Распечатать запись Распечатать запись

Квадратура круга

Известны три классические задачи греческой математики, которые оказали огромное влияние на развитии геометрии. Это задачи о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла. Хотя они тесно связаны, мы решили рассмотреть их в отдельных статьях. Данная статья посвящена самой известной из этих задач, а именно задаче о квадратуре круга.

Эта задача очаровывает тем, что интерес к ней сохранялся на протяжении всей истории математики. Начиная от старых известных работ по математике и до работ современных, она и связанные с ней задачи, имеющие отношение к \pi, интересовали как профессиональных математиков, так и любителей.

Одна из старейших сохранившихся математических работ – папирус Райнда, названный в честь шотландского египтолога Генри Райнда, который приобрел его в Луксоре в 1858 году. Он составляет около 6 метров в длину и 1/3 метра в ширину и был написан около 1650 г. до н.э. писцом Ахмесом, который скопировал документ, бывший на 200 лет старше. Это дает возможность датировать оригинальный папирус примерно 1850 г. до н.э., но некоторые эксперты считают, что папирус Райнда основан на работе, восходящей к 3400 г. до нашей эры.

В папирусе Райнда Ахмес приводит правило для построения квадрата, площадь которого приблизительно равна площади круга. Нужно вырезать 1/9 диаметра круга и построить квадрат на оставшейся его части. Хотя это не совсем геометрическое построение, оно показывает, что задача построения квадрата с площадью, равной площади круга, восходит к началам математики. Это довольно хорошее приближение, соответствующее значению \pi=3,1605, а не 3,14159.

Задача о квадратуре круга в той форме, которую она имеет сегодня, возникла в греческой математике, и ее не всегда правильно понимали. Задача состоит в том, чтобы для данного круга построить геометрическими методами квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Методы, которые было разрешено использовать при таком построении, были не совсем ясны. В действительности спектр методов, используемых в геометрии греков, был расширен вследствие попыток решения этой и других классических задач. Папп, в своей работе “Математическое собрание’’, написанной в конце периода развития геометрии греками, различает три типа методов, используемых древними греками:

“Мы говорим, что в геометрии есть три вида задач, это так называемые “плоские’’, “телесные’’ и “линейные’’ задачи. Те задачи, которые могут быть решены с помощью прямой линии и окружности, называются “плоскими’’, поскольку линии, с помощью которых такие задачи решаются, плоские. Те задачи, которые решаются с использованием одного или нескольких конических сечений, называются “телесными’’ задачами. Для их решения необходимо использовать поверхности геометрических тел, то есть конусов. Остаются задачи третьего типа, так называемые “криволинейные’’ задачи. Для построения в этих случаях требуются другие кривые, отличные от уже упомянутых, имеющие более разнообразное и динамическое происхождение и возникающие из более неправильных поверхностей и сложных движений.”

Сегодня мы обычно считаем задачу о квадратуре круга задачей, которую нужно решать с помощью циркуля и линейки. Это действительно вопрос, является ли данная задача “плоской’’ в терминологии Паппа, приведенной выше (мы часто будем говорить о “плоском решении’’, а не пользоваться более громоздким выражением “решение с помощью циркуля и линейки’’). Древние греки, однако, не ограничивают себя попытками найти плоское решение (которое, как мы теперь знаем, невозможно), но развивают большое количество разнообразных методов, использующих различные кривые, изобретенных специально для этой цели, или придумывают построения, основанные на некоторых механических методах.

Первым математиком, о котором известно, что он пытался квадрировать круг, является Анаксагор. Плутарх в своей работе “Об изгнании’’, которая была написана в первом веке нашей эры, говорит:

“Не существует места, которое может лишить человека счастья, добродетели или мудрости. Анаксагор в действительности писал о квадратуре круга, находясь в тюрьме’’.

Вскоре после этого задача должна стать весьма популярной, и не только среди небольшого числа математиков, но довольно широко, так как на нее ссылается Аристофан в пьесе “Птицы’’, написанной примерно в 414 г. до нашей эры. Два персонажа беседуют, Метон – землемер:

Метон: “Я предлагаю обмер воздуха для вас: разметка должна быть сделана в акрах’’.

Писфетер: “Господи, кем Вы себя возомнили?’’

Метон: “Кто я? Ну, Метон. Метон. Известный во всем греческом мире. Вы, наверное, слышали о моих гидравлических часах в Колоне?’’

Писфетер (разглядывая инструменты Метона): “А это зачем?’’

Метон: “Ах! Это мои специальные стержни для измерения воздуха. Понимаете, воздух имеет форму – как бы это сказать? – как своего рода гаситель: итак, все, что нужно сделать – приложить этот гибкий стержень к верхнему концу, взять циркуль, поставить точку здесь, и – Вы понимаете, что я имею в виду?’’

Писфетер: “Нет’’.

Метон: “Ну, я сейчас применяю прямой стержень – так – таким образом квадрирую круг, и вот что получается. В центре у вас рынок: прямые улицы, ведущие к нему, отсюда, отсюда, отсюда. В точности по тому же принципу, что и лучи звезды, в самом деле, звезда сама круглая, но ее прямые лучи расходятся во всех направлениях’’.

Писфетер: “Блестяще, человек – Фалес.’’

С этого времени начали использовать выражение “квадрирование круга’’, и оно применялось для обозначения невозможного. Действительно, греки придумали специальное слово, означающее “заниматься квадратурой’’. Для того чтобы квадратура круга проникла в популярную пьесу и вошла таким образом в греческий словарь, между работой Анаксагора и написанием пьесы должно было произойти много всего. В самом деле, мы знаем, что в течение этого времени многие математики работали над этой задачей: Энопид, Антифон, Брисон, Гиппократ, и Гиппий.

Энопид, как полагает Хит, был человеком, который искал плоские решения геометрических задач. Прокл приписывает Энопиду две теоремы, а именно: способ построения перпендикуляра к данной прямой из точки, не лежащей на ней, и построение прямой, проходящей через данную точку на прямой, под заданным углом к данной прямой. Хит считает, что значением этих элементарных результатов было то, что Энопид в первый раз привел “плоское’’ построение, или построение с помощью циркуля и линейки. Хит пишет:

“…[Энопид], возможно, был первым, кто наложил ограничение на применяемые при построениях инструменты – циркуль и линейку – которые стали каноническими в греческой геометрии для всех плоских построений…’’

Не существует никаких записей о каких-либо попытках Энопида квадрировать круг плоскими методами. На самом деле, факт весьма примечательный: греки не дали ошибочных “доказательств’’ того, что круг может быть квадрирован с помощью циркуля и линейки. Немногие претензии относительно таких ложных доказательств исходят, кажется, от менее способных математиков, которые не понимали точно, что показывали некоторые из наиболее блестящих работ, касающихся данной задачи. К сожалению, позже математики не следовали хорошим примерам, показанным древними греками, и действительно, многие неправильно утверждали, что обнаружили построение с помощью циркуля и линейки. Математики-любители, которых весьма привлекают классические задачи, привели (и все еще продолжают приводить) тысячи ложных доказательств.

Антифон и Брисон оба занимались квадратурой круга и привели рассуждения, которые сыграли важную роль в будущем развитии математики. Антифон вписал в круг квадрат, затем правильный восьмиугольник, потом шестнадцатиугольник, и продолжал процесс, удваивая число сторон. Похоже, Брисон улучшил рассуждение Антифона, что позволило не только вписывать многоугольники в окружность, но и строить описанные многоугольники. Фемистий пишет:

“…Брисон признавал, что круг должен быть больше всех вписанных, и меньше всех описанных многоугольников’’.

Гиппократ был первым, кто действительно использовал плоское построение для нахождения фигуры с площадью, равной площади фигуры со сторонами – дугами окружностей. Он квадрировал двуугольники определенного вида, а также объединение двуугольника и круга. Однако он не показал, что каждый двуугольник может быть квадрирован. В частности двуугольник, который он квадрировал плоским построением квадрата, площадь которого равна площади некоторого двуугольника и круга, был одним из тех, которые он не мог квадрировать плоскими методами. Конечно, этот двуугольник не может быть квадрирован, иначе Гиппократ квадрировал бы круг. Хотя некоторые, например, Аристотель, казалось, не поняли логику рассуждений Гиппократа. Без сомнения, Гиппократ прекрасно осознавал, что его методами квадрировать круг не удастся.

КвадратрисаГиппий и Динострат ассоциируются с методом квадратуры круга с использованием квадратрисы. Видимо, саму кривую придумал Гиппий, в то время как Динострат, кажется, применил ее к задаче о квадратуре круга. Построение этой кривой с чертежами приведено в биографии Гиппия. Эта кривая, безусловно, решает задачу о квадратуре круга, но, как писал Гиппий, кривая строится с помощью механических средств. Она задается равномерным движением прямой в течение времени, равного времени вращения радиуса окружности. Построение справедливо критиковали, поскольку оно требует знания отношение длин отрезка и дуги окружности, так что предполагается известным свойство, в первую очередь необходимое для квадрирования круга. Ясно, что Динострат никогда не утверждал, что квадратриса дает плоский метод квадрирования круга. Никомед много лет спустя также использует квадратрису, чтобы квадрировать круг.

Аристотель, кажется, не ценит вклад тех, кто пытался квадрировать круг. Он пишет в своей работе “Физика’’:

“Показательно для любой науки не то, как она решает всякого рода трудности, которые могут возникнуть, но только те, что возникают через ложные выводы из принципов науки: о других не нужно заботиться. Например, дело геометра выразить квадратуру с помощью отрезков, но не дело геометра опровергать аргументы Антифона’’.

В этой цитате “квадратура с помощью отрезков’’ относится к квадратуре двуугольников Гиппократа, о которой Аристотель ошибочно думает, что она была задумана как доказательство того квадрируемости круга плоскими методами. Методы Антифона подверглись еще большей критике со стороны Аристотеля, но все верили Антифону, методы которого содержали важные идеи, в конечном итоге приведшие к интегрированию. Аристотель также пишет похожими словами в работе “Об опровержении софистических документов’’ снова, вероятно, неправильно истолковывая то, что пытались показать Антифон и Брисон:

“Метод, которым Брисон пытался квадрировать круг, если бы когда-нибудь можно было это сделать таким образом, еще и софистический в связи с тем, что он не имеет отношения к делу. …Квадратура круга с помощью двуугольников бесспорна, а квадратура Брисона является спорной. Рассуждения, которые используются в первой, не могут быть применены к какому-либо предмету кроме геометрии, в то время как доказательства Брисона направлены на массы людей, которые не знают, что возможно и что невозможно в каждой области, поэтому они подойдут всему. То же самое верно для квадратуры Антифона’’.

Теперь мы должны рассмотреть, какой вклад внес Архимед в задачу о квадратуре круга. Архимед известен своей спиралью, но почему он ввел эту кривую? Авторы работы (J. Delattre and R. Bkouche, Why ruler and compass?, in History of Mathematics: History of Problems (Paris, 1997), 89-113) предложили три причины:

“Было ли это сделано из чисто геометрических соображений, поскольку он изучал эту кривую для вычисления \pi и квадратуры круга? Было ли это связано с его интересом к астрономии и попытками вычислить геометрически спиральные движения планет? Или это, наконец, проистекает от интереса механика к кривой, которая возникает в результате сочетания двух равномерных движений – по прямой и по окружности? Очевидно, эти три причины существовали одновременно…’’

Архимед дает следующее определение спирали в его работе “О спиралях’’:

“Если прямая, проведенная на плоскости, равномерно вращается вокруг неподвижной конечности до возвращения в свое первоначальное положение, и если в то время как прямая вращается, по ней равномерно движется точка, начиная с фиксированной конечности, то эта точка на плоскости будет описывать спираль’’.

Архимед приводит следующее построение для квадрирования круга. Пусть P – точка спирали, когда прямая завершила один оборот. Пусть касательная в точке P пересекает прямую, перпендикулярную OP, в точке T. Тогда в предложении 19 в работе “О спиралях’’ Архимед доказывает, что OT – длина окружности с радиусом OP. Теперь может быть непонятно, что это дает решение задачи о квадратуре круга, но Архимеда в первом утверждении в “Измерении окружности’’ уже показал, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, катеты которого равны радиусу окружности и ее длине. Итак, площадь круга с радиусом OP равна площади треугольника OPT.

И Аполлоний, и Карп для квадрирования круга использовали кривые, но точно непонятно, что это были за кривые. Использованную Аполлонием кривую Ямвлих назвал “сестрой конхоиды’’, и это привело к различным догадкам относительно того, какая это может быть кривая. Кривая, которая используется Карпом Антиохийским, называется “кривой двойного движения’’ и, по утверждению Поля Таннери, является циклоидой.

Теперь мы оставим древнегреческий период и посмотрим на последние события, но мы должны сразу сказать, что греки, конечно, были не единственными из тех, кто в то время интересовался квадратурой круга. Индийские математики также решали эту задачу, а китайский математик Лю Сяо из династии Хань известен как один из тех, кто пытался квадрировать круг около 25 г. нашей эры.

Немного позже арабские математики, как и греки, увлеклись решением этой задачи. Так, аль-Хайтам написал работу о квадратуре круга. Теперь уже аль-Хайтам поставил цель убедить людей, что можно квадрировать круг с помощью построения в плоскости, но так как его обещанный трактат на эту тему никогда не появился, он должен был, по крайней мере, понять, что не может решить эту задачу.

Вскоре после работы аль-Хайтама Франко из Льежа в 1050 году написал трактат “De quadratura circuli’’ о квадрировании круга. В нем Франко рассматривает три более ранних метода, основанных на предположении, что \pi равно 25/8, 49/16 или 4. Франко заключает (достаточно обоснованно), что методы неверны, и приводит свое построение, которое основано на предположении, что \pi=22/7. Хотя эта работа представляет большой исторический интерес, она показывает, насколько отставали в то время европейские математики от древних греков по глубине понимания геометрии.

В 1450 году Николай Кузанский пытался доказать, что круг может быть квадрирован плоским построением. Хотя его метод усреднения определенных вписанных и описанных многоугольников совершенно ошибочный, это одна из первых серьезных попыток решить данную задачу в “современной’’ Европе. Снова стоит отметить, что древние греки в основном знали, что круг не может быть квадрирован плоскими методами, хотя у них не было никаких шансов доказать это. Региомонтан, придавший новый импульс европейской математике, быстро указал на ошибки в рассуждениях Николая Кузанского.

К механическим методам греков, безусловно, обратился Леонардо, который воспринимал математику с точки зрения механики. Он разработал несколько новых механических методов квадрирования круга. Многие математики шестнадцатого века занимались этой задачей, в их числе Оронс Фине и Джамбаттиста делла Порта. То, что “доказательство’’ Фине неверно, показал Педро Нуньес вскоре после его появления. Возникновение дифференциального и интегрального исчисления привело к увеличению интереса к квадратуре круга, но новая эра математики по-прежнему принесла ошибочные “доказательства’’ плоских методов квадрирования круга. Одно из таких ложных доказательств, приведенное Сен-Винсентом в книге, изданной в 1647 году, было основано на ранних методах интегрирования. Задача по-прежнему оказывала большое влияние на развитие математики.

Джеймс Грегори глубоко изучил бесконечные последовательности и сходимость. Он применил эти идеи к последовательности площадей вписанных в окружность и описанных около нее многоугольников и пытался использовать этот метод для доказательства, что не существует плоского построения, решающего задачу о квадратуре круга. В его доказательстве существенна попытка доказать, что \pi трансцендентное число, то есть не является корнем полинома с рациональными коэффициентами. Хотя он был прав в том, что пытался доказать, его доказательство, конечно, неверное. Однако, другие, в частности, Гюйгенс, считали, что \pi – алгебраическое число, то есть корень полинома с рациональными коэффициентами.

Все еще оставался интерес к получению методов квадрирования круга, которые не были бы плоскими. Например, Иоганн Бернулли придумал метод квадрирования круга через эвольвенты, и этот метод подробно описан в J.E. Hofmann, Johann Bernoullis Kreisrektifikation durch Evolventenbildung, Centaurus 29 (2) (1986), 89-99.

Историк математики Монтюкла выбрал квадратуру круга темой своей первой исторической работы, опубликованной в 1754 г. Она была написана задолго до того, как задача была решена, поэтому является очень устаревшей. Тем не менее, это классическая работа, и ее стоит прочитать.

Важным шагом вперед в доказательстве того, что круг не может быть квадрирован с помощью циркуля и линейки, стало доказательство иррациональности \pi Ламбертом в 1761 году. Этого было недостаточно, чтобы доказать невозможность квадрирования круга с помощью циркуля и линейки, так как некоторые алгебраические числа могут быть построены с использованием циркуля и линейки. Это привело только к большему потоку любительских решений задачи о квадратуре круга, и в 1775 году Парижская Академия наук приняла резолюцию о том, что больше ни одна попытка решения этой задачи, представленная в нее, не будет рассмотрена. Несколько лет спустя Лондонское королевское общество также запретило рассмотрение любых дальнейших “доказательств’’ квадратуры круга, так как большое число математиков-любителей пытались добиться славы, представив решение обществу. Это решение королевского общества было описано де Морганом около 100 лет спустя как официальной удар по квадрирователям круга.

Задача продолжала оставаться популярной, и есть много забавных историй на эту тему, рассказанных де Морганом в книге “Кладезь парадоксов’’, которая была отредактирована и издана его женой в 1872 году, через год после его смерти. Де Морган предполагает, что святой Витт был покровителем квадрирователей круга. Это ссылка на пляску святого Витта, дикую пляску с прыжками, в которой люди визжали и кричали, и которая приводила к своего рода массовой истерии. Де Морган также предложил термин “morbus cyclometricus’’, т.е. “болезнь измерения окружности’’. Очевидно де Морган попытался убедить этих квадрирователей круга в том, что их методы неверны, но многие упорно сохраняли свою точку зрения, несмотря на все усилия профессиональных математиков. Например, некоторый г-н Джеймс Смит написал несколько книг, пытаясь доказать, что \pi=25/8. Конечно, мистер Смит смог вывести из этого, что круг может быть квадрирован, но ни Гамильтон, ни де Морган, ни другие не смогли убедить его в том, что он ошибался.

Окончательный ответ на вопрос, может ли круг быть квадрирован с использованием циркуля и линейки, был получен в 1880 году, когда Линдеманн доказал, что число \pi трансцендентное, то есть что оно не является корнем никакого полинома с рациональными коэффициентами. Трансцендентность \pi окончательно доказывает, что не существует построения с помощью циркуля и линейки, дающего решение задачи о квадрировании круга.

Казалось бы, на этом интерес к задаче о квадратуре круга должен был бы иссякнуть, но это не тот случай. Это не остановило поток публикаций, в которых утверждалось, что \pi имеет некоторое простое рациональное значение, и не остановило поток публикаций совершенно правильных построений квадратов, примерно равных по площади кругу, с помощью циркуля и линейки. В качестве примера первого типа приведем следующий. В 1892 году газета New York Tribune опубликовала письмо, автор которого утверждал, что переоткрыл секрет, восходящий к Никомеду, который доказал, что \pi = 3,2. Возможно, еще более удивительным является тот факт, что многие были совершенно убеждены в правоте автора письма и твердо верили после этого, что \pi = 3,2.

Среди правильных приближенных построений квадрата, равного по площади кругу, одно принадлежит Хобсону (1913 г.). Это довольно точное построение, которое основано на построении приближенного значения для \pi, равного 3.14164079… вместо 3.14159265…. Более примечательно, однако, было построение с помощью циркуля и линейки, опубликованное Рамануджаном. В журнале Индийского математического общества в 1913 году в работе под названием “Квадрирование круга’’ Рамануджан привел построение, которое было эквивалентно заданию приближенного значения для \pi, равного 355/113, отличающегося от точного значения \pi только в седьмом знаке после запятой. Работа заканчивается следующим образом:

“Примечание. Если площадь круга будет 140000 квадратных миль, то [сторона квадрата] больше истинной длины примерно на дюйм’’.

Среди других построений найденных Рамануджаном в 1914 г. (Approximate geometrical constructions for \pi, Quarterly Journal of Mathematics XLV (1914), 350-374) было построение с помощью циркуля и линейки, которое эквивалентно странному замечательному приближенному значению \pi, равному \displaystyle\left( 9^2+\frac{19^2}{22}\right)^{1/4}. Это 3,1415926525826461253…, что отличается от \pi только в девятом знаке после запятой (\pi = 3,1415926535897932385…). Для окружности диаметром 8000 миль, ошибка в длине стороны построенного квадрата составляет лишь часть дюйма.

Перевод статьи J. J. O’Connor and E. F. Robertson, Squaring the circle.

Комментариев: 44

  1. 1 Сергей Дениченко:

    КВАДРАТУРА КРУГА

    «Квадратура круга», как я это понимаю – философия, затрагивающая историческую тему, выполненная на математическом материале. Решением Квадратуры круга показано, что нет неразрешимых проблем, а следовательно, не нужно рубить (Гордиев) узел, все решается мирным путем, в том числе и международные конфликты, и проблема с терроризмом.

    Решение Квадратуры круга – не открытие чего то нового, я не решил задачу, а показал, как она могла решаться в древности. Это переворачивает сознание человека, в восприятии себя умнее, своих предков. Рушится канон:- «Не учите меня жить, я самый умный.» Человечество должно задуматься:- « А так ли я живу? Куда катится цивилизация?»
    Иначе, пустая трата времени на разработку темы по переселению человечества на другие планеты. Прежде чем потухнет Солнце, человек погубит себя на нашей грешной Земле, не успев нагрешить на чужой планете.

    “Квадратура круга” – синоним проблемы не имеющей решения. А может нужно изменить подход к стоящей перед Вами задачи. Так “Квадратура круга” – необходимо с помощью циркуля и односторонней линейки (рейки), построить квадрат равновеликий по площади заданному кругу. А если изменить подход к решению. Ход решения: “Равновеликость квадрата и шестеренки” – “Кругатура квадрата” (в этом нет поиска трансцендентного числа Pi) А далее решение “Кругатуры квадрата” позволяет выразить геометрически сторону квадрата равновеликого по площади заданному кругу (решить “Квадратуру круга”) и выразить длину окружности прямым отрезком. Во всяком случае числа 1,7724538968686925718887244115238… и 3,1415928165250138836954861078059… не трансцендентны.
    Кому интересна данная тема, можно познакомиться с решением на сайте по адресу:

    http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/9971.html

    http://www.sciteclibrary.ru/eng/catalog/pages/9972.htm

    [Ответить]

  2. 2 Анатолий:

    РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КВАДРАТУРЕ КРУГА

    Задача о КВАДРАТУРЕ КРУГА: построить при помощи циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга.

    РОСТОВЩИКОВ АНАТОЛИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ 3604 364780
    Необходимость в построении обусловлена невозможностью высокоточного расчёта площади круга и длины окружности без привязки к параметрам соразмерного квадрата.
    Квадрат – единственная геометрическая фигура, площадь и периметр которой вычисляются минимальным количеством арифметических действий при абсолютной точности результата.
    Таким образом, финалом решения задачи становится не столько само построение квадрата, (ради квадрата), сколько вычисление площади круга и длины окружности с максимальной точностью по отношению к квадрату.
    Результаты расчётов названных параметров традиционным способом выражаются с погрешностью, заложенной в число Pi, т.к. значение этого показателя обусловлено вычислением сторон и площадей бесконечного множества треугольников.
    Точность результатов вычисления площади круга и длины окружности в приведённых ниже расчётах не превышает погрешность результата при извлечении квадратного корня. Более высокая точность расчёта невозможна, как невозможно ещё точнее вычислить параметры самого квадрата.

    A A’ B

    E’ O B’

    E C’ C

    ПРИМЕЧАНИЕ:
    Некоторые значения, определения и ссылки в соответствии с законами математических и геометрических пропорций представлены без комментариев.

    ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ:
    D – диаметр окружности, (Для удобства восприятия вычислений принято значение D = 7)
    R – радиус окружности
    S – площадь круга, S = Sвк + 4Sс
    L – длина окружности
    O – центр окружности
    Sок – площадь Описанного Квадрата ABCE, Sок = D2
    Pок – периметр Описанного Квадрата ABCE, Pок = 4D
    Sвк – площадь Вписанного Квадрата A’B'C’E', Sвк = Sок / 2 = D2 / 2
    Sс – площадь одного Сегмента
    Nок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (Nок/с = Sок / Sс = 14)
    КК – Квадратура Круга

    ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ПРОВЕРОЧНОМ ВАРИАНТЕ:
    N’ок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (N’ок/с = 14,1)
    N”ок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (N”ок/с = 13,9)
    S’с – площадь одного Сегмента; (при N’ок/с = 14,1)
    S”с – площадь одного Сегмента; (при N”ок/с = 13,9)
    S’- площадь круга; (при N’ок/с = 14,1)
    S”- площадь круга; (при N”ок/с = 13,9)
    РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ:
    Посредством дискретного замещения значений соотношения Sок и Sс установлено:
    (1) Nок/с = Sок / Sс = 14, const

    ПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА:
    (2) Sс = Sок / 14
    (3) Sс = Sвк / 7
    (4) Sс = D2 / 14 = 49 / 14 = 3,5

    ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ:
    (5) 4Sс = 4D2 / 14 = 196 / 14 = 14

    ПЛОЩАДЬ КРУГА:
    (6) S = Sвк + 4Sс = 24,5 + 14 = 38,5
    (7) S = (D2 / 2) + (4D2 / 14)
    (8) S = 11D2 / 14 = 539 / 14 = 38,5

    ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ:
    (9) Sок / S = Pок / L
    (10) L = SPок / Sок
    (11) L = (11D2 / 14) (4D) / (D2)
    (12) L = 22D / 7

    ПРОВЕРКА

    Вариант 1: N’ок/с = Sок / S’с = 14,1 Вариант 2: N”ок/с = Sок / S”с = 13,9

    ПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА: ПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА:
    S’с = Sок / 14,1 = 49 / 14,1 = 3,475… S”с = Sок / 13,9 = 49 / 13,9 = 3,525…

    ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ: ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ:
    4S’с = 4D2 / 14,1 = 196 / 14,1 = 13,9 4S”с = 4D2 / 13,9 = 196 / 13,9 = 14,1

    ПЛОЩАДЬ КРУГА: ПЛОЩАДЬ КРУГА:
    S’= Sвк + 4S’с = 24,5 + 13,9 = 38,4 S”= Sвк + 4S”с = 24,5 + 14,1 = 38,6

    ПЛОЩАДЬ КРУГА, (S’кк) ПО ФОРМУЛЕ (8): ПЛОЩАДЬ КРУГА, (S”кк) ПО ФОРМУЛЕ (8):
    S’кк = 11D2 / 14,1 = 539 / 14,1 = 38,227 S”кк = 11D2 / 13,9 = 539 / 13,9 = 38,777

    РЕЗЮМЕ: РЕЗЮМЕ:
    S’≠ S’кк , (38,475 ≠ 38,227) S”≠ S”кк , (38,525 ≠ 38,777 )

    СЛЕДОВАТЕЛЬНО:
    (1) Nок/с = Sок / Sс = 14, const
    (8) S = 11D2 / 14

    СРАВНИТЕЛЬНЫЕ РАСЧЁТЫ:
    В таблице приведены сравнительные результаты вычислений S и L, с произвольно выбранными значениями D по приведённой технологии, (КК) и с применением числа Pi, (Pi):

    D S L
    KK Pi KK Pi
    5,0 19,6428571428571 19,6349540849312 15,7142857142857 15,707963267945
    6,0 28,2857142857142 28,274333882301 18,8571428571428 18,849555921534
    7,0 38,5 38,4845100064652 22,0 21,991148575123
    8,0 50,2857142857142 50,265482457424 25,142857142857 25,132741228712
    56,78 2533,11802857142 2532,09886021077 178,451428571428 178,379630870783

    [Ответить]

  3. 3 Геннадий Кудрявцев:

    [Ответить]

  4. 4 Геннадий Кудрявцев:

    На одной вертикальной оси постройте одну под другой две одинаковые окружности. Из верхней точки верхней окружности проведите касательные к нижней окружности. Они пересекут верхнюю окружность в двух точках. Соедините их прямой. Верхняя часть диаметра верхней окружности, отсечённая этой прямой,будет равна (точность очень велика, предлагаю вычислить самим)) стороне искомого квадрата.
    Кто-нибудь знает метод получения более точного результата?

    [Ответить]

  5. 5 Геннадий Кудрявцев:

    Извините. Забыл уточнить, что окружности должны касаться друг друга.

    [Ответить]

  6. 6 vasil stryzhak:


    На рисунке изображен метод построения с лучшим показателем точности относительно предыдущего комментария.

    [Ответить]

  7. 7 vasil stryzhak:


    Второй вариант построения с более оптимальным решением квадратуры круга. Пунктирными линиями изображены описанный и вписанный квадраты в окружность с центром О и радиусом R = 1. Окружности с центрами в точках О₁, О₂, О₃, О₄ описаны радиусом r = 0,5. Точки пересечения окружностей служат для построения квадрата равновеликого исходной окружности.

    [Ответить]

  8. 8 Геннадий Кудрявцев:

    Уважаемый Vasil!
    Я просчитал ошибку при реализации Вашего метода по поз.6. Она равна 15,24%. У меня (поз.4 и 5) она 0,6%.
    Предложение по поз.7 ещё не просчитывал, но оптимизма здесь не предвидится.

    [Ответить]

  9. 9 vasil stryzhak:

    Уважаемый Геннадий! Специально для Вас более подробно остановлюсь на вычислении погрешности метода по поз. 6. Обозначим верхнюю точку пересечения окружностей буквой А. Тогда согласно построения О₁А=1, О₁О₂=2,25, О₂А=2. Высота hₐ треугольника О₁АО₂ равна половине стороны искомого квадрата. Ее можно вычислить по формуле Герона
    hₐ = 2√(p(p – a)(p – b)(p –c))/a, где p = (a + b + c)/2.
    Определим абсолютную погрешность метода: δ = 2hₐ – √π = 1,77756… – 1,77245… ≈ 0,0051, что соответствует 0,29%. Следовательно, Вы допустили явную ошибку в вычислениях. Погрешность метода по поз. 7 составляет 0,27%. Обычно я подвергаю методы построения анализу в системе прямоугольных координат. Тогда проще рассчитать координаты точек пересечения прямых и окружностей, как между собой, так и друг с другом. Два предложенных ранее варианта квадратуры круга наиболее простые. В качестве примера рассмотрим еще один более точный метод построения с абсолютной погрешностью 0,00018,а относительной 0,01%.


    Впишем в квадрат ABCD окружность . Не изменяя раствора циркуля, из середины стороны квадрата (точки О₁) как из центра делаем первую засечку на окружности в точке L. Далее уже из построенной точки как из центра тем же растворам циркуля проводим вторую засечку на другой стороне квадрата и получаем точку G, которую соединяем с серединой противоположной стороны квадрата. Отрезок О₄G пресекает окружность в точке Н. Проведем дуги из точек О₁, О₂, О₃, О₄ (середин сторон квадрата) как из центров кривизны радиусом r = НО₂ до пересечения с окружностью. Полученные таким образом точки служат для построения квадрата A₁B₁C₁D₁ равновеликого кругу.

    [Ответить]

    vasil stryzhak Reply:

    [Ответить]

  10. 10 Геннадий Кудрявцев:

    УВАЖАЕМЫЙМ VASIL!
    Вы правы. Поздравляю!. Успехов Вам в новом году. И в последующих тоже.

    [Ответить]

  11. 11 Геннадий Кудрявцев:

    Решение задачи о квадратуре круга наталкивает на мысль о решении другой, сходной задачи : квадратура эллипса.
    Формулу площади эллипса можно преобразовать так:
    S = √∏R͗͗² х √∏r.²
    Корни квадратные из окружностей – это те самые стороны квадратов, равновеликих по площадям этих окружностей, которые запросто определяет уважаемый Vasil. Значит, имеем две стороны прямоугольника. А, уж, построить равновеликий ему по площади квадрат – не проблема.

    [Ответить]

  12. 12 vasil stryzhak:

    Уважаемый Геннадий! Спасибо за пожелания. Вам тоже взаимно успехов по жизни. Идея квадратуры эллипса для меня нова, предложенное решение довольно интересное и самое главное верное. Если принять малую полуось эллипса равной единичному отрезку α =1, тогда сторона равновеликого эллипсу квадрата определиться как c=√(πb), где b – большая полуось. Построить отрезок равный π теоретически возможно с любой степенью точности. Свой вариант как это сделать изложу, возможно, позже, когда выкрою время и придет вдохновение.

    [Ответить]

    Геннадий Reply:

    Уважаемый Vasil!
    Чем больше посвящаешь времени решению таких “головоломок”, тем больше возникает новых интересных задач.В своё время, после квадратуры круга я увлёкся проблемами
    – квадратуры сегмента окружности, параболы, гиперболы,
    – методом построения коников с наперёд заданными параметрами
    – и пр.
    Толковых решений до сих пор не нашёл.

    [Ответить]

  13. 13 Геннадий Кудрявцев:

    Уточню вторую позицию :
    – метод рассечения конуса для получения коников с наперёд заданными параметрами.

    [Ответить]

  14. 14 vasil stryzhak:

    Если принять радиус r окружности за единицу, то длина полуокружности — это число \pi. Прямоугольник со сторонами r и \pi равен площади круга, тогда среднее геометрическое этих сторон и есть сторона квадрата равновеликого исходному кругу. Рассмотрим вариант построения отрезка равного длине полуокружности, тем самым решение задачи квадратуры круга.

    На горизонтальной прямой из точки O, как из центра, проведем окружность произвольным радиусом r. Опишем вокруг окружности и впишем в нее по три стороны от правильного шестиугольника, охватывающих полуокружность, необходимых для разъяснения материала. В построении участвует одна сторона AB от вписанного шестиугольника, перпендикулярная горизонтальной прямой. Проведем два луча через точки A и B из центра окружности O. Далее из точки O, как из центра, опишем дугу радиусом R=3r, пересекающую лучи в точках A_2 и B_2, а горизонтальную прямую в точке F. Построение может осуществляется от любого вписанного правильного многоугольника, тогда радиус дуги определяется делением количества его сторон n на два R=nr/2. Соединим между собой точки A_2 и B_2. Полученный таким образом отрезок, равен сумме изображенных на рисунке сторон от вписанного в окружность шестиугольника A_2B_2=DB+BA+AC, с недостатком относительно длинны полуокружности. Затем, параллельно A_2B_2 проведем через точку F прямую до пересечения с лучами. В результате имеем отрезок, равный сумме сторон от описанного шестиугольника A_3B_3=D_1B_1+B_1A_1+A_1C_1, с избытком относительно длинны полуокружности. Следовательно, отрезок равный \pi, т.е. длине полуокружности, находится между построенными отрезками A_2B_2 и A_3B_3.
    Определим местоположение искомого отрезка следующим образом. Соединим концы отрезков A_2B_2 и A_3B_3 крест накрест, а точку E (середину A_2B_2) с точками A_3 и B_3. В местах скрещивания новых отрезков получим точки M и N. Проведем прямую проходящую через эти точки до пересечения с лучами в точках A_4 и B_4. Насколько построенный отрезок A_4B_4 соответствует длине полуокружности, можно проверить вычислением в два этапа следующими формулами:
    b = \sqrt{1-a_n^2/4}, (b – равно высоте треугольника AOB),
    \pi \approx na_n(1+(1-b)/(2+b))/2,
    где n – число сторон вписанного в окружность правильного многоугольника, а a_n длинна его стороны. В приводимом на рисунке примере длина отрезка A_4B_4 равна 3,14023\ldots. Примерно такое приближение Архимед получил, вычисляя длины периметров описанного и вписанного в окружность96-ти угольника. Если данное построение провести, используя сторону 96-ти угольника, получим значение отрезка \pi=3,1415926335\ldots с точностью в восемь знаков.
    Теоретически точность метода не ограниченна, а практическое построение должно быть в разумных пределах. Следует заметить, указанные формулы позволяют определить дополнительно в два раза больше точных знаков относительно способа Архимеда. Например, периметр правильного вписанного 96304$ угольника дает значение \pi с точностью в десять знаков, предложенное построение – в двадцать и т.д.

    [Ответить]

  15. 15 Valerios:

    При помощи циркуля и линейки, и используя данный способ, из одного и тогоже круга можно сделать разные многоугольники, и все они будут равны между собой.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    К сожалению, рисунки не получились.

    [Ответить]

    Valerios Reply:

    Посмотрите здесь-http://shkolazhizni.ru/blog/443760/

    [Ответить]

    Valerios Reply:

    [Ответить]

  16. 20 Valerios:

    Изображения большего размера посмотрите здесь-http://shkolazhizni.ru/blog/443760/

    [Ответить]

  17. 21 Valerios:

    Что вернее,наглядное доказательство или абстрактное?

    [Ответить]

  18. 22 Сергей Дениченко:

    “Что вернее,наглядное доказательство или абстрактное”? Мой ответ: – “Вернее истинное доказательство”

    [Ответить]

    Андрей Reply:

    Извините, Сергей, но доказательство истинным может быть только как масло масляным. Тавтология называется.
    Абстрактное доказательство предполагает толкования и, может быть даже, не одно. Наглядное, т.е. очевидное доказательство бесспорно, поскольу быть истолкованным как-то иначе не может. Оно называется “факт” и признается наукой однозначно. Но:
    “Если факты не подтверждают теорию, от них надо избавиться.”
    Из законов Мерфи.

    [Ответить]

  19. 23 Владимир:

    Не философствуйте господа! Нахождение числа Pi при помощи только циркуля и линейки давно найдено проблема в том где и как можно опубликовать его. Это решение абсолютно несовместимо с такими понятиями как “приблизительно” “примерно” и тд. и тп. Оно по своей точности совпадает с теми цифрами которые описаны в книге “Мир математики” т.№7 и если в 2011году Сигеру Хандо нашёл 10000000000050 знаков числа Pi то значит на этом уровне и находится предлагаемое решение. Вообще то странная логика у математиков. Площадь круга равна Pi R квадрат но обратите внимание- какое Pi будем брать 3,1415 или 3,1415926 или 3,141592653358979323846264338327950 ведь все полученные результаты будут разными следовательно построить окружность по заданному диаметру нерешаемая задача?!?!

    [Ответить]

    Alexandr Reply:

    Уважаемый Владимир, будьте внимательны! Не путайте построение и вычисление. Число “пи” ВЫЧИСЛЯЕТСЯ, а не строится с помощью линейки и циркуля, извините.

    [Ответить]

    Alexandr Reply:

    Это относится и к философии, и к нормальной логике: Бывает круг с точной площадью или в отличие от всех объектов материального мира он обязан быть приблизительным, неточным? В этом и смысл строить ли квадрат равный кругу или обойтись числом “пи”.

    [Ответить]

    Сергей Дениченко Reply:

    Результат если это длина окружности единичного диаметра один. По вашему обруч на бочку построить нельзя, а бондарь делает бочки, и бочки течи не дают.
    Когда я работал в геодезии, мы выносили репер на вновь строящий объект. На репере с известными координатами установили теодолит и пробили створ к вновь закладываемому реперу. И качестве точек линии створа, (которые пронивелировали) были куски арматуры, на верхних торцах – отмечены центра. Затем рулеткой от точки до точки измеряли расстояния пять раз.
    Все замеры показали разные результаты. пришлось все результаты суммировать, разделить на пять и выдать как истину.
    Теперь если взять пи, и начать расчет, то мы будем вести расчет вписанных многоугольников, в которые может вкрасться погрешность на начальных этапах расчета. Считаем по алгоритму, а числа участвующие в расчетах уже с начала расчета содержат “хвостики”.
    А как посчитать описанные многоугольники, для которых алгоритм иной, и расчет сводится как расчет подобных фигур, где число сторон одинаково.

    [Ответить]

  20. 24 Владимир:

    В качестве примера дан радиус=80мм. Площадь равна Пи Р квадрат= 20106,192982974676726160917652989 извлекаем корень = 141,79630807244128218385339866729. Такая точность устраивает скептиков?

    [Ответить]

  21. 25 Valerios:

    commons.wikimedia.org КВАДРАТУРА КРУГА-Valerios

    [Ответить]

  22. 26 Владимир:

    Уважаемые Сергей и Александр! Поверьте мне, я с глубоким уважением отношусь к вам как к людям лишённым догматических принципов. Квадратуру догматик не станет искать,
    он уверен, что это нерешаемая задача. Но всё- таки я хотел бы несколько отойти от философии и стать ближе к математике. Итак, построить квадрат равный по площади заданному кругу- это считается нерешаемым узлом, тем более только при помощи односторонней линейки без делений и циркуля. Я хочу сказать, что найдено решение при помощи данных предметов разбить окружность на многомиллиардное количество треугольников необходимых для поиска длины окружности. И если иметь компьютер с бегущей строкой, то 100триллионный знак и более будет найден, используя данный алгоритм. Александр а число Пи это объект материального мира? И если это число является иррациональным то и круг как объект материального мира приблизительным – логично???? Но если и квадратный корень извлекаемый из числа Пи тоже иррациональное число то и как квадрат равный площади круга так и круг площадь которого равна заданному диаметру построить нельзя. Ведь посудите сами Радиус равен 1 площадь равна ==== и тут начинаются разногласия пусть Пи = 3,1415 следовательно площадь = 3,1415 далее рассмотрим вариант Пи = 3,14159265358979323846 /3,1415= 1,000029493423457978182396944135 согласитесь разница есть.

    [Ответить]

  23. 27 Valerios:

    КВАДРАТУРА КРУГА-Valerios

    [Ответить]

  24. 28 Valerios:

    КВАДРАТУРА КРУГА-Valerios

    [Ответить]

  25. 29 Valerios:

    КВАДРАТУРА КРУГА-Valerios

    [Ответить]

  26. 30 Valerios:

    КВАДРАТУРА КРУГА-Valerios

    [Ответить]

  27. 31 Valerios:

    КВАДРАТУРА КРУГА-Valerios

    [Ответить]

  28. 32 Valerios:

    КВАДРАТУРА КРУГА-Valerios

    [Ответить]

  29. 33 Valerios:

    Изображения большего размера здесь:commons.wikimedia.org КВАДРАТУРА КРУГА-Valerios

    [Ответить]

  30. 34 Владимир:

    Уважаемый Valerios прошу вас ответить мне на всего лишь один вопрос. Решена ли задача квадратуры круга при помощи циркуля и односторонне линейки без делений и если да то где можно ознакомиться с ней.

    [Ответить]

  31. 35 Владимир:

    Кто и зачем убрал мои комментарии??? Скорее всего в математике необходимо обладать не точными выкладками и цифрами, а философствовать на тему существует ли на марсе жизнь. Гораздо умнее кажешься, когда разглагольствуешь о многомерности тараканьих тапочек и квантовании синдерического банхового крупизенайлера.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение