Решение задач из рассказа ``Пабло Поттер’’ | Математика, которая мне нравится

Решение задач из рассказа “Пабло Поттер’’

27 Март 2011, 0:05

Решения и ответы на задачи, приведенные здесь.

Пабло не ошибся, первая задача действительно очень простая. Для ее решения достаточно вспомнить, что квадраты целых чисел при делении на 3 не могут давать остатка 2. В самом деле, рассмотрим все остатки от деления на 3: это 0, 1 или 2. Числа, дающие при делении на 3 остаток 0, имеют вид $3k$ , $k\in\mathbb{Z}$ , при возведении такого числа в квадрат получаем число $9k^2$ , которое делится на 3. Теперь возведем в квадрат число, дающее при делении на 3 остаток 1: $(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1$ . Мы видим, что это число при делении на 3 дает остаток 1. Число, дающее при делении на 3 остаток 2, при возведении в квадрат $(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$ будет также давать остаток 1 при делении на 3. Тем самым, если какое-то из данных в условии задачи чисел дает при делении на 3 остаток 2, как раз оно и не будет точным квадратом. Приведенное в рассказе число

$21049009926445637432568973670677968297401$

как раз и дает остаток 2 при делении на 3 (для того, чтобы найти остаток от деления на 3 достаточно найти остаток от деления на 3 суммы цифр этого числа, см. признаки делимости).

Вторая задача о средней скорости метлы несколько интереснее. Напрашивающийся ответ $(210+140)/2=175$ км/ч, разумеется, неверный. Для того чтобы правильно решить эту задачу, нужно вспомнить определение средней скорости: средняя скорость равна длине пути, пройденного за какое-то время, поделенному на время движения. Пусть в нашей задаче длина пути, который метла пролетает по двору — $s$ . Тогда средняя скорость первой прогулки (на исправной метле) определится следующим образом: $\displaystyle \frac{s}{t_1}=210$ , где $t_1$ — время этой прогулки. Найдем и скорость второй прогулки по двору (на метле после поломки): $\displaystyle \frac{s}{t_2}=140$ , где $t_2$ — время прогулки на метле после поломки. Из этих двух равенств получаем, что

$t_1=\frac{s}{210},\ t_2=\frac{s}{140} .$

А теперь можем найти среднюю скорость этих двух прогулок, зная пройденный путь — $2s$ , и время движения — $t_1+t_2$ :

$\displaystyle v_{cp}=\frac{2s}{t_1+t_2}=\frac{2s}{s/210+s/140}=168$ км/ч.

Итак, правильный ответ 168 км/ч.

Пожалуй, третья задача самая интересная. Для ее решения изобразим траекторию бильярдного шара, начинающего движение из точки $O$ , помня о том, что угол падения равен углу отражения (считаем столкновения шара с бортиками абсолютно упругими):

Далее обозначим точки бортика, от которых отскакивал шар так, как показано на следующем рисунке (здесь все отмеченные углы равны между собой, и величина каждого из них 45 $^{\circ}$ :

Мы знаем, что $OG=OH=60$ см и что $AB=CD=160$ см. Кроме того, $AH=OH=60$ см, так как прямоугольный треугольник $AOH$ равнобедренный. Найдем $OS=AB-OH=100$ см. Прямоугольный треугольник $SNO$ также равнобедренный, поэтому $SN=SO=100$ см. Запишем следующие очевидные равенства: