Распечатать запись Распечатать запись

Удвоение куба

Существует три классических задачи греческой математики, которые сыграли чрезвычайно важную роль в развитии геометрии. Это задачи о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла. Хотя они тесно связаны, мы решили рассмотреть их в отдельных статьях. Настоящая статья посвящена задаче об удвоении куба, или дублирования куба, или Делосской задаче – это три различных названия одной классической задачи. Было бы справедливо сказать, что хотя среди любителей математики в более позднее время задача о квадратуре круга стала самой популярной, во времена древних греков задача об удвоении куба, безусловно, была более известной.

Есть два разных мнения относительно возникновения этой задачи. Теон Смирнский цитирует работу Эратосфена:

“Эратосфен в своей работе “Платоник’’ рассказывает, что, когда бог возвестил делийцам через оракула, что для избавления от чумы они должны построить жертвенник вдвое больше, чем существующий, их мастера не смогли, несмотря на все их усилия, понять, как может быть построено тело в два раза больше данного, поэтому они пошли к Платону и спросили об этом, и он ответил, что оракул имел в виду не то, что Бог хотел, чтобы алтарь был в два раза больше, но что он хотел этой задачей устыдить греков за их пренебрежение математикой и их неуважение к геометрии’’.

Чума, безусловно, была важным событием в истории Афин, и около четверти населения умерло от нее. Это было около 430 г. до н.э., и поэтому, если есть хоть доля правды в этой истории, мы можем, по крайней мере, назвать достаточно точную дату появления задачи. Это также согласуется с ранними работами Гиппократа, относящимися к этому вопросу.

Евтокий в своем комментарии к работе Архимеда “О сфере и цилиндре’’ дал несколько иную версию. Как утверждается, это письмо, написанное Эратосфеном царю Птолемею, и хотя письмо является подделкой, написавший его приводит несколько подлинных высказываний Эратосфена:

“Эратосфен приветствует царя Птолемея.

Рассказывают, что один из древних поэтов-трагиков представлял Миноса и гробницу, построенную для Главка. Когда Минос обнаружил, что гробница имеет с каждой стороны длину сто футов, он сказал: “Слишком маленькую могилу вы создали, чтобы она была местом отдыха королей. Пусть она будет в два раза больше. Не меняя форму, быстро удвойте каждую сторону гробницы’’. Это было явной ошибкой. Ибо если стороны удвоятся, площадь поверхности увеличится в четыре раза, а объем – в восемь раз’’.

Эта история является эпизодом греческой мифологии, а не историческим фактом. Однако открытия в Кноссе на Крите в относительно недавнее время показали, что, по крайней мере, частично мифы основаны на реальных исторических событиях. В мифах говорится, что Главк, сын критского царя Миноса и его жены Пасифаи, умер в детстве из-за того, что упал в банку с медом.

Как мы только что видели, происхождение задачи об удвоении куба может быть несколько неясным, но нет сомнения, что греки уже в течение длительного времени знали, как решать задачу об удвоении площади. Действительно, возьмем квадрат ABCD и проведем его диагональ DB. Построим квадрат BDEF на BD. Тогда, как легко видеть, площадь BDEF в два раза больше площади ABCD. Удвоение прямоугольника немного сложнее, но оно также было известно, представлено Евклидом во второй книге “Начал’’ и, безусловно, является частью гораздо более ранней работы.

Первый крупный шаг к решению задачи об удвоении куба был сделан Гиппократом, вероятно, вскоре после того, как эта задача появилась. Однако, кажется, что задача рассматривается уже в более общем виде, а именно:

(I) Найти куб, отношение которого к данному кубу равно отношению двух данных длин.

Гиппократ свел задачу к следующей:

(II) По данным двум длинам найти два средних пропорциональных (иначе, средних геометрических),

т.е. по данным a,b найти x,y такие, что: a:x=x:y=y:b.

С нашим современным пониманием отношений легко видеть, что (I) и (II) эквивалентны. Действительно,

a^3:x^3=(a:x)^3=(a:x)(x:y)(y:b)=a:b .

Таким образом, если дан куб со стороной a и требуется построить куб, больший по объему в b:a раз, нужно построить куб со стороной x.

Сейчас часто в статьях об удвоении куба для доказательства результата Гиппократа приводится аргументация предыдущего абзаца (там, где показана эквивалентность (I) и (II)). Но этот тип аргументов не был доступен Гиппократу, поэтому нужно рассматривать не только как он доказал эквивалентность, но в первую очередь, как он получил этот результат. Не существует способа узнать точные ответы на эти вопросы. Однако есть ключи, которые дает задача в двумерном случае. Евклид в “Началах’’ показывает, что следующие две задачи эквивалентны:

(III) Найти квадрат, отношение которого к данному равно отношению двух данных длин.

(IV) По двум данным длинам найти их среднее геометрическое, т.е. для данных a,b найти x такое, что a:x=x:b.

Снова современное доказательство дает a^2:x^2=(a:x)^2=(a:x)(x:b)=a:b. Отсюда видно, что если для данного квадрата со стороной a мы построим квадрат со стороной x, то его площадь будет равна площади квадрата со стороной a, умноженной на b:a. Евклид в Книге VI “Начал’’ не только показывает эквивалентность (III) и (IV), но он показывает, как задача (IV) может быть использована для решения задачи (III). Хит также предполагает, что Гиппократ, возможно, пришел к своей идее с помощью теории чисел, поскольку он цитирует Книгу VIII “Начал’’ Евклида:

“Между двумя кубами чисел найдутся два средних пропорциональных, и куб относится к кубу как три раза отношение стороны к стороне’’.

Тем не менее, тщательный текстовый анализ работы Архимеда “О сфере и цилиндре’’ приводит автора статьи K Saito, Doubling the cube: a new interpretation of its significance for early Greek geometry, Historia Math. 22 (2) (1995), 119-137 к заключению, что составные отношения, уже хорошо известные Архимеду, принадлежат более современной математике, чем та, что существовала во время Гиппократа. Независимо от рассуждений Гиппократа, которыми он доказывал, что задача удвоения куба сводится к (II), весьма примечательно, что все последующие математики решали задачу (II), а не задачу в первоначальной формулировке.

Далее мы рассмотрим решение, предложенное Архитом. Это довольно красивое решение, в котором использованы выдающиеся новшества, введенные Архитом. Хит пишет:

“Решение Архита является самым замечательным из всех, особенно с учетом времени его появления (первая половина четвертого века до н.э.), потому что это не построение в плоскости, а смелый выход в третье измерение для нахождения определенной точки как пересечения трех поверхностей вращения…’’

Покажем построение Архита, приведенное Евтокием. Попытаемся дать его современную интерпретацию, чтобы сделать его более понятным, но подчеркнем, что метод координат для его описания Архит ни в коей мере не использует.

Рассмотрим окружность в плоскости xy, с диаметром OA, расположенным на оси x, где O – начало координат, и точка A имеет координаты (a, 0). Пусть B – точка на окружности, и OB=b. Требуется найти два средних геометрических между a и b. Продолжим OB до пересечения с касательной к окружности, проведенной через точку A, в точке C. Предположим, что мы рассматриваем всю эту фигуру в трехмерном пространстве, где ось z проходит через O перпендикулярно плоскости чертежа. Теперь представим три поверхности вращения, о которых говорит Хит в цитате, приведенной выше. Одна из них – поверхность полуцилиндра, построенного на полукруге OBA как на основании. Вторая – поверхность конуса, который получается вращением треугольника OCA вокруг прямой OA. Третья поверхность получается рассмотрением полукруга в плоскости xz с диаметром OA, вращающегося вокруг оси Oz так, что OA вращается в плоскости xy вокруг точки O. Эта поверхность является одной половиной тора, отверстие в центре которого – только точка O.

Пусть эти три поверхности вращения пересекаются в точке P. Тогда P, которая находится на поверхности полуцилиндра, проектируется в точку N на окружности OBA. Два средних геометрических, построенных Архитом, это OP и ON. Мы используем метод координат и сразу увидим правоту Архита, но сначала приведем построение словами Евтокия, без изменений, за исключением обозначений точек, которые я изменил, чтобы они соответствовали обозначениям нашего рисунка и тому, что описано выше:

“Это решение Архита, как пишет Евтокий.

Пусть две данные длины OA[=a] и b. Требуется построить два средних геометрических между a и b. Построим на OA как на диаметре окружность OBA, где OA большее число [OA=\max\{a,b\}], и впишем OB длины b и продолжим его до встречи в точке C с касательной к окружности в точке A. …представим полуцилиндр, который стоит вертикально на полукруге OBA, и что на OA перпендикулярно [основанию] полуцилиндра стоит полукруг. Когда этот полукруг перемещается из A в B, причем оконечность диаметра O фиксирована, он во время движения будет пересекать цилиндрическую поверхность по некоторой кривой. Тогда, если OA остается на месте, а треугольник OCA поворачивается вокруг OA, и движение его противоположно движению полукруга, получится коническая поверхность, созданная линией OC, которая в процессе своего движения пересечет кривую на цилиндре в конкретный момент [P]…’’

Чтобы с помощью современной математики увидеть, почему это работает, отметим, что цилиндрическая поверхность имеет уравнение

(1) x^2+y^2=ax,

уравнение тороидальной поверхности

(2) x^2+y^2+z^2 =a\sqrt{x^2+y^2},

и уравнение конической поверхности

(3) x^2+y^2+z^2 = a^2x^2/b^2.

Если (p,q,r) – точка, где эти три поверхности пересекаются, то

OP=\sqrt{p^2+q^2+r^2},\ ON=\sqrt{p^2+q^2} .

Теперь из (1) и (3) p^2+q^2+r^2=(p^2+q^2)^2/b^2 ..

Таким образом,

\displaystyle \frac{a}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}}=\frac{\sqrt{p^2+q^2+r^2}}{\sqrt{p^2+q^2}}=\frac{\sqrt{p^2+q^2}}{b} ,

что и требовалось.

Благодаря трудам Евтокия мы знаем, что Евдокс также дал решение задачи об удвоении куба. Его решение потеряно, однако, по версии Евтокия, оно содержало тривиальную ошибку, и поэтому он его не привел. Никто не верит, что в решении Евдокса были элементарные ошибки (для этого он был слишком хорошим математиком), поэтому ошибкой должна быть погрешность, допущенная при копировании его решения тем, кто не понял его правильно. Поль Таннери предположил, что решение Евдокса было двумерной версией решения, данного Архитом, которое мы только что описали, по сути, это было решение, полученное при проектировании построения Архита на плоскость. Однако Хит предполагает, что Евдокс был:

“…слишком оригинальным математиком, чтобы довольствоваться простой адаптацией метода Архита’’.

Я [EFR] согласен с этой оценкой Хита, так что кажется, мало шансов, что мы когда-нибудь узнаем, как Евдокс решил задачу об удвоении куба.

Менехм, как говорят, открыл конические сечения в то время, когда пытался решить задачу об удвоении куба. Решение Менехма нахождения двух средних геометрических описано Евтокием в его комментарии к работе Архимеда “О сфере и цилиндре’’:

Пусть даны a,b, и мы хотим найти два средних пропорциональных x,y между ними, т.е. a:x=x:y=y:b. Используя современную математику, конечно же, недоступную для Менехма, мы можем увидеть, как конические сечения возникают при решении задачи. Имеем

\displaystyle \frac{a}{x}=\frac{y}{b}, так что xy=ab,

\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{y}{b}, так что y^2=bx,

и \displaystyle \frac{a}{x}=\frac{x}{y}, так что x^2=ay.

Менехм привел два решения. Первое дают равнобочная гипербола и парабола, которые задаются первыми двумя уравнениями в нашем списке. Теперь мы видим, что значения x и y находятся как координаты точки пересечения параболы y^2=bx и равнобочной гиперболы xy=ab. Конечно, мы должны еще раз обратить внимание, что это никоим образом не указывает способ, которым решил задачу Менехм, но это показывает в современных терминах, откуда в решении задачи возникают парабола и гипербола. Для своего второго решения Менехм использует пересечение двух парабол y^2=bx и x^2=ay, – второе и третье уравнения в нашем списке.

Одной из величайших загадок, связанных с решением задачи об удвоении куба, является механическое решение, известное как машина Платона. Сейчас кажется маловероятным, что Платон мог дать механическое решение, особенно учитывая его взгляды на такие решения. Плутарх писал:

“Платон упрекал последователей Евдокса, Архита и Менехма за обращение к механике и инструментальным средствам для решения задачи об удвоении куба, поскольку, желая найти каким-либо способом два средних пропорциональных, они прибегли к методу, который был иррациональным. Действуя таким образом, не потерять безвозвратно лучшее в геометрии, спускаясь на уровень чувств, который мешает созданию и даже восприятию вечных и бестелесных образов, среди которых Бог, является бесконечно божественным (примеч. думаю, имеется в виду невозможным для простого смертного)’’.

Относительно машины Платона, решающей задачу об удвоении куба, существует две теории. Согласно одной из них Платон придумал механическое решение, чтобы показать, как легко разработать такие решения, но более распространенной теорией является то, что машина Платона была изобретена одним из его последователей в Академии.

Эратосфен играет важную роль в истории задачи, так как сама история ее стала известна благодаря ему, а также из-за его собственного вклада в ее решение. Он возвел в Александрии колонну, посвященную царю Птолемею с эпиграммой, связанной с его собственным механическим решением задачи об удвоении куба:

“Если ты, добрый друг, решишь получить из любого малого куба удвоенный куб и соответственно превращать любое твердое тело в другое, это в твоей власти; ты можешь этим методом найти меру загона для овец, ямы, широкого бассейна или узкого колодца, то есть, если ты таким образом проведешь между двумя линиями две средних со сходящимся концом. Не ищи трудностей с цилиндрами Архита, и не разрезай конус на триады Менехма, и не проводи таких изогнутых линий, как описывает богобоязненный Евдокс. Нет, ты мог бы на этом рисунке легко найти множество средних, начиная с малого основания. Блажен ты, Птолемей, в том, как отец, равный своему сыну в юности силой, ты дал ему все, что дорого музам и королям, и может быть, в будущем Зевс, бог неба, также вручит скипетр в руки твои. Так может быть, и пусть каждый, кто читает это предложение, скажет: “Это подарок Эратосфена из Кирены’’’’.

Так какую машину изобрел Эратосфен для решения этой задачи? Она состоит из двух параллельных линий с треугольниками между ними, как показано на верхнем рисунке. Здесь AE и DH – две длины, для которых требуется найти два средних пропорциональных. Теперь фиксируем первый треугольник AMF и позволяем треугольникам MNG и NQH скользить внутри рамки, ограниченной AX и EY. Будем поворачивать AX до тех пор, пока она не пройдет через точку D, но во время поворота точки B и C, в которых эта вращающаяся прямая пересекает NF и MG, продолжают оставаться на сторонах MG и NH двух треугольников, которые перемещаются влево, чтобы вся конфигурация оставалась возможной. Треугольники сдвигаются влево до тех пор, пока не получится нижний рисунок. На этом последнем рисунке BF и CG – два искомые средние пропорциональные между AE и DH.

Эратосфен указывает в цитате, приведенной выше, что его машина способна найти более двух средних пропорциональных. Если бы кому-то потребовалось “несметное число’’ средних пропорциональных, то нужно было бы положить такое количество подвижных треугольников в машину, и с помощью той же процедуры найти “несметное число’’ средних пропорциональных.

Другие решения задачи привели Филон и Герон, которые использовали одни и те же методы. По сути, их решение получается как пересечение круга и равнобочной гиперболы. Никомед, который сильно критиковал механическое решение Эратосфена, привел построение, в котором используется конхоида кривой, которую он также применял для решения задачи о трисекции угла. Подробная информация о построении приведена в книге T.L. Heath, A history of Greek mathematics I (Oxford, 1931). Диоклес также придумал специальную кривую, решающую задачу об удвоении куба, а именно циссоиду.

Хотя в попытках удвоить куб были придуманы эти столь различные методы и сделаны замечательные математические открытия, древние греки не нашли решения, которое они действительно искали, а именно того построения, которое можно произвести с помощью циркуля и линейки. Они не нашли такого построения, поскольку оно невозможно. Однако никаким способом древние греки не могли доказать такой результат, поскольку для этого требуются математические знания, далеко выходящие за рамки тех, что у них имелись. Было бы справедливо сказать, однако, что хотя они не могли доказать невозможность построения с помощью циркуля и линейки, но лучшие древнегреческие математики интуитивно знали, что это действительно невозможно.

Доказательство невозможности нужно было ждать до 19-го века. Окончательно его части были соединены воедино Пьером Ванцелем. В 1837 году Ванцель опубликовал доказательство в журнале Лиувилля:

“…посредством оценки, может ли быть решена геометрическая задача с помощью циркуля и линейки’’.

Гаусс заявил, что задачи об удвоения куба и трисекции угла не могут быть решены с помощью циркуля и линейки, но он не привел никаких доказательств этого. В работе 1837 г. Ванцель первый доказал этот результат. Позже доказательство улучшил Чарльз Штурм, но он это не опубликовал.

J.J. O’Connor, E.F. Robertson, Doubling the cube. Перевод статьи.

Комментариев: 35

  1. 1 vasil stryzhak:

    [Ответить]

    Alexandr Reply:

    Абсолютно верное, но какое-то витиеватое решение. Из чертежа непонятно, на чем оно базируется (откуда эта усложенность). Впрочем, пока это может оставаться секретом автора. Но результат правильный.

    [Ответить]

    Alexandr Reply:

    Пять разделить на три без остатка – такая же неразрешимая задача как и удвоение куба. Но ее решение слишко очевидно, чтобы его оспаривать. Поэтому его правильность не вызывает сомнений.
    Задача проста и наглядна потому, что ее решение выполняется с одним отрезком в одной плоскости.
    Решение же задачи по удвоению объемной фигуры не так легко себе представить. Поскольку оно должно выполняться в трех плоскостях с, как минимум, двенадцатью отрезками. Для этого нужно иметь хотя бы задатки воображения.
    Разумеется, для облегчения ее решения нормальный человек прибегнет к вычислениям. Тут-то его и подстерегает древняя ошибка возведенная Ванцелем в незыблемый научный постулат о неразрешимости задачи.
    У меня, может быть, могло бы хватить сил и способностей для сочинения научнообоснованного труда о невозможности стать Президентом, например, России. И если кто посчитал бы, что я допущу какие-то ошибки – ну пусть попробует им стать!
    Но Президент в России есть. И будет, очевидно. И дай ему бог еще.
    Ну кто бы мой опус, базирующийся на перечислении ошибок, и на промахах допускаемых при достижении обозначенной цели или при следовании в какую-нибудь другую сторону от нее, этот мой даже подтвержденный экспериментами и фактами труд, посчитал бы непререкаемой истиной? Только идиот какой-нибудь.
    В условии задачи об удвоении куба говорится определенно и однозначно, что ребро удвоенного куба должно быть найдено не с понощью алгебры или молекулярной физики, не с помощью истории религии или чтения священных мантр, а с помощью ЛИНЕЙКИ и ЦИРКУЛЯ!
    Пытаясь вычислить решение ГРАФИЧЕСКОЙ задачи на калькуляторе вы неизбежно уйдете в другую сторону от ее решения.
    Попробуйте разделить пять на три без остатка в числовом выражении. Вы только количество цифр после запятой устанете пересчитывать. А ее графическое решение не создает никаких трудностей в любых системах исчисления.
    Основополагающая проблема неразрешимости задачи по удвоению куба – построение отрезка равного кубическому корню из двойки – в графическом способе решения выносится далеко за скобки, если не устраняется вовсе, как шлейф цифр после запятой.
    Задача не теорема. Ей не требуются доказательства. Ей нужна будет проверка результата.
    Но и здесь привычно берутся “поверять алгеброй гармонию”.
    Ну как же убедиться, что задача решена верно не прибегая к привычному абсурду – пересчету неисчислимого?
    Только физическим опытом “на тело, погруженное в воду действует выталкивающая сила…” и никак по-другому. Про ОБЪЕМ задача ведь!
    Но это потребует материальных не затрат даже, а потерь!
    Ведь чтобы сделать кубик в два кубических сантиметра надо купить целую коробку пластилина! По пять-десять грамм он не продается – это раз.
    А два – потом при любом исходе опыта эта коробка ни для чего больше не понадобится! Выбрасывать? Может лучше сразу выбросить деньгами?
    Все равно же деньги на ветер.

    Поэтому, на мой взгляд, есть пара причин неразрешимости таких задачь. Первая, она же главная – инертность и вторая – леность ума.
    Как Ванцель вообще смог заставить все человечество поверить в то, что у любого определенного, завершенного, ограниченного круга площадь всегда будет только приблизительной?
    Это какое направление Логики? Даже не “от обратного”. От абсурдного, может быть? Для меня это так и остается загадочной загадкой.
    Куда там Христианской религии до его масштабов!
    Но чумы в Делосе не будет. Куб удваивается. Тривиальным способом. Дети, не подозревая о неразрешимости задачи, способны удвоить куб запросто, без рассуждений о бесконечностях. А взрослые уже не могут – их уговорили, что задача не имеет решения.

    [Ответить]

  2. 2 Alexandr:

    Так я и не придумал, на чем основано приведенное решение. Поэтому предлагаю к рассмотрению, анализу и проверке свое, сделанное позднее, но независимо от предыдущего.

    Оно основано на сплющивании куба до призмы с квадратным сечением и половиной высоты искомого куба и последующей достройкой второй его половины.
    Решение простейшее. Его способен найти ребенок при практическом подходе к этой задаче с кубиками из мягкой глины, пластилина, оконной замазки и др.
    Верхняя точка (В) диагонали (а) грани куба сместится при этом чуть выше середины грани. А точнее – будет выше точки G – точки конечного пересечения смещенной диагонали (а1) и средней линии – точка В1.
    Длина диагонали останется прежней, а ее верхняя точка придется на половину длины ребра искомого куба. Из точки В1 опустим перпендикуляр к нижней линии грани и получим целую длину ребра искомого куба, что можно сразу проверить:
    половина полученного ребра (вертикальная) укладывается на целой (горизонтальная) два раза. Т.е. длина полученного прямоугольника относится к ширине как 2/1, что соответствует половине квадрата или половине грани призмы.
    Если мы достроим вторую половину, то получим грань искомого куба вдвое больше данного.
    В раннем решении этой задачи очевидно нахождение тех же точек и отрезков на тех же местах. Только получены они каким-то иным способом.
    Если последовательно увеличить куб с данной гранью трижды – сначала вдвое, потом вчетверо, потом в восемь раз, то на грани в восемь раз большего куба грань изначально данного уложится четыре раза, что говорит о правильности решения и применимости его к кубу любого размера.

    Подчеркиваю, что приведенное здесь первым решение “Стрижака” сделано на месяц раньше моего.
    Не знаю, как оно получено, но его правильность подтверждается указанным мною способом.

    [Ответить]

  3. 4 Артем:

    Alexandr, приведенное Вами решение знаменитой Делосской задачи для меня оказалось занятным, в тоже время на первый взгляд очевидным, как и само доказательство верности метода. Попробуем вычислить величину ребра AC_1 построенного таким образом искомого куба. Ребро исходного куба AC = 1, АG = \sqrt{5}/2, его диагональ  AB = AB_1 = \sqrt{2}.Тогда согласно подобия треугольников GАС и B_1AC_1 имеем AC_1 = 2\sqrt{2}/\sqrt{5}, что не равно \sqrt[3]{2} – ребру удвоенного куба. Вычислим абсолютную погрешность способа \delta = 1,26491\ldots – 1,25992\ldots \approx +0,005. Следовательно, предлагаемое решение задачи приблизительное. Ошибка автора таится в неверном предположении, что при сплющивании исходного куба диагональ остается прежней.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Корень: \sqrt , а не \sgrt … Буквы в формулах должны быть латинские.

    [Ответить]

    Артем Reply:

    Спасибо!

    [Ответить]

    Alexandr Reply:

    У меня почему-то всегда получается так, что квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике всегда остается равным сумме квадратов катетов.
    С шестого класса, кажется.
    Тоже, наврное, погрешность какая-нибудь…
    И если уж факты не подтверждают теорию, то тем хуже для фактов!
    Первоначальный квадрат укладывается ЧЕТЫРЕ РАЗА на проверочном. Это не факт?
    Да, это не факт. Это мистификация.

    [Ответить]

    Alexandr Reply:

    Антон, извините за короткое и резкое, как выстрел в висок и туманное высказывание допущенное в Ваш адрес раньше.
    Просто сходу я вообще не понял, в чем дело. Вы провели анализ задачи, которую я не решал!
    Я не решал задачу про квадраты. Задача была про куб.
    У Вас, Антон, были блестящие учителя. Гордитесь ими.
    Это без подвохов.
    Вы – безупречный ученик. Как бы доходчивей объяснить, чем я руководствуюсь в этом своем суждении?
    Они Вас накрепко, как к кресту прикрутили к вере в непогрешимость Науки.
    Пример.
    Произведением двух троек будет девять. а раз произведением двойки и тройки будет не девять, а восемь, то суммой двух последних не может быть шесть.
    Если шесть все-таки получается, то это ошибка, неточность, обман и т.д.
    Я понятно объясняю?
    Подчеркиваю, что это не подвох, а обяснение на абстрактном примере.
    Вы следуете их учению настолько твердо, что даже видя наглядно, что “два” и “четыре” дают в сумме “шесть”, так же, как и две “тройки”, Вы уже инстинктивно стараетесь найти ошибку.
    Так, подивившись простоте и правильности моего решения, Вы, разумеется, стали искать где же она.
    Ничего не нашли. Но ошибка-то обязана быть! Иначе, что это за решение неразрешимой задачи?
    И тогда Вы ее придумали.
    У меня в решении заложено, что диагональ боковых граней не изменяется.
    Вы решили, что надо, чтобы они изменились. Вставили это суждение в анализ моей задачи, проанализировали свою же гипотезу и Ваша ошибка незаметно так стала ошибкой моего решения. После этого все устаканилось: Вы определили (высчитали) для себя свою же погрешность в построении прямоугольника, приобрели душевное равновесие и успокоились.
    Это не было Вашим намерением! Это не обвинение. Так должно было стать! Именно поэтому я заранее дал очевидный и безотказный способ проверки.
    Подчеркиваю: Ваши действия – не вина – это Ваше достоинство. Вы последовательны в суждениях, хотя и пристрастны.
    А характер Вашей ошибки таков, что если у квадрата увеличить и сместить диагональ, он станет прямоугольником и потеряет часть площади (3х3 не равно 2х4).
    Только в задаче рассматривается не квадрат, а куб.
    Разница в том, что у куба имеется объем. И если у грани куба будет смещаться и увеличиваться диагональ, как это было в плоском в квадрате, то он будет набирать площадь и стремиться к цилиндру. Т.е. получит форму боченка.
    Это, вероятно, Сопромат и, вероятно, здесь кроется ключ к решению квадратуры круга.
    Но не будем отвлекаться!
    Я подчеркнул в замечании, что сохранение длины диагонали грани куба не просчет, а расчет.
    Но это лишает решение привычной ошибки.
    Теперь Вы замерли и молчите.
    Садитель. Пять. Вашим учителям.
    А Вам – три. Как только подающему надежды на собственную точку зрения.
    Но пересдача возможна.
    Сделайте поправочку на предвзятость оценки и попробуйте еще раз. Увидели же Вы, что задача решена. А это уже вселяет надежду на правильность анализа.

    [Ответить]

    Андрей Reply:

    Уважаемый Артем, в анализ решения задачи об объемной фигуре (куб) Вы вставили анализ ошибки актуальной для решения некоей задачи о плоской фигуре (квадрат).
    “Куб и квадрат есть фигуры с полность одинаковыми свойствами” – это общепризнанное правило или Выше личное мнение?
    Правильность решения задачи, которое предложил Alexandr очевидна. А в Вашем анализе не столь очевидно влияние рассмотренной Вами “ошибки” на вторую группу диагоналей куба поскольку он, в отличие от квадрата, имеет внутренние диагонали, отличные от группы рассмотренных Вами внешних, но тоже участвующие в получении указанной производной. Они не учтены Вами при рассмотрении “ошибки”. Поэтому необходимо дополнительно определить ее актуальность и для этой категории отрезков либо исключить “ошибку”.
    Исследуйте этот вопрос. Уверен, у Вас будет шанс стать первооткрывателем второй отдельно взятой причины определяющей невозможность удвоения куба с помощью линейки и циркуля.

    [Ответить]

    Артем Reply:

    Андрей, я не намерен приводить доводы о возможности решения задачи удвоение куба какими либо инструментами. Для этого имеется достаточно много доступной литературы. Ни какая эмоциональная аргументация авторов не поможет им убедить окружающих в своей правоте. Лучше взять в руки калькулятор, если не найдено надлежащего и вразумительного доказательства.
    Вычисление погрешности приведено мною строго в соответствии с описанием, которое предоставил Alexandr, при этом именно ребра куба, а не квадрата как интерпретируете Вы. На моем рисунке изображена одна грань, так как объемная часть фигуры автором не задействована в построении.
    Возможно, анализ ранее приведенного мною вычисления, остался не совсем понятным. Подойдем к решению задачи с дрогой стороны. Исходный куб расплющен так, что высота его стала в два раза меньше увеличившихся ребер оснований, представляющих в плане квадрат. Определим длину диагонали боковой грани полученной таким образом призмы. Ребро удвоенного куба AC_1=\sqrt[3]{2}, высота призмы B_1C_1=\sqrt[3]{2}/2, тогда по теореме Пифагора диагональ AB_1=\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt{5}/2=1,40863\ldots. Диагональ грани исходного куба AB=\sqrt{2}=1,41421\ldots, что больше предыдущего значения. Следовательно, речь может идти о приближенном методе.

    [Ответить]

    Андрей Reply:

    Уважаемый Артем, Не стану упрекать Вас в скоропалительности выводов и неточности высказываний. Это – эмоции.
    Посчитаем, на сколько отрезок AB1 должен быть длиннее.
    Alexandr не меняет его длину. Значит в его построении отрезки AB и AB1 равны.
    Проверяем это утверждение.
    Согласно теореме Пифагора AB равен кадратному корню из 2 как сторона удвоенного квадрата.
    AB1 в степени 2 из чертежа построения, согласно той же теореме Пифагора, равен полутора кубическим корням из двойки возведенным в квадрат.
    Квадратный корень из 2 равен 1.41421356 – длина AB.
    Полтора кубических корня из двойки – 1.889881575. Следовательно Квадратный корень из этого числа – длина AB1.
    А отрезки AB и AB1 одинаковые по условию.
    Спасибо за Ваше участие в обсуждении решения и выявлении этого несоответствия при проверке от результата.

    [Ответить]

    Андрей Reply:

    Alexandr, Ваша ошибка в том, что Вы не привлекли внимания к нетривиальности Вашего решения. К тому, что Вы строите не ребро куба, как это делается традиционно, а занимаетесь построением прямоугольника с соотношением сторон 1/2 и площадью равной площади грани исходного куба.
    Ваш оппонент, невнимательно прочитав решение, не обратил внимания на эту особенность. Тщательно изучив только прилагаемый чертеж, который похож на поиск ребра, по инерции приписал стандартную ощибку обязательно возникающую при построении только одного ребра удвоенного куба Вам и счел задачу нерешенной.
    Мой совет: переформулируйте решение. Может быть, для особо внимательных людей имеет смысл поместить в его начало утверждение о том, что 6 единиц площади грани куба (6S) содержат единицу объема (V) и, следовательно, 12 единиц его же площади в кубической форме (12S) будут содержать ровно 2 единицы объема (2V).

    [Ответить]

    Alexandr Reply:

    Спасибо.

    [Ответить]

  4. 5 Alexandr:

    Кстати о трисекции угла (невозможной).
    Если возьмем произвольный угол XOY – я взял угол порядка 25-26 градусов – и на его лучах отметить две равноудаленные от вешины угла точки A и B, затем отложить длины полученного отрезка от этих точек один раз в направлении вершины укла, точки О, получив таким образом точки С и D и дважды в направлении от вершины угла, получив при этом точки E и F, то соединив попарно точки C и F, затем точки D и E мы получим с помощью только одной линейки и только одного, соответственно, циркуля возможную графическую модель “архимедовой линейки”, которую я, честно говоря, никогда не видел и не пытался ее повторить. Так уж получилось.
    При этом точки пересечения отрезков CF и DE с отрезком AB укажут точки трисекции угла XOY.
    Вероятно, что Архимед создал свою “линейку” на этом принципе. Т.е. задачу о трисекции угла он решил уже давно. Зная, что даже дураку пол-работы не показывают, он не опубликовал свой способ деления угла на три равные части, а предъявил только половину – результат. Ну и те, кому пол-работы не показывают, подивились этому и пришли к выводу, что с одной линейкой задачу эту не решить. Что на сегодня и имеется в определении задачи о трисекции угла…

    [Ответить]

  5. 6 Alexandr:

    [Ответить]

    Alexandr Reply:

    Надо же, не загрузить…

    [Ответить]

  6. 7 Alexandr:

    Елизавета Александровна Калинина, не будьте буквоедкой.
    Артем, я писал выше о том, что задача решается НЕ алгебраически. Т.е. без вычислений – линейкой, циркулем и, разумеется, карандашом. Вы когда-нибудь делили пятиметровую веревку на три равные части? Остаток был? Попробуйте калькулятором – будет.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы о корне? Без буквоедства символ не отображается, исправлять пришлось :-)

    [Ответить]

    Alexandr Reply:

    Тогда я извиняюсь перед Вами и извините еще за то, что пристроил “трисекцию” угла туда, где ей не совсем место. Вернее совсем не место. Только сегодня узнал, что на сайте есть специально отведенный под эту тему раздел.

    [Ответить]

  7. 8 Alexandr:

    Что имеется сегодня на сайте?
    Несколько публикаций точных и не очень РЕШЕНИЙ “неразрешимых” задач. И неопределенных, и конкретизированных. Правильный и обоснованный анализ ошибок, грамотный разбор полетов.
    Я выделяю слово “решений”, а не попыток решения. И не мистификаций, а р е ш е н и й.
    Задачи в большинстве случаев решены. Некоторые не одним способом, а разными. И решения правильные.
    Доказательства неправильности решений тоже неопровержимы, и “ошибки” есть во всех решениях. И их не обойти в том числе и в чертежах, визуально исключающих “камни преткновения”.
    При сравнении их с “ошибочными” решениями выявляются ключевые позиции расположения углов, точек, лучей, отрезков, что свижетельствует и об их “ошибочности” независимо от метода решения. Будь это построение инженерного (расчитанного) чертежа или намеренная подгонка под результат.

    Почему приблизительная площадь круга точная?
    Почему решение с очевидно точным результатом, всегда оказывается приблизительным?
    Несостыковка, “ошибка” заложена в условия задач.
    Обобщающая их особенность заключается в измерении результатов исходными величинами при условии несоизмерности заданного и найденного – сопоставление двух различных по абсолюту измерений.
    Это задачи с несопоставимым решением, а не “неразрешимые”.
    Они обязаны содержать в решении “погрешность” (точнейшее название!) измерений.
    При графической проверке решенной мною задачи удвоения куба, проверки подобного подобным стал очевиден парадокс: после троекратного повторения одной и той же “ошибки” контрольная фигура получается точной!
    И решения других задач явно указывают на то, что при переходе в другую систему измерений эти погрешности, неточности, ошибки, содержащиеся в первоначальных системах, теряют свойство погрешности: признанное пи эр квадрат.
    Гений математики Гаусс, Ванцель жили в расцвет крепостничества и рабства, Хотя и в позднее, но средневековье, на исходе отлова ведьм и колдунов. Во время продолжающегося искоренения свободомыслия и, тем более, инакомыслия.
    А тут на тебе – идеал достижим независимо от греховности! При переходе в идеальный мир грехи перестают быть грехами.
    Что Галилей ответил на поставленный ему вопрос?
    Что мог ответить Гаусс “науковеду в штатском”?
    Античность дала не один вариант решений.
    Что дало средневековье?
    Запрет рассмотрения ВСЕХ решений.
    Сегодня философия точной науки на средневековом уровне. Математика придерживается рамок, установленных с благословения СРЕДНЕВЕКОВОЙ Римской Католической Церкви.
    И сегодня не славят Херсифронов.
    Потому остыньте, господа.
    Премия все равно вам не угрожает.
    За пару тысячелетий до вашего рождения задачи уже решили. А премии давно раздали Гауссу, Ванцелю…
    Реальнее получить поощрение за открытие еще какой-нибудь неизвестной ошибки в решениях.
    Музыку заказывать будете не вы. А приведена в исполнение будет та музыка, которую оплатили. Будет ли это торжественный туш в вашу честь или похоронный марш – от вас зависит только это.
    В языках мира есть не только понятие “неразрешимый”, а еще и понятие “несопоставимый”. Но сегодня в названии группы задач с несопоставимым результатом слова этого нет.

    [Ответить]

  8. 9 vasil stryzhak:

    Площадь прямоугольника вычисляется умножением двух его сторон, в связи с чем, древние греки сравнительно легко с помощью циркуля и линейки решили задачу об удвоении квадрата. Объем куба определяется произведением трех его ребер. Если следовать логике по возрастающей зависимости, условие следующей задачи должно ставиться как утроение куба.
    Данное обоснование наталкивает на занимательную мысль. Бог возвестил через дельфийского оракула жителей острова Делос о необходимости увеличения алтаря, чтобы избавить их от вспышки чумы. Оракул при толковании послания сделал непоправимую ошибку. Золотой жертвенник в виде куба нужно было утроить, а не удвоить, как предположил он. Тогда островитяне разделили бы ребро куба в соответствии с золотой пропорций, взяли бы его большую часть и удлинили бы гипотенузу грани куба на эту величину. В результате жертвенник стал бы в три раза большим. Возможно Аполлон (бог Солнца) посчитал бы данное решение достойным и смиловался над делийцами, изгнал бы нашествие чумы.

    [Ответить]

    Андрей Reply:

    Дорогой vasil stryzhak, Ваше решение утроения куба, конечно, интересное и нетривиальное.
    Вероятно еще интереснее будет пятикратное или семикратное увеличение.
    Но я, скорее всего, пессимист. Боюсь, что никто этого не увидит и не оценит до тех пор, пока человечество не разберется в разнице между суммой двух кубических корней из единицы и кубическим корнем из двух.
    А пока оно верит в то, что это одно и то же число. И как свидетельствует история, может продолжать верить в это еще не одно тысячелетие. Так что пока Ваши изыскания бессмысленны.

    [Ответить]

    vasil stryzhak Reply:

    Уважаемый Андрей, выражаю признательность за особое мнение. Как оптимист надеюсь, что данная информация в электронном виде сохраниться в течении указанного Вами периода времени и потомки надлежаще оценят решение утроения куба.

    [Ответить]

    Андрей Reply:

    :)

    [Ответить]

  9. 10 Андрей:

    Несколько цифр в поддержку Alexandrа.
    Возьмем его куб со сторонами 3*3*3 для наглядности как в первоисточнике. V куба – 27.
    Диагональ его грани равна \sqrt{18}.
    Стороны прямоугольника с той же диагональю и соотношением 1/2 будут равны \sqrt{14,5} и \sqrt{3,5} или 3,80788655 и 1.87082869 в числовом выражении. Нули в ряду чисел после запятой позволяют округлить до 3,8 и 1,87.
    V такой призмы будет: 3,8*3,8*1,87=27,0028.
    Точнее стороны прямоугольника не вычислю – расплавится калькулятор на мониторе, но графически точка расположена на верном расстоянии. Погрешность не в построении – погрешность в вычислении корней.
    V+V=54.
    Никаких подтасовок, никаких фокусов кроме одного: \sqrt{54} никогда не будет равен двум корням из 27.
    Оспоримо?

    [Ответить]

  10. 11 Alexandr.Brykov:

    Андрей, спасибо за поддержку.
    Ваше математическое моделирование решения делает очевидным фокус с его проверкой. Но указали Вы мимо него. Не туда, где его на самом деле демонстрируют.
    Есть анекдот: Леонид Ильич принял французского посла за немецкого и имел с ним продолжительную беседу.
    Здесь то же. Исследователь, чтобы проверить величины грани исходного куба. берет прямоугольную грань производной от него призмы с квадратным сечением.
    Те же четыре угла, все по 90 градусов, стороны, хоть и попарно, но равны между собой, периметр почти такой же, а диагональ вообще та же самая. Чем он хуже исходного квадрата? И, кроме всего перечисленного, это очевидная половина куба, полученного в результате решения. Последнее вообще неоспоримо.
    Прямоугольник, как в анекдоте принимается за квадрат, тщательно исследуется, выясняется, что площадь прямоугольника ПОЧЕМУ-ТО меньше площади квадрата с тем же периметром и авторитетно объявляется, что размеры п р я м о у г о л ь н о й грани призмы, выбранной для исполнения обязанностей квадрата, не соответствуют размерам к в а д р а т н о й грани исходного куба.

    Спасибо всем за соучастие. Отдельное спасибо Артему за самоубийственную демонстрацию этого фокуса не к месту. Иначе, если бы к месту, да еще бы и умело, то можно было и поверить в эту “ошибку” как верили в нее другие. Угораздило же Вас…
    Извините, Артем, за выпады в Ваш адрес. Ну что поделаешь – не люблю высокомерия…
    Думаю, что ветку про “Великую задачу” (“Великую незадачу”) древности на этом можно закрывать, а задачу об удвоении куба признать не менее великой ошибкой математиков.
    Вместо этой “неразрешимой” задачи – свято место пусто не бывает – предлагаю другую действительно на мой взгляд неразрешимую.
    Привычно измерять квадрат квадратами. Можно при желании измерить ромб прямоугольниками, прямоугольник треугольниками и т.д.
    Измерьте круг окружностями. С помощью карандаша, линейки и циркуля. Т.е. очевидно и доступно для понимания каждого.

    Ну, а вдруг кто-нибудь…

    [Ответить]

  11. 12 Андрей:

    Модератору:
    простите за нетерпеливость. Обычно сообщения появлися очень скоро.
    Одно из повторяющихся сообщений по Вашему выбору можно удалить, если нужно.
    И еще раз простите.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ничего страшного, у меня просто сейчас очень мало времени. Одно сообщение удалила.

    [Ответить]

  12. 13 Alexandr.Brykov:

    Не собирался больше сюда заходить. но блуждая по интернету. набрел на зарубежный сайт, посвященный поиску ошибки в проверке решения задачи “Doubling cube”. Там, правда, идут обычным путем “наименьшего” сопротивления – строят абстрактные ребра абстрактных кубов различных кратностей увеличения.
    Я полагал уходя. что ошибка проверки решения выявлена достаточно наглядно. Но потом перечитал и заметил. что другой формулы проверки я не дал и если ее даст кто-то другой. то русские по традиции. как это было с паровозом. радио и водкой будут доказывать свое первенство в ее обнаружении.
    Намереваюсь избежать комментариев. чтоб не растекаться мыслию… Хотя они могут оказаться интересными сами по себе. Но постараюсь держаться сути. Если возникнут вопросы, уточнения, другие непонятности – пишите.
    Боюсь. не имея практики написания веб-страниц, писать скриптами – туману напущу – лучше просто размещу картинку со знаками корня. Понятней будет.
    На первом месте – традиционная формула на которой базруются все существующие сегодня проверочные работы удвоения куба. Принятие этой формулы как данности и остановило рассмотрение всех решений задачи и правильных и неправильных. Абсурдная формула. но выглядит убедительно. Ведь два деленное пополам обязано давать в результате единицу. А тут не получается.
    Это несоответствие породило философские воззрения и мистические толкования. мифы и легенды. Действительно. чтобы уравнять обе части формулы нужно. как минимум. иметь способность управлять природой. Богом надо быть или равным ему чтобы поделив удвоенный куб пополам одним махом получить два единичных объекта в форме куба.
    Но Богом стать никому не суждено. Поскольку проверка правильности решения делается по другой формуле. Это формула Nо 2.
    Но выглядит она, мягко говоря, странно. Зачем делить на два сумму двух единиц?
    Это основополагающая формула для суммарного объема. А формула половины удвоенного куба Nо 3.

    [Ответить]

  13. 14 Владимир:

    Уважаемые господа математики, объясните пожалуйста, является ли число Пи железо-
    бетонной константой нашей земной математики? или это тоже одна из приблизительных цыфирей которая никогда не даст нам точного ответа на поставленную задачу с её применением. Пример
    Pi D = Длина окружности но если взять D=1 а Pi=3,1415 то получим длину равную = 3,1415 далее
    если берём 3,1415926 то длина будет 3,1414926 далее берём 3,1415926535897932384626433832795 естественно и результат будет очевидно такой же. А теперь посмотрим результаты. 3,1415926535897932384626433832795/ 3,1414926=1,0000000170581612773287801172181 и какое Пи является константой??? Первое второе или третье а может быть и ни то и ни другое а неизвестно какое потому что последнего знака нам никогда не видать как своих ушей. Так почему квадратура круга является нерешаемой задачей а нахождение длины окружности – решаемой? При помощи циркуля и линейки очень легко найти половину числа Пи произведя несколько действий и в зависимости от их количества получаем ту или иную точность которая может быть и 32 знака как в калькуляторе который встроен в программу системы, может иметь 1000 верных знаков после запятой а может и все которые известны на сегодняшний день. Почему же квадратура считается нерешаемой???????????

    [Ответить]

  14. 15 Андрей:

    Если куб разрезать на шесть пирамид через золотое сечение куба и сложить основаниями пирамид вовнутрь куба то объем куба увеличится в двое.

    [Ответить]

    Alexandr Reply:

    Андрей, может быть Вы правы. Но шесть единиц объема останутся теми же шестью единицами как их не перемещай. Контур куба, может быть, изменится. Можете уточнить?

    [Ответить]

  15. 16 Alexandr.Brykov:

    Задача

    Строим куб вдвое меньший по объему.
    Для этого ребро исходного куба [CE] с V=1 делим пополам и получаем точку D.
    Соединив эту точку с вершиной угла BAE, получим прямоугольный треуголник ADE S которого равна половине произведения кубического корня из единикы (катет AE) на половину корня из единицы (катет DE).
    [AE] = кубический корень из 1 = 1;
    [DE] = 1/2 кубического корня из 1 = 0,5;
    половина их произведения 1 x 0,5 : 2 = 0,25, что составляет 1/4 площади грани исходного куба.
    Мы знаем, как простыми способами на отрезке равном гипотенузе треугольника AD построить равнобедренный прямоугольный треугольник AFD. Что и сделаем, построив два перпендикуляра к концам отрезка и поделив получившиеся углы пополам. Таким образом найдем точку F.
    S треугольника AFD по-прежнему равна 1/4 S грани исходного куба поскольку квадрат той же самой гипотенузы остается равен сумме квадратов катетов как в первом треугольнике, так и во втором.
    Достроим из полученного треугольника квадрат, площадь которого вдвое меньше площади грани исходного куба.
    Все просто, все очевидно, все логично. Неоспоримо.
    Те же действия, проделанные в обратной последовательности с противоположным результатом (увеличение объема куба вдвое) должны содержать ошибку.
    Определте, какое из них в прямой последовательности подчиняется правилам математики, а в обратной нет и почему.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение