие на одной прямой и произвольную данную точку
. Выясним, существуют ли такие три числа
и
, удовлетворяющие условию
что точка будет центром тяжести точек
с массами
,
,
соответственно. Данная задача сводится к вопросу об однозначной разрешимости системы линейных уравнений
Здесь первое уравнение — это условие на массы точек, а последние два — уравнения центра тяжести в координатах с учетом этого условия.
Первое уравнение умножим на и вычтем из второго, а затем умножим его на
и вычтем из третьего, получим
Если , то точки
и
лежат на одной прямой, поскольку в этом случае векторы
и
коллинеарны, так как их координаты пропорциональны.
Значит, . Из третьего уравнения, домноженного на
, вычтем первое, домноженное на
и найдем
:
Аналогично находим
Находим
Аналогично вводятся барицентрические координаты в пространстве.
Применяются барицентрические координаты в различных химических, топологических задачах. Интересно их применение в колориметрии. Любой цвет может быть представлен смешением трех цветов. В 1931 году Международная Осветительная Комиссия (МОК) приняла в качестве основных три цвета: красный R, зеленый G и синий B с длинами волн соответственно нм,
нм и
нм.
При смешении цветов и
можно, в частности, получить и белый цвет.
Приняты различные стандарты “белизны”. Если смешать с равными интенсивностями (то есть освещенностями, скажем, по 1 люмену) красный цвет , зеленый
и синий
, то получится цвет синего оттенка. В качестве стандартного белого цвета (обозначается буквой
) принят цвет, который получается от смешения цвета
с освещенностью в 1 люмен с
люмена цвета
и с
люмена цвета
.
Мы можем теперь наглядно изобразить цвета, получаемые от смешения трех цветов . Выберем на плоскости какой-нибудь треугольник и вершины его обозначим буквами
(в соответствии с основными цветами). Если некоторый цвет возник при смешении
“единиц” цвета
,
“единиц” цвета
и
“единиц” цвета
, причем
, то можно этому цвету сопоставить точку
, имеющую барицентрические координаты
. При этом надо условиться, что считать “единицей” того или иного цвета. В соответствии со сказанным выше за “единицу” принимают такие интенсивности цветов
и
, которые соответствуют освещенности соответственно в 1, 4.6 и 0.06 люмена.
Эти координаты называют в колориметрии координатами цветности или трехцветными координатами. В частности, стандартный белый цвет имеет барицентрические координаты (координаты цветности)
.
Литература
М.Г. Балк, В.Г. Болтянский “Геометрия масс’’ М.: Физматлит, 1987 (Библиотечка “Квант”, выпуск 61)
1 Теорема Ван-Обеля | Математика, которая мне нравится:
[...] действительности и — это барицентрические координаты точки . Также заметим, что , т.е. — это отношение [...]
9 Май 2012, 11:17