Решение задач из рассказа “Пабло Поттер’’
Решения и ответы на задачи, приведенные здесь.
Пабло не ошибся, первая задача действительно очень простая. Для ее решения достаточно вспомнить, что квадраты целых чисел при делении на 3 не могут давать остатка 2. В самом деле, рассмотрим все остатки от деления на 3: это 0, 1 или 2. Числа, дающие при делении на 3 остаток 0, имеют вид ,
, при возведении такого числа в квадрат получаем число
, которое делится на 3. Теперь возведем в квадрат число, дающее при делении на 3 остаток 1:
. Мы видим, что это число при делении на 3 дает остаток 1. Число, дающее при делении на 3 остаток 2, при возведении в квадрат
будет также давать остаток 1 при делении на 3. Тем самым, если какое-то из данных в условии задачи чисел дает при делении на 3 остаток 2, как раз оно и не будет точным квадратом. Приведенное в рассказе число
как раз и дает остаток 2 при делении на 3 (для того, чтобы найти остаток от деления на 3 достаточно найти остаток от деления на 3 суммы цифр этого числа, см. признаки делимости).
Вторая задача о средней скорости метлы несколько интереснее. Напрашивающийся ответ км/ч, разумеется, неверный. Для того чтобы правильно решить эту задачу, нужно вспомнить определение средней скорости: средняя скорость равна длине пути, пройденного за какое-то время, поделенному на время движения. Пусть в нашей задаче длина пути, который метла пролетает по двору —
. Тогда средняя скорость первой прогулки (на исправной метле) определится следующим образом:
, где
— время этой прогулки. Найдем и скорость второй прогулки по двору (на метле после поломки):
, где
— время прогулки на метле после поломки. Из этих двух равенств получаем, что
А теперь можем найти среднюю скорость этих двух прогулок, зная пройденный путь — , и время движения —
:
км/ч.
Итак, правильный ответ 168 км/ч.
Пожалуй, третья задача самая интересная. Для ее решения изобразим траекторию бильярдного шара, начинающего движение из точки , помня о том, что угол падения равен углу отражения (считаем столкновения шара с бортиками абсолютно упругими):
Далее обозначим точки бортика, от которых отскакивал шар так, как показано на следующем рисунке (здесь все отмеченные углы равны между собой, и величина каждого из них 45:
Мы знаем, что см и что
см. Кроме того,
см, так как прямоугольный треугольник
равнобедренный. Найдем
см. Прямоугольный треугольник
также равнобедренный, поэтому
см. Запишем следующие очевидные равенства:
Кроме того, заметим, что
поскольку все прямоугольные треугольники на рисунке равнобедренные. Отсюда получаем
или
Из первого уравнения выражаем , из второго
, подставляем полученные выражения в третье уравнение:
откуда см. Теперь можно найти длину стола:
см.
Итак, длина бильярдного стола равна 260 см.
Оставьте свой отзыв