Распечатать запись Распечатать запись

Теорема Менелая

Менелай Александрийский (М\varepsilon\nu\acute{\varepsilon}\lambda\alpha o\varsigma, I в.) – древнегреческий математик и астроном. Автор работ по сферической тригонометрии: написал 6 книг о вычислении хорд и 3 книги “Сферики’’, сохранившиеся в арабском переводе. Для получения формул сферической тригонометрии использовал теорему, известную сегодня как теорема Менелая.

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник ABC, причем C_1 – точка ее пересечения со стороной AB, A_1 – точка ее пересечения со стороной BC, и B_1 – точка ее пересечения с продолжением стороны AC. Тогда

\displaystyle \frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1 .

Доказательство. Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через K ее точку пересечения с прямой B_1C_1.

Треугольники AC_1B_1 и CKB_1 подобны (\angle C_1AB_1=\angle KCB_1, \angle AC_1B_1=\angle CKB_1). Следовательно,

\displaystyle \frac{AC_1}{CK}=\frac{B_1A}{B_1C} .

Треугольники BC_1A_1 и CKA_1 также подобны (\angle BA_1C_1=\angle KA_1C, \angle BC_1A_1=\angle CKA_1). Значит,

\displaystyle \frac{C_1B}{CK}=\frac{BA_1}{A_1C} .

Из каждого равенства выразим CK:

\displaystyle CK=\frac{AC_1\cdot B_1C}{B_1A}=\frac{C_1B\cdot A_1C}{BA_1} ,

откуда

\displaystyle \frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1 ,

что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник ABC. Пусть точка C_1 лежит на стороне AB, точка A_1 – на стороне BC, а точка B_1 – на продолжении стороны AC, причем выполняется соотношение

\displaystyle \frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1 .

Тогда точки A_1,B_1 и C_1 лежат на одной прямой.

Доказательство. Заметим для начала, что \displaystyle \frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\ne 1, поскольку, по условию, это выражение равно \displaystyle \frac{B_1A}{CB_1}\ne 1. Следовательно, прямые A_1C_1 и AC не параллельны.

Проведем прямую через точки C_1 и A_1. Она пересечет прямую AC в некоторой точке B_2. Для точек A_1,C_1 и B_2 справедлива теорема Менелая, так что

\displaystyle \frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_2}{B_2A}=1 .

Отсюда следует, что

\displaystyle \frac{CB_2}{B_2A}=\frac{BC_1}{C_1A}\cdot\frac{CA_1}{A_1B}=\frac{CB_1}{B_1A} .

Из этого равенства следует, что обе точки B_1 и B_2 лежат на продолжении отрезка AC за одну и ту же точку, ибо правее C данное отношение меньше 1, а левее A оно строго больше 1. Пусть CB_1=x,CB_2=y,AC=b. Тогда, учитывая, что B_1A=x+b и B_2A=y+b, перепишем полученное равенство в виде

\displaystyle \frac{x}{x+b}=\frac{y}{y+b}\Leftrightarrow xy+xb=xy+yb\Leftrightarrow x=y .

Из равенства CB_1=CB_2 следует, что B_1=B_2, и доказано, что точка B_1, совпадающая с B_2, лежит на прямой A_1C_1.

Замечание. Теоремы Менелая (прямая и обратная) верны также и в том случае, когда все три точки A_1,B_1,C_1 лежат на продолжениях сторон треугольника ABC. То есть справедлива следующая

Теорема. Пусть дан треугольник ABC. Точки A_1,B_1,C_1 лежат на продолжениях сторон BC,AC и AB соответственно. Три точки A_1,B_1 и C_1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

\displaystyle \frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1 .

Доказательство этой теоремы точно такое же, как и доказательство, приведенное выше.

Источники: В.В. Ткачук, “Математика абитуриенту”, М.: Изд-во МЦНМО, 2004.

Я.П. Понарин, “Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости”, М.: Изд-во МЦНМО, 2004.

Комментариев: 12

  1. 1 Корнеев В.Ф.:

    Красивейшая теорема. Как и теорема Чевы. Но не ожидал, что Менелай сделал разработки и в сферической тригонометрии. Это навеяло воспоминания. Когда я учился в Киевской спецшколе с физикоматематическим профилем, то ходил на обсерваторию. Там меня познакомили с довольно нетрудным доказательством теоремой синусов для сферического треугольника.

    [Ответить]

  2. 2 Корнеев В.Ф.:

    В формуле Менелая в первом отношении пропущен индекс. Это уже не устранить?

    [Ответить]

  3. 3 Елизавета Александровна Калинина:

    Спасибо, исправила. Теперь индексы в порядке.

    [Ответить]

  4. 4 &rew:

    В теореме Менелая, если быть точным, указанное произведение отношений равно (-1).Это принципиально.
    Кстати сказать, справедливо ОБОБЩЕНИЕ для любого плоского n-угольника аналогичное произведение отношений равно (-1) в степени n. Доказательство элементарно.
    И ещё. Если вспомнили теорему Чевы, то стоит вспомнить не менее красивую теорему Жергона(1818г.) и теорему Ван-Обеля, причём для теоремы Жергона справедливо аналогичное утверждение для тетраэдра.

    [Ответить]

  5. 5 Елизавета Александровна Калинина:

    По поводу -1 верно, если определять простое отношение точек ;) Это непринципиально, поскольку для обычных школьников, не умеющих решать элементарные задачи, это не столь важно. Для длин отрезков это 1.

    Теорема Ван-Обеля есть здесь. Теорема Жергонна здесь.

    Насчет обобщений… Не уверена, что обычным школьникам они нужны, но подумаю, спасибо. Во всяком случае, сдается мне, что знак точно не важен.

    [Ответить]

  6. 6 Теорема Гаусса | Математика, которая мне нравится:

    [...] как точки и лежат на одной прямой, то по теореме Менелая левая часть этого равенства равна . Следовательно, [...]

  7. 7 Теорема Паскаля для треугольника | Математика, которая мне нравится:

    [...] форма теоремы Менелая. Пусть дан треугольник . Пусть на сторонах [...]

  8. 8 Азамат:

    Жақсы теорема. 100 жылдан кейін Азамат теоремасын оқитын боласындар

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Согласна, и теорема хорошая, и молодцы те, кто ее изучают. Возможно, мой перевод крайне плох… Не могли бы Вы писать по-русски? :)

    [Ответить]

  9. 9 Skyguy:

    А вроде же еще есть доказательство через отношение площадей (доп. постр.: высоты). Автор плз можешь показать доказательство через отношение площадей?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Google
    теорема Менелая через отношение площадей, первая ссылка )

    [Ответить]

  10. 10 Имиль:

    Спасибо за статью! Помогла мне разобраться в задаче.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение