Распечатать запись Распечатать запись

Якоб Бернулли. Логарифмическая спираль

\displaystyle r=ce^{k\varphi},\ \varphi=\frac{1}{k}\ln \frac{r}{c} .

Почему ракушка наутилус имеет этот странный и элегантный вид?

Начало исследования этой спирали должно быть связано с навигацией. На протяжении XVI и XVII веков тысячи судов бороздили океаны. Мореплаватели знали, что на поверхности Земли кратчайшее расстояние между двумя точками дает дуга окружности. Но чтобы двигаться по такой дуге следует непрерывно менять направление движения. Поэтому этот оптимальный курс заменяли другим, таким, чтобы угол, под которым корабль пересекал все меридианы, был постоянным. Этот курс оставался постоянным. Траектории такого вида образуют на земной поверхности кривые, которые называются локсодромами. Однако моряки не работали на сфере, их карты были плоскими, они представляли собой проекции сферы. Ну а проекция сферы на плоскость преобразует локсодрому на ней в… логарифмическую (или равноугольную) спираль.

Первым, кто описал ее как механическую кривую, в отличие от кривых алгебраических, был Декарт, который в 1638 г. написал монаху Мерсенну о результатах своих исследований. Декарт искал возрастающую кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке всегда один и тот же угол. Отсюда и название равноугольная. Он также показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов. Отсюда и второе название: логарифмическая спираль. Расстояние между витками растет с увеличением угла, т. е. радиус-вектор увеличивается экспоненциального с увеличением угла поворота. Так что третье название этой кривой – геометрическая спираль.

Отцом этой спирали, по всей справедливости, является Якоб Бернулли, который ее полностью изучил и которого она настолько заворожила, что он просил изобразить ее на его могиле на кладбище в Базеле с надписью “Eadem mutata resurgo’’ (“Измененная, я вновь воскресаю’’).
Каменотес не был хорошим математиком, и он вырезал на камне практически идеальную архимедову спираль.

Якоб Бернулли обнаружил некоторые свойства этой кривой, которые остались не замеченными
Декартом и Торричелли, в том числе тот факт, что логарифмическая спираль – единственная кривая, эволюта, эвольвента, каустика и подера которой также являются, в свою очередь, логарифмическими спиралями. Якоб Бернулли обнаружил еще одну необычную особенность,
самоподобие, которая прямо связывает эту спираль с фракталами.

Логарифмическая спираль, несомненно, является спиралью, которая наиболее часто встречается в природе. Царство животных предоставляет нам примеры спиралей раковин улиток и моллюсков. Все эти формы указывают на природное явление: процесс накручивания связан с процессом роста. В самом деле, раковина улитки – это не больше, не меньше, чем конус, накрученный на себя. Рога жвачных животных тоже, но они к тому же витые. И хотя физические законы роста у разных видов различны, математические законы, которые управляют ими, одинаковы: все они имеют в основе геометрическую спираль, самоподобную кривую. Если мы внимательно посмотрим на рост раковин и рогов, то заметим еще одно любопытное свойство: рост происходит только на одном конце. И это свойство сохраняет форму полностью уникальную среди кривых в математике, форму логарифмической, или равноугольной спирали.

Галактики, штормы и ураганы дают впечатляющие примеры логарифмических спиралей. И наконец, в любом месте, где есть природное явление, в котором сочетаются расширение или сжатие с вращением, поневоле появляется логарифмическая спираль. В растительном мире примеры еще более бросаются в глаза, потому что у растения может быть бесконечное число спиралей, а не только одна спираль у каждого. Расположение семечек в любом подсолнечнике, чешуек в любом ананасе, да и другие разнообразные виды растений, простые ромашки… дают нам настоящий парад переплетающихся спиралей. Если мы посмотрим сверху на любую сосновую шишку, увидим, что ее семена располагаются в виде большого числа спиралей. И это неслучайно. Это не совпадение. Семена расположены оптимально, т. е. максимально используют пространство, и эта оптимизация пространства достигается за счет расположения по спирали.
http://platea.pntic.mec.es/aperez4/curvashistoria.pdf

Комментариев: 4

  1. 1 Слободянюк В.К.:

    Логарифмическая спираль встречается и в горном деле.
    План трассы спиральной формы является логарифмической спиралью.
    В некоторых учебниках по открытой разработке есть ошибка, когда трассу изображают не логарифмической спиралью, а виде архимедовой спирали (точно, так как на могиле Бернули).
    Я привожу ссылку на статью, в которой на основе свойств пространственной логарифмической спирали мы исследовали влияние параметров трассы на объем горно-капитальных работ.

    http://www.giab-online.ru/files/Data/2007/7/3_Vikul.pdf

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Спасибо, это действительно интересно и замечательно!

    [Ответить]

  3. 3 Максим:

    Это не отзыв, а скорее комментарий к началу статьи.
    Определение локсодрома или локсодромии (кривая на поверхности вращения) впервые предложено Педро Нунешом (Нунисом) в 1530 году. А первая навигационная карта, построенная в равноугольной цилиндрической проекции, где локсодромия отображается прямой линией пересекающей меридианы под равными углами разработана Герхардом Меркатором в 1569 году. Хотя, первенство Меркатора оспаривается некоторыми историками картографии. До 1530 года, моряки хотя и ходили по локсодромии (направление на Полярную звезду или на магнитный полюс), но понятия не имели, что движутся по спирали. Например, Христофор Колумб относится именно к таким мореплавателям, к тому же, как известно, в 1492 году представления о размерах Земли были совсем другими, и только к 1499 году (через 7 лет! – это очень быстро, учитывая тогдашние скорости передвижения) все поняли, что Земля гораздо больше, и только в 1522 году получили сведения о размерах Земли, которое сопоставимы с современными представлениями. За 30 лет, навигация (математика в то время не была самостоятельной дисциплиной, а являлась частью навигации) и картография совершили поистине чудовищный рывок, который можно сравнить с первым полетом в космос. В наше время хождение по локсодромии используется только в каботажном или большом каботажном плаваниях. Плавания на большие расстояния, например, через океан, современная навигация предписывает совершать по ортодрому или ортодромии (кратчайшему расстоянию). В судовождении Земля принимается за шар, поэтому ортодром – это дуга большого круга. В отличие от локсодромии ортодромия пересекает меридианы под разными углами. Для этого используются карты в гномонической проекции, где ортодромии отображаются прямыми линиями.

    [Ответить]

  4. 4 Елизавета Александровна Калинина:

    Максим, спасибо Вам за интересное и полезное дополнение!

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение