Математика, которая мне нравится

Решения и ответы на задачи, приведенные здесь.

Пабло не ошибся, первая задача действительно очень простая. Для ее решения достаточно вспомнить, что квадраты целых чисел при делении на 3 не могут давать остатка 2. В самом деле, рассмотрим все остатки от деления на 3: это 0, 1 или 2. Числа, дающие при делении на 3 остаток 0, имеют вид 3k, k\in\mathbb{Z}, при возведении такого числа в квадрат получаем число 9k^2, которое делится на 3. Теперь возведем в квадрат число, дающее при делении на 3 остаток 1: (3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1. Мы видим, что это число при делении на 3 дает остаток 1. Число, дающее при делении на 3 остаток 2, при возведении в квадрат (3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1 будет также давать остаток 1 при делении на 3. Тем самым, если какое-то из данных в условии задачи чисел дает при делении на 3 остаток 2, как раз оно и не будет точным квадратом. Приведенное в рассказе число

   

как раз и дает остаток 2 при делении на 3 (для того, чтобы найти остаток от деления на 3 достаточно найти остаток от деления на 3 суммы цифр этого числа, см. признаки делимости).

Вторая задача о средней скорости метлы несколько интереснее. Напрашивающийся ответ (210+140)/2=175 км/ч, разумеется, неверный. Для того чтобы правильно решить эту задачу, нужно вспомнить определение средней скорости: средняя скорость равна длине пути, пройденного за какое-то время, поделенному на время движения. Пусть в нашей задаче длина пути, который метла пролетает по двору – s. Тогда средняя скорость первой прогулки (на исправной метле) определится следующим образом: \displaystyle \frac{s}{t_1}=210, где t_1 – время этой прогулки. Найдем и скорость второй прогулки по двору (на метле после поломки): \displaystyle \frac{s}{t_2}=140, где t_2 – время прогулки на метле после поломки. Из этих двух равенств получаем, что

   

А теперь можем найти среднюю скорость этих двух прогулок, зная пройденный путь – 2s, и время движения – t_1+t_2:

   

км/ч.

Итак, правильный ответ 168 км/ч.

Пожалуй, третья задача самая интересная. Для ее решения изобразим траекторию бильярдного шара, начинающего движение из точки O, помня о том, что угол падения равен углу отражения (считаем столкновения шара с бортиками абсолютно упругими):

Далее обозначим точки бортика, от которых отскакивал шар так, как показано на следующем рисунке (здесь все отмеченные углы равны между собой, и величина каждого из них 45^{\circ}:

Мы знаем, что OG=OH=60 см и что AB=CD=160 см. Кроме того, AH=OH=60 см, так как прямоугольный треугольник AOH равнобедренный. Найдем OS=AB-OH=100 см. Прямоугольный треугольник SNO также равнобедренный, поэтому SN=SO=100 см. Запишем следующие очевидные равенства:

   

Кроме того, заметим, что

   

поскольку все прямоугольные треугольники на рисунке равнобедренные. Отсюда получаем

   

или

   

Из первого уравнения выражаем AR=160-BM, из второго DR=160-CN, подставляем полученные выражения в третье уравнение:

   

откуда BM+CN=60 см. Теперь можно найти длину стола: BC=BM+200+NC=260 см.

Итак, длина бильярдного стола равна 260 см.