Распечатать запись Распечатать запись

Трисекция угла

Существуют три классические задачи в греческой математике, которые оказали значительное влияние на развитии геометрии. Это задачи о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла. Хотя все они тесно связаны, мы решили рассказать о каждой из них отдельно. Данная статья посвящена задаче трисекции произвольного угла. В некотором смысле это наименее известная из трех задач. Конечно, во времена Древней Греции лучше всего знали задачу об удвоении куба, а позднее стала более известна, особенно среди математиков-любителей, задача о квадратуре круга.

Задача о трисекции произвольного угла, которую мы рассматриваем здесь – это задача, у которой я (примеч. E.F. Robertson) видел за всю свою карьеру наибольшее количество неверных решений. Легко просто сказать, что присланное “доказательство’’ возможности трисекции произвольного угла с помощью циркуля и линейки неверно, поскольку такое построение невозможно. Разумеется, знание того, что доказательство неверно и нахождение ошибки в нем – две различные вещи, и часто ошибки тонкие, и их трудно найти.

Есть несколько моментов, в которых задача разделения угла на три части отличается от двух других классических греческих задач. Во-первых, она не имеет реальной истории, относящейся к тому, почему эту задачу впервые начали изучать. Во-вторых, это задача совершенно другого типа. Никто не может построить квадрат, равный по площади никакому кругу, не может построить ребро куба, объем которого в два раза больше объема никакого данного куба. Тем не менее, некоторые углы можно разделить на три равные части. Например, есть довольно простой способ, позволяющий разделить на три равные части прямой угол. Для данного прямого угла CAB нарисуем окружность с центром в точке A, пересекающую прямую AB в точке E. Нарисуем вторую окружность того же радиуса с центром в E, и пусть она пересечет первую в точке D. Тогда треугольник DAE равносторонний, следовательно, угол DAE равен 60^{\circ} и DAC30^{\circ}. Итак, угол CAB разделен на три части.

Возможно, еще более удивительно, что такие углы как угол в 27^{\circ}, могут быть разделены на три части, Вы можете сделать это? Следовательно, задача состоит в том, чтобы разделить на три равные части произвольный угол и цель – сделать это с помощью циркуля и линейки (что невозможно), но если это невозможно, разработать какой-то способ, чтобы делить на три равные части произвольные углы.

Папп в своем “Математическом собрании’’ пишет:

“Когда древние геометры стремились разделить данный угол с прямолинейными сторонами на три равные части, они не смогли этого сделать по следующей причине. Мы говорим, что в геометрии есть три вида задач, это так называемые “плоские’’, “телесные’’ и “линейные’’ задачи. Те, которые могут быть решены с помощью прямой линии и окружности, называются “плоскими’’, поскольку линии, с помощью которых такие задачи решаются, плоские. Те задачи, которые решаются с использованием одного или нескольких конических сечений, называются “телесными’’ задачами. Для их решения необходимо использовать поверхности геометрических тел, то есть конусов. Остаются задачи третьего типа, так называемые “криволинейные’’ задачи. Для построения в этих случаях требуются другие кривые, отличные от уже упомянутых, имеющие более разнообразное и динамическое происхождение и возникающие из более неправильных поверхностей и сложных движений. Такой вид имеют кривые, обнаруженные в так называемой “surface loci’’ (геометрическом месте точек поверхности), и многие другие, даже еще более сложные… Эти кривые имеют много замечательных свойств. Более поздние авторы рассмотрели некоторые из них, достойные более глубокого изучения, и одну из таких кривых Менелай назвал “парадоксальной’’. Другие кривые того же типа – это спирали, квадратрисы, конхоиды и циссоиды… Поскольку задачи отличаются таким образом, ранние геометры были не в состоянии решить вышеупомянутую задачу о делении угла, потому что она по природе своей телесная, ибо они еще не были знакомы с коническими сечениями, и по этой причине пребывали в растерянности. Позже, однако, они разделили угол с помощью коник, используя решение, близкое описанному ниже…”

Мы вскорости опишем методы, которые были изобретены для решения этой задачи, но прежде всего давайте посмотрим, откуда эта проблема возникает естественным образом. Возможно, самый очевидный путь, на котором можно было бы встретить эту задачу – это изучение того, как с помощью циркуля и линейки поделить угол пополам. Это просто. Для данного угла CAB отметим равные отрезки AB и AC. Построим ромб CABD и проведем его диагональ AD, которая, как легко видеть, поделит пополам угол CAB.

Древние греки, безусловно, хотели делить углы в любом требуемом соотношении, так чтобы было возможно построение правильного многоугольника с любым количеством сторон. Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки, разумеется, было одной из основных целей греческой математики, и до открытий Гаусса те правильные многоугольники, которые не смогли построить древние греки, так и не были построены.

Хотя трудно указать точную дату возникновения задачи трисекции угла, мы знаем, что Гиппократ, внесший первый крупный вклад в решение задач о квадратуре круга и удвоении куба, также изучал эту задачу. Существует довольно простой способ разделить на три равные части любой угол, который был известен Гиппократу.

Этот способ состоит в следующем. Для данного угла CAB проведем прямую CD перпендикулярно прямой AB, пересекающую ее в точке D. Построим прямоугольник CDAF. Продлим FC до точки E, и пусть AE пересекает CD в точке H. Если точка E выбрана так, что HE=2AC, то угол EAB составляет 1/3 угла CAB.

Чтобы убедиться в этом, обозначим через G середину HE, так что HG=GE=AC. Так как угол ECH прямой, то CG=HG=GE. Кроме того, \angle EAB=\angle CEA=\angle ECG. Поскольку AC=CG, \angle CAG=\angle CGA. Но \angle CGA= \angle GEC + \angle ECG =2\angle CEG=2\angle EAB, что и требовалось.

Теперь приведем одну из причин, по которой задача трисекции угла кажется менее привлекательной, судя по количеству известных решений, дошедших до нас от лучших древнегреческих математиков. Она состоит в том, что построение, приведенное выше, хотя и невозможное с линейкой без делений и циркулем, тем не менее легко осуществимо на практике. Решение механического типа найти легко. Нужно просто отметить длину 2AC от правого конца линейки, а затем расположить эту отметку на CD, а другой конец линейки – на продолжении FC, так чтобы линейка определила прямую, проходящую через A. Трисекция найдена довольно легко с помощью механического процесса. Так как для решения практической задачи с чисто математической точки зрения оставалось сделать немного, хотя греки в целом не были удовлетворены механическим решением, они не сделали это. Как говорил Платон:

“Действуя [механическим] способом не потерять безвозвратно лучшее в геометрии… ‘’

Существует еще одно механическое решение, которое нашел Архимед. Мы должны немного остановиться на нем и сказать, что этот метод приведен в арабском труде, который называется “Книга лемм’’, который приписывают Архимеду. Конечно, эта работа не является простым переводом работы Архимеда, хотя Архимед цитируется в ней несколько раз, так что совершенно невозможно для кого-либо присвоить ее себе. Однако большинство историков математики считает, что многие из приведенных в книге лемм действительно принадлежат Архимеду. А результат о делении на три части угла настолько в духе его работы “О спиралях’’, что широко признано, что этот метод действительно является методом Архимеда. Построение происходит следующим образом.

Для данного угла CAB проведем окружность с центром в точке A так, чтобы AC и AB были ее радиусами. Через C проведем прямую, пересекающую BA в точке E. Пусть эта прямая пересечет окружность в точке F и пусть EF равно радиусу окружности. Снова это может быть сделано механическим способом, если отметить длину, равную радиусу окружности, на линейке и перемещать ее так, чтобы одна отметка оставалась на BA, а вторая – на окружности. Перемещать линейку таким образом следует до тех пор, пока она не пройдет через точку C. Тогда будет построена прямая EC. Наконец нужно провести из A радиус AX окружности так, чтобы AX был параллелен EC. Тогда AX отсечет треть угла CAB.

Это довольно легко показать,

\angle XAC=\angle ACF=\angle CFA=\angle FEA+\angle FAE=2\angle FEA=2\angle XAB.

Никомед жил примерно в то же время, что и Архимед (во втором веке до нашей эры), и он построил свою известную кривую – конхоиду. На самом деле эта кривая была изобретена именно Никомедом для формализации процесса, который мы описали – вращения линейки с закрепленной на прямой точкой. На линейке отмечено фиксированное расстояние, одна отметка находится на данной прямой, в то время как другая описывает кривую – конхоиду. Построение объяснено более подробно в биографии Никомеда (Хит). Теперь это в точности кривая, которая дает решение задачи трисекции угла, приведенной выше, и Никомед решил эту задачу с помощью своей кривой. Однако на практике метод перемещения линейки до получения требуемой конфигурации был в целом гораздо проще, чем рисование конхоиды, и метод Никомеда представлял больше теоретический, а не практический интерес. Хит (Heath) пишет:

“Папп говорит нам, что на практике конхоида не всегда на самом деле изображалась, но что иногда, для большего удобства, двигали линейку вокруг неподвижной точки, пока опытным путем секущая не оказывалась равной заданной длине’’.

Папп рассказал нам о конхоиде Никомеда в своем “Математическом собрании”. В этой же работе Папп пишет о том, как проблема трисекции угла была решена Аполлонием с использованием коник. Папп приводит два решения, которые в обоих случаях включают рисование гиперболы.

Первый показывает, что если прямая AB фиксирована, то геометрическое место точек P таких, что 2\angle PAB=\angle PBA является гиперболой. Гипербола имеет эксцентриситет 2, фокус B и директрису, которая является серединным перпендикуляром AB. Гипербола изображена в левой части рисунка. Справа на двух рисунках показано, как эта гипербола может быть использована для деления на три равные части угла AOB. Проведем окружность с центром в точке O через точки A и B. Затем построим гиперболу с эксцентриситетом 2, фокусом B и директрисой – серединным перпендикуляром к AB. Пусть она пересечет окружность в точке P. Тогда PO отделяет треть угла AOB.

Чтобы убедиться в этом, заметим, что из свойств гиперболы, описанных выше, 2\angle PAB=\angle PBA. Но 2\angle PAB=\angle POB, и 2\angle PBA=\angle POA (центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу). Поэтому 2\angle POB=\angle POA, что и требовалось.

Хит говорит о том, почему этот отрывок из работы Паппа может представлять интерес в связи с греческими исследованиями коник. Он пишет:

“Отрывок из труда Паппа, из которого взято это решение, замечателен тем, что это один из трех мест в сохранившихся работах греческих математиков … в котором говорится о свойствах фокусов и директрис коник.”

Эти построения, описанные Паппом, показывают, как греки “улучшили’’ свое решение задачи трисекции угла. От механических решений они пришли к решению с помощью конических сечений. Они никогда не могли прийти к “плоским решениям’’, поскольку мы знаем, что это невозможно.

Доказательство невозможности ждало математиков XIX века. Полное доказательство было получено Пьером Ванцелем. В 1837 году Ванцель опубликовал его в журнале Лиувилля:

“…посредством оценки, может ли геометрическая задача быть решена с помощью циркуля и линейки’’.

Гаусс заявил, что проблемы удвоения куба и трисекции угла не могут быть решены с помощью циркуля и линейки, но он не привел никаких доказательств этому. В своей работе 1837 года Ванцель первым доказал эти результаты. Позднее Чарльз Штурм улучшил эти доказательства, но он не опубликовал их.

Перевод статьи J.J. O’Connor and E.F. Robertson, Trisecting an angle

Комментариев: 190

  1. 1 Корнеев:

    При описывании метода деления угла пополам (второй рис.) неправильно названа фигура параллелограмм. У неё диагональ не делит угол пополам. Правильно ромб.

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Спасибо, Вы правы, ромб здесь более уместен, исправила.

    [Ответить]

  3. 3 Вячеслав:

    В описании решения Архимеда говорится: “Пусть эта прямая (СЕ) пересечет окружность в точке F и пусть EF равно радиусу окружности. Снова это можно сделать механическим способом…”. Позволительно спросить, что и для чего это делать механическим способом? Разве в дальнейшем доказательстве используются какие-то дополнительные следствия, вытекающие из механических перемещений прямой СЕ? Очевидно, что нет никакой необходимости выполнять механические перемещения прямой СЕ. Более того, не обязательно пользоваться линейкой и циркулем. Для понимания способа трисекции угла по Архимеду более чем достаточно выполнить эскиз рисунка от руки или даже представить его мысленно и определить соотношения длин отрезков на рисунке к радиусу окружности. Таким образом следует признать, что задача трисекции угла раз и навсегда решена Архимедом. В качестве подтверждения этого привожу алгебраическое выражение для апофемы правильного 9-ти угольника 12a^2+8a+1-16a^4-8a^3=0, полученного на основе эскизного рисунка способа Архимеда.

    [Ответить]

  4. 4 Елизавета Александровна Калинина:

    Просто то, что предлагает Архимед, невозможно сделать только с помощью циркуля и линейки без делений.

    [Ответить]

  5. 5 Вячеслав:

    Архимед нашел очень простое и математически безупречное, точное решение. Тот факт, что с помощью циркуля и линейки, даже с засечками на ней, ни кому не удалось точно построить графически 1/3 произвольного угла, ни коим образом не позволяет усомниться в правильности решения поставленной задачи. Из геометрии известно, что для построения прямой необходимо и достаточно иметь две определенные точки. В своих построениях Архимед предлагает провести прямую СЕ через одну определенную точку С, а для определения угла наклона этой прямой расположить первую засечку F на окружности, а вторую Е на прямой БА. Практически таким образом точно провести прямую СЕ невозможно, как видим даже при наличии засечек. Поэтому задача трисекции графически неразрешима вовсе не из-за недопустимости засечек на прямой Архимеда СЕ, а из-за неопределенности положения точки F или Е. Постановка задачи трисекции угла, как и вся геометрия, возникла для решения сугубо практических целей землеустройства, а графические построения используются лишь в качестве иллюстраций решений. Ни одно графическое построение вообще не может быть выполнено абсолютно точно. Например, чтобы построить прямой угол необходимо дважды установить ножку циркуля в заданную точку, сделать две засечки, и через две заданные точки провести прямую. При каждом из этих действий при практическом построении неизбежны погрешности, хотя с математической точки зрения эти построения абсолютно точны. Также и построения Архимеда для трисекции угла математически безупречны. Практическое значение решения Архимеда состояло в том, что на его основе можно получить точные соотношения отрезков прямых между собой и к радиусу окружности. В дальнейшем, с совершенствованием математических методов, решение Архимеда потеряло практическое значение и на сегодня имеет ценность лишь с познавательной и исторической точки зрения.

    [Ответить]

  6. 6 Вячеслав:

    В дополнение к моим комментариям привожу выведенное мной алгебраическое уравнение для апофемы правильного 7-ми угольника
    2+\sqrt{2(1-a)}-16a^2+16a^4 = 0. Выведенные уравнения позволяют вычислить значения апофем правильного 7-ми и 9-ти угольника с любой точностью (так же как на сегодня вычислено значение πи до 100 миллионного знака), вопреки доказательству французского математика П.Л.Ванцеля, французского математика, члена Парижской Академии Наук с 1912 г., Жака Адамара, советского математика А.В.Погорелова и многих других математиков о невозможности их графического построения. Но немецкий математик Август Адлер (1863 – 1923) в книге «Теория геометрических построений» писал: “Итак, не существует абсолютно неразрешимых (геометрических) задач, но есть лишь относительно неразрешимые.

    [Ответить]

  7. 7 Алексей:

    И хоть я далек от математики, но все же, нашел свой простой способ деления угла на 3. Но все настолько просто, что не понимаю, в чем подвох? Также могу доказать что выполненное построение искомое. Достаточно построить в перпендикулярной плоскости а угол разбитый на три части и затем его спроецировать в плоскость в (там где и находится искомый требуемый для деления угол. Очень просто и главное доказуемо.

    [Ответить]

    Alexandr Reply:

    А подвох тут вот в чем.
    Возьмем для пущей наглядности угол в 30 градусов.
    Ну, казалось бы, чего проще придумать способ, чтоб одним махом поделить его на три сектора по 10 градусов и успокоиться?
    И вот способ найден, угогл поделен. Все чики.
    Но не тут-то было. Надо же проверить решение. И именно с точки зрения Математики – самой точной науки. А вдруг это просто галюцинация!
    И тут начинается самое интересное.
    У того, кто проверяет – даже если эту проверку делаете вы же – другой взгляд на этот предмет.
    Перед ним угол 10+10+10 градусов деленный на три. Открываются скобки: 10:3+10:3+10:3, выполняются математические действия и ум неторопясь уходит за разум.
    Искомое не находится! А найденное очевидно. При поверке гармонии Геометрии Алгеброй получается, что ничего не получается.
    Точность математических расчетов сомнений не вызывает – за этой наукой – века.
    А вот вы кто такой? Что у вас там за чертежик левой задней? Вы хотя бы для начала проживите хоть один век!
    А то, что при добавлении к одному яблоку одной груши не появляется двух грушеяблок а остаются только яблоко и груша поштучно никого не смущает.
    Я ни в коем случае не нападаю на Алгебру! Ну как без нее считать деньги или их отсутствие?
    Но почему еще никому не пришло в голову проверить решение какой-нибудь геометрической задачи на построение чего-нибудь полезного с помощью Физики высоких температур, например?

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    Alexandr, Вы спрашиваете, “почему еще никому не пришло в голову проверить решение какой-нибудь геометрической задачи на построение?”. Чтобы ответить на этот вопрос, я спрашиваю: как доказать, что построение правильного 5-ти угольника по Евклиду абсолютно точное?. Надеюсь получить ответ с доказательством.

    [Ответить]

    Alexandr Reply:

    Чисто теоретически – не проверял – лениво (бета-версия):
    Если мы еще дважды разделим получаемые углы при делении исходного угла на три части, то луч между девятым и десятым углами проверочного построения совпадет с бисектрисой исходного угла.

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    Alexandr, какие исходные углы Вы предлагаете делить на три части и что за девятый и десятый углы. Желательно показать графически.

    [Ответить]

    Андрей Reply:

    Ошибаетесь, Alexandr, 3 в любой степени четным числом не становится.

    [Ответить]

    Alexandr Reply:

    Извините, Вячеслав, но только в двух словах.

    Пожалуйста, не рвите меня на цитаты по полу-смыслу. Я ж не Ленин какой-нибудь. Уж или вообще не цитируйте, или цитируйте полность. Что-нибудь одно уж.

    “Чертеж построения чертежа”, который Вы хотели видеть.

    30:3=10 и 10:3+10:3+10:3=10
    Оба равенства верны?

    360:5=75 и 75:5+75:5+75:5+75:5+75:5=75
    Оба равенства верны.

    Андрею.
    Спасибо за определенность замечания. Действительно, следовало сначала обдумать, потом писать, чтобы не выглядеть совсем уж смешным. Трисектрисы являтся бисектрисами взаимообразованных углов. Этого достаточно.
    Или не являются. Тогда и задача не решена.

    Елизавета Александровна, правда, некрасиво как-то затыкать человеку рот когда к нему обращен вопрос? Не ожидал, что мои слова в адрес Святой Инквизиции оскорбят Вас лично… Извините, не знал, что у Вас с ней особо тесные отношения. Спасибо, что не отправились меня отлавливать и сжигать. Очень признателен за это и больше не буду. Вообще не буду.
    Бан, если хотите, можете оставить на память.

    [Ответить]

    Андрей Reply:

    Вчера мне загадку загадали. Отличная иллюстация к решениям таинственных задач об удвоении куба, трисекции угла и, вероятно, квадратуры круга тоже.
    Загадка такая.
    Зашли двое в кафе пообедать. Одно заказали, другое заказали, пятое, десятое. Напились-наелись, притомились. Зовут официанта расчитать.
    Тот пришел, попищал на калькуляторе – три тысячи. Порылись посетители в карманах – под расчет не набирается – дали пять одной купюрой.
    Пошел официант к кассе. По пути думает:
    “Как-то я перехватил малость. Они и на две-то не наели. Придут в себя, пересчитают… Вернуть им что ли? Неудобно теперь как-то…”
    Тут к кассе второй официант подошел. Первый ему объяснил ситуацию.
    - Отдай,- говорит, – им три, извинись. А меня – скажи – к директору вызвали.
    И ушел.
    Второй один остался. Думает:
    “Что я еще извиняться буду за просто так! Тогда уж тысячу себе оставлю.”
    Сунул тысячу рублей в потайной карман, подошел к столику, отдал сдачу – две тысячи. Посетители встали, ушли.

    Теперь внимание, Вопрос.
    Посетители заплатили за обед три тысячи.
    Сдачи им дали две тысячи.
    Три и две – пять тысяч, которыми они расчитывались.
    И шестая тысяча осталась у второго официанта!
    ОТКУДА ПОЯВИЛАСЬ ШЕСТАЯ ТЫСЯЧА?

    От комментариев воздержусь. Сопоставте сами.

    [Ответить]

  8. 8 Вячеслав:

    Здравствуйте Алексей. Я тоже не математик и до недавнего времени не знал или забыл о задаче трисекции угла, хотя более 40 лет простоял за кульманом. Ни какого подвоха в этой задаче нет и я,как и ряд математиков, сегодня убежден, что эта задача просто до гениальности решена Архимедом. Это решение изложено в обсуждаемой статье и при внимательном прочтении оно не вызывает затруднений ни у кого, кто усвоил школьный курс геометрии. Существуют и другие решения с применением различных кривых, например, с помощью спирали всё того же Архимеда, но все они, на мой взгляд, гораздо сложнее и менее понятны не профессионалам. Ваше решение, не есть решение рассматриваемой задачи, поскольку Вы предлагаете перенести заведомо три равных угла из одной плоскости в другую. Классическое понимание задачи требует разделить любой произвольный угол на три равные части даже не выполняя ни каких измерений.

    [Ответить]

  9. 9 Алексей:

    Да, конечно заведомо 3 равных угла. Но они больше искомых на косинус а. Их построить можно без особых проблем с помощью циркуля и ленейки, достаточно разбить часть произвольной дуги тремя равными хордами, одна за другой. Что касается переноса из плоскости в плоскость, то он также может быть осуществлен посредством линейки и циркуля, поскольку возможно провести 3 параллельные прямые. В моем методе я не использую ни разметку линейки. Практически я смог бы это сделать имея доску гвозди и нитку. Вот. Я в принципе хотел бы опубликовать это решение в каком нибудь мат журнале, но не знаю, каком. И если я заведомо ошибаюсь, пусть это будет раздел задачек, “найдите ошибку автора”. ОК?

    [Ответить]

  10. 10 Вячеслав:

    Здравствуй Алексей. Я тоже не знаю где и как можно опубликовать найденные мной решения нахождения алгебраических выражений для асимптот правильных 7-ми, 9-ти и 11-ти угольников и не могу Вам помочь. Но ещё раз откровенно скажу, что ваше решение не имеет отношения к задаче трисекции угла и не содержит ничего нового.

    [Ответить]

  11. 11 Алексей:

    Жаль. И я Вам помочь не могу. Что-то прояснится, кину ссылку.

    [Ответить]

  12. 12 Марсель из Казани:

    Здравствуйте. Вот тут http://stalin-ist.livejournal.com/315203.html предложено оригинальное решение задачи трисекции угла с помощью циркуля и линейки.

    Что об этом скажете? )

    [Ответить]

  13. 13 Елизавета Александровна Калинина:

    К сожалению, у меня не открываются картинки, но… Марсель, Вы комментарии читали? Там же все очень хорошо и понятно написано :)

    [Ответить]

  14. 14 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, Вы действительно считаете, что в комментариях все очень хорошо и понятно написано? Я думаю, что Вы написали это из вежливости, не желая вступать в бессмысленную дискуссию с Сулеймановым. Его статья далека от задачи трисекции угла. Он, в отличие от Вас, не отличается уважительным отношением к комментаторам и позволяет оскорбительные высказывания о великом мыслителе Архимеде.

    [Ответить]

  15. 15 Елизавета Александровна Калинина:

    Вячеслав, да, в комментариях не один человек указывает ему на его ошибки. Дискутировать с ним и в самом деле бессмысленно. Он не слушает, что ему говорят, а возражения сводятся только к тому, что, мол, вы не понимаете моей глубокой мысли. Поэтому я и написала, что все понятно. Ни на одно разумное возражение четкого ответа нет. Во всяком случае, мне так показалось…

    [Ответить]

  16. 16 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, благодарю Вас за откровенность. /Вячеслав /

    [Ответить]

  17. 17 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, прошу Вас с такой же откровенностью высказаться по поводу моих комментариев о том, что задачу трисекции угла с помощью только чистой линейки и циркуля, вопреки мнению о якобы её неразрешимости, решил Архимед. Дополнительно привожу выведенное мной алгебраическое выражение для асимптоты правильного 11-ти угольника:

    4a\sqrt{1- a^2}\cdot\left(2\sqrt{1- 4a^2 + 4a^4} – \sqrt{(1-a)/2} – \sqrt{(2 + 2a)(1- 4a^2 + 4a^4)}\right){=}0.

    [Ответить]

  18. 18 Вячеслав:

    Извиняюсь за ошибку: вместо “асимптоты” должно быть “апофемы”

    [Ответить]

  19. 19 Елизавета Александровна Калинина:

    Вячеслав, так никто же не спорит, что Архимед решил задачу о трисекции угла. Здесь важно, что задача ставилась немного иначе. Ведь ни точка E, ни точка F не находятся, если не поставить на линейке отметку. Это уже не чисто решенная исходная задача. Здесь кроме циркуля и линейки без делений на линейке должна быть засечка.

    [Ответить]

  20. 20 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, прошу исправить уравнение для апофемы 11-ти угольника в моем предыдущем комментарии: 4а√(1- а^2)•{2√(1- 4а^2 + 4а^4) – √[(1- а)/2] – √[(2 + 2а)(1- 4а^2 + 4а^4)]} = 0. Вы, как и все, кто продолжает считать задачу трисекции неразрешимой, объясняете это тем, что якобы в решении Архимеда используется линейка с засечками. Но даже при использовании такой линейки точно выполнить построение невозможно, как вообще невозможно любое графическое построение, о чем я уже писал. Поэтому ссылку на засечки следует считать не состоятельной. Повторяю, что построение можно выполнить без всяких чертежных инструментов от руки и по мнению некоторых математиков практическое построение вовсе не обязательно, нужно лишь найти алгоритм решения, как мной найдены выражения для апофем. Вы понимаете, что я решал задачи не пользуясь линейкой с засечками, а только для наглядности рисовал эскизы.

    [Ответить]

  21. 21 Елизавета Александровна Калинина:

    Вячеслав, объясните, пожалуйста, словами, что исправлять. То, что у Вас написано, я воспринимаю так, как оно у меня получилось. Первый корень нужно на всё распространить? Или что-то другое?

    Да, я Вас понимаю. Но задача ставилась именно так: решить с помощью циркуля и линейки. Т.е. указать алгоритм построения, именно графического. Разумеется, то, что этот алгоритм приводит к цели, доказывается не графически. Но сам алгоритм можно применить, используя только циркуль и линейку без делений.

    А про графически… Классе в пятом я пыталась доказать построением своей учительнице математике, что неравенство треугольника неверно ;) Она мне тогда еще все очень доходчиво объяснила :)

    [Ответить]

  22. 22 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, на моём компьютере формула представлена не полностью, в последнем подкоренном выражении после + не достает: 2а)(1- 4а^2 + 4а^4)=
    Что значит “решить с помощью циркуля и линейки”? Рисунок, изображенный в обсуждаемой статье и подобные рисунки во множестве книг, иллюстрирующие способ Архимеда, очевидно, выполнены с помощью циркуля и линейки. Любой школьник с помощью циркуля и линейки без засечек может выполнить похожее, подобное построение. Если задачу понимать таким образом, то задача решается даже школьниками. Как же можно говорить о неразрешимости задачи?

    [Ответить]

  23. 23 Елизавета Александровна Калинина:

    У меня все в порядке, вся формула есть.

    Мы так не договоримся. Можно понимать по-разному требование задачи. Я это понимаю так, как Вам написала. И так его понимали те, кто доказывал ее неразрешимость. Естественно, если вкладывать в условие другой смысл, то она вполне может оказаться разрешимой.

    [Ответить]

  24. 24 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, Вы, как многие известные математики, признаете, что Архимед теоретически решил задачу. Те, кто считает задачу неразрешимой, объясняют это особыми правилами: решение должно выполняться графически циркулем и линейкой без засечек, как это написали и Вы. Но я достаточно убедительно изложил, что по этим правилам задача решается школьниками. Я считаю, что решение заключается в нахождении точных соотношений между длинами отрезков и радиусом окружности на рисунке. Для такого решения нет необходимости точного построения и его можно выполнять от руки без циркуля и линейки и засечки на линейке здесь не причем. Построение выполняется лишь в качестве наглядной иллюстрации для нахождения алгоритма решения задачи. Таким образом задача разрешима при любых правилах. “Засечки” – это лукавство, стремление некоторых математиков, попросту заморочить головы детям и доверчивым взрослым читателям.

    [Ответить]

  25. 25 Елизавета Александровна Калинина:

    Вячеслав, смотрите, мы же с Вами согласны по всем пунктам. Архимед разделил угол на три части? Да, разделил. Сделал он это с помощью циркуля и линейки? Нет, не сделал. Понимаете, из каких-то соображений (каких, в данном случае неважно) возникла задача именно в такой формулировке. И было доказано, что именно в такой формулировке она решения не имеет. Ну да, стоит немного ослабить условие, и решение находится. Вы считаете, что условие ослабить можно. Но интерес на протяжении веков представляло именно это конкретное условие без ослабления.

    [Ответить]

  26. 26 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, почему Вы говорите, что Архимед решил задачу не с помощью циркуля и линейки? Разве описание метода Архимеда содержат какие-то элементы кроме окружности и прямых и как, если не при помощи циркуля и линейки, они строятся? Вы вероятно имеете ввиду абсолютно точное построение, но почему-то не говорите об этом. Вот в этом и скрывается лукавство сторонников неразрешимости. Если требовать абсолютной точности реальной графики (что действительно невозможно), то тогда невозможно решение ни одной задачи. Абсолютно точно невозможно провести даже реальную прямую через две заданные точки, ибо реальные точки имеют размер, а реальная прямая имеет ширину. Но математика оперирует идеальными объектами. Ни какого ослабления требований в решении Архимеда не требуется. Отрезок ЕF в идеальном представлении может быть равен радиусу окружности. Здесь проявляется парадокс математики – на основе приближенных построений получаются абсолютно точные результаты. Я ошибался, когда писал, что в наше время решение Архимеда не имеет практического значения. Дело в том, что на компьютерном калькуляторе я не мог проверить правильность уравнения для апофемы 11-ти угольника. Любые вычисления на вычислительных машинах производятся с точностью до конечного количества знаков и не являются абсолютно точными, а уравнения, полученные на основе метода Архимеда, позволяют получить результат с любой точностью.

    [Ответить]

  27. 27 Елизавета Александровна Калинина:

    Вячеслав, Архимед решил немного другую задачу. Неважно, что решение красивое и замечательное. Можно сколько угодно спорить о правомерности той постановки задачи, но поставлена она была именно так: построить с помощью циркуля и линейки без делений. Т.е. засечки делать нельзя.

    [Ответить]

  28. 28 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, формулируя постановку задачи Вы опять скрываете то, что выставляете повышенное и практически совершенно невыполнимое требование абсолютной точности построения. Потому что, если допустить приближенное построение Архимеда, то сделать это по изложенным правилам, без пресловутых засечек, проще простого. Я склонен предположить, что решая задачу, Архимед не пользовался чертежными инструментами и тот факт что отрезок EF равен радиусу он доказал после того, как предположил, что угол ХАВ равен 1/3 угла САВ. Правила о решении задачи с помощью циркуля и линейки без засечек придумали позднее, чтобы придать её статус неразрешимой. Разумеется, каждый вправе иметь собственное мнение. Я лишь призываю не навязывать его другим и прежде всего детям, а излагать им разные точки зрения, чтобы они имели возможность свободы выбора.

    [Ответить]

  29. 29 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, я забыл спросить, смогли ли Вы проверить правильность уравнения для апофемы 11-ти угольника.

    [Ответить]

  30. 30 Елизавета Александровна Калинина:

    Вячеслав, если честно, то я не проверяла. Сейчас нет ни времени, ни сил…

    [Ответить]

  31. 31 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, спасибо за ответ и прошу извинить меня бездельника за беспокойство.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вячеслав, я по возможности посмотрю. К сожалению, сейчас действительно совсем нет времени.

    [Ответить]

  32. 32 Елизавета Александровна Калинина:

    Вячеслав, если у меня правильно напечаталось, я не понимаю смысла множителей a и \sqrt{1-a^2}. Тогда сразу a=0 и a=1 — это можно отбросить. А уравнение для апофемы выписывается сразу. Если r — радиус описанной окружности 11-угольника, то апофема равна r\cos\frac{\pi}{11}. \cos\frac{\pi}{11} находится как решение алгебраического уравнения, которое получается следующим образом. Поскольку \left(\cos\frac{\pi}{11}+i\sin\frac{\pi}{11}\right)^{22}=1 и вещественная часть этого выражения тоже 1, находим ее по биному Ньютона и приравниваем к 1. Вместо \cos\frac{\pi}{11} подставляем x.

    [Ответить]

  33. 33 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, я не понимаю, как может быть а=0 и а=1. По формуле а=\cos\frac{\pi}{11} “а” не может быть равно ни нулю, ни единице. С помощью калькулятора находим приблизительно а=0,927… Моих познаний недостаточно для применения бинома Ньютона, но по моим представлениям с его помощью тоже нельзя получить точного результата. Я для проверки уравнений для апофем 7-ми и 9=ти угольников пользовался компьютерным калькулятором и получал точно 0. В случае с 11-ти угольником этого не получилось. Ещё раз прошу проверить именно этим способом, поскольку через бином Ньютона, как я понимаю, получить 0 невозможно.

    [Ответить]

  34. 34 Елизавета Александровна Калинина:

    Вячеслав, конечно же, апофема не может быть равна ни 0, ни 1. Это в Вашем уравнении так. Я вот и не понимаю, почему это осталось у Вас в уравнении. \cos\frac{\pi}{11}\approx 0.959492973 — это правильный ответ, т.е. апофема именно такая: калькулятор сказал ;) .

    [Ответить]

  35. 35 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, где Вы видите в моём уравнении, что “а” равно нулю или единице? Если даже по каким-то соображениям предположить это, то по логике это предположение должно быть отклонено. Я действительно ошибся при определении “а” для 11-ти угольника. Ваш результат правильный. Прошу ещё раз выполнить расчет по моей формуле, подставляя найденное значение “а” и сообщить мне результат.

    [Ответить]

  36. 36 Елизавета Александровна Калинина:

    В Вашем уравнении первый множитель a, отсюда 0. Подставила правильное значение апофемы в Ваше уравнение. Ответ -1.707898676, это не 0

    [Ответить]

  37. 37 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, я всё же не понимаю откуда 0. Судя по результату вашего расчета Вы подставляли в уравнение весьма приближенное десятиразрядное значение. Я забыл Вас предупредить, что следует подставлять значение с максимальным количеством знаков. На моем компьютере это 32 разряда. Я предполагал, что у Вас есть возможность расчета с большей точностью.

    [Ответить]

  38. 38 Елизавета Александровна Калинина:

    Вот 50 знаков: -1.7078986769529712934870249243671654012308829408243. Если a\cdot(\ldots)=0, то всегда будет решение a=0.

    [Ответить]

  39. 39 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, как следует из нашего случая, отнюдь не всегда. Вы видимо не поняли меня. Максимальное количество знаков должно быть не только в окончательном результате, но в первоначальном значении апофемы и во всех промежуточных результатах. Насколько мне известно 50-ти значных калькуляторов не бывает. Если Вас не затруднит, сделайте пожалуйста расчет при 32-х значной апофеме а=0,959 492 973 614 497 389 890 368 057 066 33.

    [Ответить]

  40. 41 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, Вы правы в том, что сомножители 4а√(1- а^2)можно отбросить, хотя ни “а”, ни это произведение не равны ни нулю, ни 1. По моим расчетам выражение в фигурных скобках равно приблизительно -0,124. Это выражение должно быть нулю, если выведенное мной формула верна. При подстановке “а” с большим количеством знаков возможно выражение будет приближаться к нулю.

    [Ответить]

  41. 42 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, Вы правы, приведенное мной уравнение для апрфемы 11-ти угольника не верное. Я вывел другое: 1+√[1-4а^2(1-а^2)]-2а^2=0. Но самое удивительное, что оно оказывается верно для апофем любых правильных многоугольников с нечетным числом сторон начиная с 5. У меня нет этому объяснения.

    [Ответить]

  42. 43 Вячеслав:

    И всё-же Архимед решил задачу трисекции угла! Все согласны с тем, что задача давно решена и даже существует множество способов её решения. Но со времен Ванцеля многие математики считают, что все известные решения не верны, поскольку в этих решениях не выполняются изначальные условия задачи, а именно – решение должно выполняться только с помощью циркуля и односторонней линейки без меток (засечек). Вот что пишет по этому поводу Сергей Кудряшов в статье “Задача Евклида”, опубликованной в газете “Труд 7″ № 073 от 25 апреля 2002 года:”Задача Евклида постепенно получила достаточно много способов решений с помощью геометрии. Но энтузиасты-математики при этом зачастую игнорировали её начальные условия – пользоваться только простым циркулем и линейкой без засечек и обеспечить идеальную точность построения для всех видов углов”. В отличие от большинства сторонников неразрешимости задачи Сергей Кудряшов не скрывает требования идеальной точности графического построения, вероятно забыв, что такое требование абсурдно. Ни одно реальное геометрическое построение не может быть выполнено с идеальной точностью и при таких условиях любая задача становится неразрешимой. Уже в самых “Началах” Евклида говорится, что геометрия, как точная наука, оперирует идеальными понятиями о геометрических объектах – точка не имеет размеров, линия имеет имеет только длину и не имеет ширины. Поэтому древние математики никогда не ставили перед собой такой задачи. Они лишь стремились выполнять построения с максимально возможной точностью. При такой формулировке задачи метод вставки по Архимеду обеспечивает решение задачи с помощью циркуля и линейки без засечек с такой же точностью, как и проведение прямой по двум заданным точкам. Чтобы убедиться в этом, представим последовательность построения прямой по двум точкам. Сразу положить линейку на две точки практически невозможно, поэтому положив её на плоскость, совмещаем край линейки сначала с одной, а затем со второй точкой. Но как только мы начинаем сдвигать линейку, чтобы попасть на вторую точку, линейка сдвигается с первой. В результате нескольких перемещений удается достичь хорошей точности. Для прочерчивания прямой СЕ накладываем край линейки без засечек на точку С и поворачиваем её вокруг С таким образом, чтобы угол FАЕ был примерно равен 1/3 САВ. Приложив циркуль(а лучше измеритель) к линейке,сравниваем расстояние ЕF c раствором циркуля и вращая линейку вокруг точки С, добиваемся равенства ЕF c раствором циркуля. Очевидно, что в обоих построениях можно получить одинаковую точность.

    [Ответить]

  43. 44 Вячеслав К:

    Попалась сегодня на глаза книжка “Три знаменитые задачи древности”. Поражен, что до сих пор никто не увидел очевидного решения трисекции угла (любого!) и именно удовлетворяющего изначальным требованиям задачи!
    Решение довольно простое: Строится равнобедренный треугольник с вершиной, совпадающей с вершиной заданного угла, угол делится биссектриссой пополам, затем на основании равнобедренного треуголиника строится прямоугольный треугольник с вершиной, находящейся на биссектриссе. Задача сводится ко вполне решаемой задаче трисекции прямого угла… Никаких линеек с делениями, никакого дополнительного инструмента…
    (Если подскажете как залить чертежик, нарисую в форуме. Интересующиеся могут писать на wyatcheslav@rambler.ru

    [Ответить]

  44. 45 Cергей:

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Сергей, объясните, пожалуйста.

    [Ответить]

  45. 46 Вячеслав:

    Здравствуйте Сергей, Елизавета Александровна и Вячеслав К! Предложенное Сергеем построение является приближенным, не точным решением задачи трисекции угла. Приближенных и даже более простых решений известно много. Мне очень нравится решение современного американского математика, популяризатора научных знаний, Мартина Гарднера, умершего в 2010 году. По его методу последовательных приближений (МПП) можно разделить произвольный угол на любое число n равных углов с помощью только одного циркуля (без какой либо линейки)с весьма высокой точностью (не ниже точности деления отрезка пополам с помощью односторонней линейки без засечек и циркуля). Для этого достаточно вычертить окружность произвольным радиусом и задать угол двумя точками на ней А и Б, затем отметить третью точку С на окружности на расстоянии от А, примерно равном 1/n делимого угла и раствором циркуля, равным АС, отложить от точки А в сторону точки Б n отрезков и отметить четвертую точку Д. Далее разделить дугу ДБ на n частей, уточнить раствор циркуля на 1/n ДБ и ещё раз сверить точность деления, пока не будет достигнута приемлемая точность. Чтобы практически использовать результат такого деления очевидно необходимо воспользоваться линейкой с делениями, точно также как и при любых геометрических построениях, в частности, при делении отрезка пополам. Из этого очевидна надуманность и бессмысленность запрета применения линейки с делениями при решении задачи трисекции угла и других геометрических задач .

    [Ответить]

  46. 47 Вячеслав:

    Автор статьи спрашивает, можно ли разделить на три части угол 27 градусов с помощью циркуля и линейки без засечек. Я считаю, что этот вопрос требует уточнения. Если угол 27 градусов разделить на 3 то получиться угол 9 градусов. Но можно ли построить угол 27 градусов не построив угол 9 градусов? Я предполагаю, что невозможно. А построить угол 9 градусов очень просто. Так в чем вопрос автора? Получить окончательный результат деления, т. е. построить угол 9 градусов или найти способ трисекции угла 27 градусов,который невозможно построить не построив угол 9 градусов?

    [Ответить]

  47. 48 Алек:

    Здравствуйте.
    Все три задачи (о квадратуре круга, о трисекции угла и об удвоении куба)- это задачи вовсе не на построение …
    Хотя необходимо признать, что попытки решения этих задач, именно как задач на построение с помощью линейки и циркуля, способствовали существенному развитию геометрии.
    И все же, такой контекст решения этих задач является буквально прямолинейным и в лоб. Если говорить прямо, то такой подход к решению этих задач является профанацией и не более того …
    Только непонимающие действительного смысла этих задач профаны, вынуждены были сами придумать себе условия задач и искать их решение в РАМКАХ этих условий … А после неудачных поисков догадаться поставить задачу о принципиальной разрешимости этих задач в рамках тех же условий. И, наконец, вообще выкинуть на свалку эти задачи и забыть о них, как одном из курьезов в истории развития математики (геометрии).

    А эти задачи были своеобразным тестом на пригодность …
    Как только схватился за линейку и циркуль для их решения, так сразу и свободен …, иди и играйся с этим сколько хочешь. И эти игры будут самыми полезными для тебя.

    [Ответить]

  48. 49 Вячеслав:

    Уважаемый Алек, Вы меня озадачили непоследовательностью ваших высказываний. Сначала Вы пишите, что задачи на построение “способствовали существенному развитию геометрии”, а затем называете такое решение задач “профанацией”. Вы называете профанами и непонимающими смысла трех классических задач тех, кто пытается решать их с помощью построений линейкой и циркулем. Интересно услышать ваше понимание этого смысла и если возможно ответить на мой вопрос в комментарии 47.

    [Ответить]

  49. 50 Алек:

    Здравствуйте, Вячеслав.
    Так ведь, такая Ваша “моя непоследовательность” – это вполне нормальная ситуация для рассмотрения одной и той же “вещи” с двух противоположных сторон. С одной стороны, у чайной кружки ручка находится справа, а с другой, – слева. Для каждой из этих точек зрения в своем зафиксированном состоянии вся эта ситуация с одной и той же кружкой, выглядит весьма непоследовательно … Однако кружка от этого не перестает быть реальной кружкой, и с одной-единственной ручкой.
    Иной смысл этих задач, который я предполагаю, настолько прост по своей внешней форме, насколько и неисчерпаем и глубок по своему внутреннему содержанию. Прямо сейчас и здесь я пока не имею возможности представить этот смысл в полноценном виде. Приблизительно через 2 месяца, когда закончу и оформлю работу, может, поделюсь …, если все сложится.

    Если есть интерес, то попробуйте, например, ответить на такой вопрос:
    Как выглядит «круглый квадрат»?
    Ответ на него и будет представлять собой решение задачи о квадратуре круга, в контексте того самого иного смысла.

    [Ответить]

  50. 51 Вячеслав:

    Здравствуйте Алек, Ваш пример о возможности разных взглядов на чайник с одной ручкой ещё раз свидетельствует о вашей непоследовательности. Вы правы, говоря, что с любой точки зрения чайник остается всё тем же чайником и поэтому, если построения циркулем и линейкой способствовали развитию геометрии и математики, то они способствовали с любой точки зрения, а не являются профанацией. В этом и есть ваша непоследовательность. Я готов подождать, когда Вы закончите работу, но было бы более последовательно, сначала закончить работу, а потом обвинять математиков в профанации. По поводу “круглого квадрата” считаю, что такого не может быть по определению и задача квадратуры круга заключается не в том, чтобы представить “круглый квадрат” а в том, чтобы определить длину стороны нормального квадрата по площади равного площади круга.

    [Ответить]

  51. 52 Алек:

    Вячеслав, мне как-то даже неудобно Вам здесь пояснять различие между реальной вещью (чашкой) и абстрактной оценкой её некоего качества (развитием). Речь идет именно об этой оценке (развитие/профанация), а она, в отличие от реальной вещи, по своей природе является ОТНОСИТЕЛЬНОЙ. Если и теперь непонятно, то попробуйте показать своим пальцем на такую «вещь», как «развитие» …
    Или еще …
    Одни и те же наручные часы у Вас – это результат технического развития, а висящие на шее аборигена и уже давно остановившиеся – это профанация (относительно Вас). Но для собратьев аборигенов владение таким необычным и редким атрибутом (вещью) – это также развитие, правда, оно качественно иного рода и существено отличается от Вашего.
    Теперь насчет любой точки зрения …
    А какие точки зрения Вам еще известны? (вопрос риторический, мне отвечать не надо). Понимаете, даже если Вам известна Ваша точка зрения и еще нескольких «аборигенов», то обобщение её на любые точки зрения выглядит как-то не по-взрослому (в приличном обществе это называется демагогией). А “формула”, заключающую в себе любые мнения у Вас есть?

    А вдруг Вы мне скажите что-нибудь очень полезное для моей работы, так я непременно этим воспользуюсь. Но, думаю, что Вам это не грозит, поскольку Вы чрезмерно последовательны и мыслите (да и, скорее всего, живете) по определению (кстати, чьему определению?).

    Откуда Вы знаете, в чем заключается задача?
    Пожалуйста, считайте себе как угодно и решайте задачу, как хотите …
    Спорить больше не буду.
    А «круглый квадрат» все-таки есть! ;)
    Прошу извинить меня, если невзначай чем-то обидел.

    [Ответить]

  52. 53 Вячеслав:

    Алекс, я не обижаюсь на критику и замечания, даже если они кажутся мне не справедливыми. Каждый имеет право на собственное мнение. В чем заключается задача мне известно из многих учебников и статей по математике, из интернета. Большинство считают задачу неразрешимой, но есть и другие точки зрения, например, такие как ваша и моя. Ваши рассуждения о реальных вещах, оценке их качества (понимаемой как развитие), об идущих и остановившихся часах и о “круглом квадрате” я воспринимаю как образцовую демагогию.

    [Ответить]

  53. 54 Алек:

    Вячеслав
    Меня зовут Алек!

    А Вам известно, что всё Вам известное сегодня из учебников, книг, статей, интернета и т.п., когда-то вполне конкретный человек добыл – сотворил из потаенных глубин самого себя (своей собственной сущности)?
    По сути дела, он сумел из “ничто” сделать “нЕчто”, оформить (формализовать) его для того, чтобы выразить невыразимое, как-то использовать его в своей жизни и, наконец, поделиться этим с другими людьми. А люди, вместо того чтобы воспользоваться этим бесценным указателем и сделать аналогичное в самом себе (ибо самое ценное чудо ТВОРЕНИЯ осуществлялось именно внутри того человека), т.е. самостоятельно обрести подобное невыразимое, стали играть с чужими (внешними) формочками, с придыханием обозвав их ЗНАНИЯМИ … Вот приблизительно так, сама формочка (изначально вынужденная и ограниченная описательная форма) превратилась в самостоятельное и самодостаточное поле для разнообразных своих исследований, исследований по чужим правилам, в которых ничего своего и нет …, кроме неукоснительного соблюдения правил.
    А любая реальная «вещь» и её описание – это не одно и то же, они различаются качественно. Поэтому их отождествление, подобно стремлению измерить интервал времени с помощью весов или содержание книги с помощью количества букв.

    [Ответить]

  54. 55 Вячеслав:

    Алек, прошу прощения за лишнюю букву в Вашем имени в моём комментарии 53. Мне известно, что все знания добыты трудом огромного количества конкретных людей за многие тысячелетия в результате осмысления реальной действительности. Понятно, что знания и реальная действительность – не одно и то же, это разные понятия, как форма и содержание. Каждый человек волен пользоваться готовыми знаниями, дополнять их или полностью отрицать и предлагать своё видение, поэтому Ваше утверждение, что “сама формочка изначально вынужденная и ограниченная”, ошибочно, и Вы не вправе обвинять и упрекать людей за их выбор.

    [Ответить]

  55. 56 Алек:

    Я все-таки попытался сделать то, о чем здесь говорил. Это можно посмотреть здесь http://rustimes.com/blog/post_1369139798.html
    К сожалению, от местного владельыца ресурсов мне не удолось получить какого-либо ответа на предложение о размещении этих моих материалов здесь.

    Желаю всем успехов.

    [Ответить]

  56. 57 Вячеслав:

    Здравствуйте Алек! Посмотрел по вашей ссылке статью “Геометрия точки”. Автор статьи изначально использует ложный постулат о какой-то, выдуманной им геометрии точки. Согласно постулату Евклида точка не имеет размера и не может иметь ни какой геометрии, поэтому всё содержание статьи – полная бессмыслица.

    [Ответить]

  57. 58 Алек:

    Здравствуйте, Вячеслав! Спасибо за отзыв.
    Я вовсе не претендую на истину в последней инстанции …, однако это, отнюдь, не лишает меня возможности шевеления собственными мозгами …
    Ведь, тот же Евклид, в свое время, сначала тоже формализовал свои идеи (представления) о геометрии, согласно СЕБЕ!
    Это только уже потом появились те, которые стали быть …, согласно ему … ;)

    Бывают в жизни моменты, когда появляется шанс попытаться включить собственные мозги, хотя бы для того, чтобы заметить их тотальную вымуштрованность, закостенелость и неспособность к самостоятельному функционированию, – их выключенность (или, в лучшем случае, – лишь незначительную их включенность) …
    Скажу без ложной скромности, – я и есть Ваш такой шанс … ;)

    Вот, попробуйте самостоятельно подумать и скажите (хотя бы самому себе), если точка не имеет своего размера и формы (топологии), то может ли быть (тем или иным образом существовать, в том же общем геометрическом смысле) хотя бы две различные такие точки?
    Если может …, то чем, по Вашему (или Евклиду), они могут различаться между собой? ;)

    Или, скажите, а производная функции в точке, тоже не существует?
    Если таки существует …, согласно Лейбницу или Ньютону (на Ваш выбор) …, то на чем, по Вашему (или ихнему), она (производная) в этой самой точке обосновывается? ;)

    Или все-таки крокодилы летают …, только очень – очень низенько … ;)

    [Ответить]

  58. 59 Вячеслав:

    Здравствуйте Алек! Шевелить собственными мозгами необходимо абсолютно всем. Вопрос только в том, каков результат этого шевеления. Если такой, как “геометрия точки”, то желательно, чтобы этим не засорялись мозги других, и особенно мозги молодых людей, которые пока не способны критически воспринимать подобные “творения”. Вероятно поэтому статью о геометрии точки не сочли целесообразным публиковать на данном сайте. Евклид формализовал идеи о геометрии много тысячелетий тому назад, и я не склонен утверждать, что это лишь его собственные идеи. Я полагаю, что он использовал, в частности, идеи своих предшественников. Каким бы гениальным не был человек, его гений не рождается на голом месте. Различных точек может сосуществовать, даже на бесконечно малом участке, не только две, а бесконечное количество точек. Производная функция ни в конкретной точке, ни на всей функции объективно не существует, ибо производная, как и сама функция – это плоды творения человеческого мозга. Я благодарен за предоставленный Вами шанс высказать мою точку зрения, но это не единственный мой шанс. Мне например удалось вывести уравнение для апофемы 17-ти угольника, гораздо более простое и более точное, и более информативное, чем формула Гаусса для косинуса центрального угла 17-ти угольника. Я послал эту формулу в ряд математический журналов, но пока не получил ответа. Как опубликовать мою формулу на данном сайте я не знаю, так как она содержит корни квадратные в подкоренных выражениях, также как и формула Гаусса, но в меньшем количестве.

    [Ответить]

  59. 60 Алек:

    Владислав, к сожалению, Вы что-то ответили, но вовсе не на мои вопросы …
    Поэтому и результат от этого – вполне ожидаемый …, – как всегда …
    Не могу сказать, что я не догадывался, что этим все и закончится, но всегда хочется верить в мощь настоящего момента, его живую, неожиданную, удивительную и таинственную неизвестную дельту, которая и предназначена для преподнесения разнообразных сюрпризов творения … И которую, зачастую, просто душат «согласно кому угодно …», только не самому себе!

    Еще раз желаю Вам успехов!
    Прощайте.

    [Ответить]

  60. 61 Алек:

    Прошу извинить меня, предыдущее сообщение было адресовано Вячеславу.

    [Ответить]

  61. 62 Olzhas:

    Нарисовал произвольный угол. Начал решать получилось, разделил этот угол на три равные угла. Все по условию задачи только линейка без разметки, и циркуль. Применил одну теорему. Все красиво и изящно получилось. НО попробовал применить этот метод на других углах. Нарисовал на глаз менший и больший угол. Здесь метод не сработал. Получилось, что я в первый раз начертил именно такой угол к которому есть решение.

    [Ответить]

  62. 63 Вячеслав:

    Olzhas, какую теорему Вы применили?

    [Ответить]

    Olzhas Reply:

    эту http://ru.wikipedia.org/wiki/Угол,_опирающийся_на_диаметр_окружности
    Можно вроде и без нее обойтись, по чертежу вижу. Только не могу сформулировать, описать словами пока. Только вчера решил попробовать решить задачу эту, со школьных лет забыл все названия, свойства и т.д. Вчера все заново повторял.

    [Ответить]

  63. 64 Olzhas:

    Встречал такую формулировку “Задачу на трисекцию угла можно решить, если угол равен: 45°, 22,5°,… 90/2n, где n N натуральное число” Кто может подсказать где можно найти эти решения

    [Ответить]

  64. 65 Вячеслав:

    Для решения этой задачи достаточно знать способ деления любого угла на 2. Отсюда очевидно, что 90/2= 45, 45/2= 22,5, 22,5/2=11,25 и так далее.

    [Ответить]

    Olzhas Reply:

    Нет, пишут что на 3 части равные можно разделить 90, 45, 22.5, 7,5 … 90 и 45 у меня получилось разделить

    [Ответить]

  65. 66 Olzhas:

    Вот тут например
    http://ppt4web.ru/matematika/znamenitye-zadachi-drevnosti-trisekcija-ugla.html
    Задачу на трисекцию угла можно решить, если угол равен:
    1. 90°, 45°, 22,5°,… p /2n, где n N (все эти углы образуют бесконечно малую геометрическую прогрессию со знаменателем q =1/2).
    2. 180°.
    3. 360°.

    [Ответить]

  66. 67 Вячеслав:

    Я в 65-ом комментарии был невнимателен, вместо трисекции написал о делении на 2. Представленный в 66-ом комментарии пример мне понравился. В нём говорится о невозможности трисекции любого угла c помощью циркуля и линейки без засечек и в частности невозможность трисекции углов 22,5,…Р/2n. Но там описан известный способ трисекции произвольного угла по методу Архимеда с использованием вставки.

    [Ответить]

    Olzhas Reply:

    Незнанию я вроде понял так что и 22,5,…Р/2n можно разделить циркулем и линейкой без засечек, ну это ладно посмотрю еще внимательней.
    У меня такой вопрос, про то, что писал в своем первом посте, что мне удалось разделить угол на 3 равный части. Первый раз когда начертил угол для меня он был произвольный, теперь для тех кто захочет повторить решение нужно будет знать какой это угол в градусах. Для них теперь угол заданный и не будет решением по условиям задачи?

    [Ответить]

  67. 68 vasil stryzhak:

    Как известно, знаменитые неразрешимые задачи древности сыграли значительную роль в развитии математики.В частности трисекция угла послужила созданию в 15 веке весьма точных тригонометрических таблиц, а математику Ф. Виету тригонометрического решения квадратного уравнения при помощи циркуля и линейки. После доказательства в 1837 году Ванцелем неразрешимости задачи трисекции произвольного угла при помощи упомянутых инструментов, интерес к решению задачи, как ни странно, не снизился. Очевидно, многие энтузиасты математики пробуют найти свои оригинальные способы трисекции угла пусть даже приближенные. Решения таких задач по определению погрешности было бы весьма полезным школьникам для развития вычислительных навыков.
    Изучая опубликованные и свои способы трисекции угла, пришел к выводу о возможности объективной оценки и сравнения качества различных приближенных методов. Не следует считать оригинальными способы, в которых для снижения погрешности применяются: а) отсечения от геометрически заданного угла заведомо трисектируемых углов (90⁰, 45⁰ и т.д.); б) деления на три погрешности, полученной после трисекции угла; в) многократные повторения одних и тех же ходов по кругу; г) большое количество построений, трудно поддающихся осмыслению и определению погрешности.
    Основным показателем качества приближенной трисекции угла является ее погрешность ∆t (угол между теоретической и приближенной трисектрисами), определяемая в градусах. В диапазоне от 0⁰ до 180⁰, в котором может быть задан геометрически произвольный угол, необходимо выделить углы с определённым шагом, например, 30⁰, 10⁰ или 1⁰. Для всех выделенных углов вычислить погрешность трисектрис и взять среднее арифметическое, значение которого принимается за ∆t. При шаге в 30⁰ получаем семь углов, что недостаточно для объективной оценки погрешности. Если использовать шаг в 1⁰, вычисления будут громоздкими даже при программном обеспечении. Шаг в 10⁰ можно считать оптимальным решением, при котором получаем 19 опорных углов (0⁰, 10⁰, 20⁰,…160⁰,170⁰, 180⁰) для которых собственно и производятся вычисления погрешности.
    Погрешность ∆t может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от применяемого способа вычисления. Условно можно принять секцию, прилегающую к боковой стороне заданного угла α, за основу, если она меньше α/3 – погрешность отрицательной, а если больше – положительной. Этот параметр не столь важен, но при определении среднего арифметического следует обратить внимание. Погрешности опорных углов могут менять знак на противоположный, в этом случае, суммируются их абсолютные величины.
    Вторым показателем трисекции угла является количество ходов (действий циркулем и линейкой) примененных при построении. В случае, когда два различных способа трисекции угла имеют примерно одинаковую погрешность естественно предпочтение за способом, содержащим меньшее число ходов.
    Предложенное в 45 комментарии Сергеем построение трисекции угла имеет следующую погрешность: ∆t (0 – 180⁰, 10⁰, 11х) = 0⁰,89. Здесь в скобках указано, что вычисления проводились для задаваемых углов от 0⁰ до 180⁰ с интервалом в 10⁰, построение выполнено за 11 ходов. В способе трисекции плоского угла по системе ПОКО http://www.ideasandmoney.ru/Ntrr/Details/127755 средняя ошибка при построении трисектрис составляет ∆t (0 – 180⁰, 10⁰, 20х) = 0⁰,066. Это значительно лучше, хотя и насчитывает в построении 20 ходов. В заключении привожу рисунок трисекции угла методом STRIZH-1, один из способов разработанных автором этих строк. Построение трисектрис понятно без описания. Предлагаемый способ приближенный и обладает следующей погрешностью: ∆t (0 – 180⁰, 10⁰, 10х) = 0⁰,15.

    [Ответить]

    Olzhas Reply:

    а где рисунок трисекции угла методом STRIZH-1

    [Ответить]

  68. 69 vasil stryzhak:

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Почему-то не видно рисунка (

    [Ответить]

  69. 70 Вячеслав:

    Метод ПОКО по моему мнению – не более чем шарлатанство. Нет необходимости “изобретать” новый способ трисекции угла. Очень простой способ решения этой задачи известен со времен Архимеда, метод которого по непонятным причинам не признают многие современные математики. Выполнить абсолютно точно трисекцию произвольного угла невозможно, также как невозможно выполнить любое геометрическое построения даже используя любые инструменты. Приближенное построение трисекции по Архимеду с помощью только циркуля и идеальной односторонней линейки без делений и засечек можно выполнить с точностью не менее чем деление угла пополам. Я не могу изобразить это построение, но могу описать.

    [Ответить]

  70. 71 vasil stryzhak:

    В связи с тем, что обещанный рисунок трисекции методом STRIZH-1 по каким-то причинам не вошел в 68 комментарий, привожу его описание. Из вершины геометрически заданного угла bАc как из центра, проводим дугу произвольным радиусом r, которая пересекает стороны угла в точках В и С. Построим биссектрису данного угла. Обозначим точку пересечения биссектрисы с дугой ВС буквой D. На прямой, являющейся продолжением биссектрисы DА за вершину угла (в направлении от D на А), отложим отрезок АZ равный 2r. Соединим прямыми точку Z с точками В и С. Из точки D как из центра строим дугу радиусом R равным 2r, пересекающую отрезки ZВ и ZС соответственно в точках M и N. От точки М и точки N проводим прямые через вершину угла (точку А), которые пересекают дугу ВDС и являются приблизительными трисектрисами заданного угла.

    [Ответить]

  71. 72 Вячеслав:

    Метод STRIZH-1 очевидно позволяет выполнить приближенное построение трисекции угла. Он напоминает метод Архимеда, который более прост и главное метод Архимеда обеспечивает теоретически абсолютно точное построение, чего не обеспечивает метод STRIZH-1. Предложенный метод STRIZH-1 можно упростить и приблизить к методу Архимеда если из вершины угла А провести не дугу, а полную окружность радиусом r и не проводить дугу из центра D.

    [Ответить]

  72. 73 vasil stryzhak:

    Вячеслав, в методе трисекции угла STRIZH-1 даже незначительное изменение величины радиуса R или смещения положения центра дуги неизбежно влечет к увеличению погрешности ∆t. В этом можно убедиться, даже не проводя вычислений, при графическом построении.
    Все геометрические построения являются решениями какого-либо уравнения, причём коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Например, хорда, стягивающая 1/3 часть дуги произвольного угла, связана с ее радиусом следующей зависимостью:
    x^3-3x+2sin(α/2)=0.
    Предлагаемое уравнение позволяет вычислить длину «заветного» отрезка х, который точно делит на три дугу задаваемого угла α. Выдающиеся математики древности решили задачу трисекции угла при помощи невсиса и некоторых кривых, по сути, построением решения не полного кубического уравнения. Циркулем и линейкой возможны построения решений линейных и квадратных уравнений. По этой причине не может идти речь о теоретически точной трисекции угла указанными инструментами. Но в тоже время, для увлеченных математикой, имеется неограниченное поле деятельности в нахождении оригинальных методов трисекции угла высокоточных при графическом построении и задач на вычисления.
    С интересом ознакомлюсь с малоизвестными или авторскими способами трисекции угла.

    [Ответить]

  73. 74 Вячеслав:

    vasil stryzhak, предлагаемое Вами уравнение в большинстве случаев позволяет вычислить длину отрезка х только с некоторым приближением, а не абсолютно точно. Я, как и Вы писал, что циркулем и линейкой, даже с засечками, невозможно выполнить абсолютно точно графическое построение. Но метод Архимеда теоретически обеспечивает абсолютно точную трисекцию произвольного угла, даже не пользуясь циркулем и линейкой, а выполнив в качестве иллюстрации, эскиз от руки. Доказательство точности метода Архимеда основано на теореме о величине угла с вершиной вне окружности. Согласно этой теореме на вашем рисунке с моим изменением, угол BZC= 1/2(BAC-MAN). В частном случае этой теоремы, при МА=r, угол BZC=1/3(BAC). При желании выполнить трисекцию по Архимеду с достаточной точностью при помощи циркуля и идеальной линейки без засечек и делений, я предлагаю следующий способ. Выполняем построение по вашему рисунку с моим изменением и обозначим точку пересечения окружности с биссектрисой D1. Из точки М делаем засечку на биссектрисе DZ радиусом r и получаем точку Z1. Соединяем точку Z1 с точкой В, получаем точку М1. Углы М1Z1D1 M1AD1 будут достаточно близкими 1/3-ей угла ВАС. При желании можно продолжить уточнение построения таким же способом.

    [Ответить]

  74. 75 vasil stryzhak:

    Вячеслав, часто Ваши комментарии, как правило, начинаются с отрицательных умозаключений несоответствующих действительности. Например, в последнем комментарии заявляете, что предложенное мною уравнение в большинстве случаев позволяет вычислить длину отрезка х только с некоторым приближением, а не абсолютно точно. Создается впечатление: Вы не проводите какого либо математического анализа или не можете. Советую, прежде чем сделать опровержение, аргументируйте его.
    Предложенное уравнение ничем не лучше, но и не хуже формулы Ванцеля и тригонометрической функции тройного угла. Все они созданы на свойствах трисекции угла, а различные потому, что отражают взаимосвязь других отрезков. Геометрически зададим угол α, произвольным радиусом r построим дугу из вершины как из центра, пересекающую его стороны. Проведем хорду у. Определяемые из построения отрезки r и у, связаны с отрезком х (хорды, стягивающей ⅓ часть дуги угла α) следующей зависимостью: x³ – 3r²x + r²y = 0.
    Выражение получено на основании отношений отрезков угла разделенного на три равные секции. Примем радиус дуги равным единичному отрезку r=1, выразим через угол α значение хорды y=2rsinα /2. Подставим новые значения в выше описанное выражение. В результате получаем в стандартном виде уравнение трисекции угла, о котором шла речь в 73-ем комментарии:
    x³ – 3x + 2sinα /2= 0.
    Вячеслав, я ознакомился с Вашим приближенным методом трисекции по Архимеду. Понял идею способа, так как сам строил нечто подобное в поиске лучшего варианта. Описание не завершено проведением трисектрис, в виду чего непонятно какой угол из двух взять за основу, по причине их неравенства. Остановился на угле Z₁M₁D₁, с лучшим показателем трисекции. Предложенный метод имеет следующую погрешность: ∆t(0-180⁰,10⁰,12х) = 0⁰,32. Считаю результат неплохим, метод достаточно оригинальным. В заключение привожу значение погрешности опорных углов.

    α⁰ 10 20 30 40 50 60 70 80 90
    ∆⁰ 5,3E-07 1,7E-05 0,0001 0,0005 0,0017 0,0043 0,0097 0,0195 0,0363

    α⁰ 100 110 120 130 140 150 160 170 180
    ∆⁰ 0,0638 0,1072 0,17357 0,2729 0,4190 0,6314 0,9375 1,3765 2,0053

    [Ответить]

  75. 76 Вячеслав:

    vasil stryzhak, Вы не согласны, что приведенное Вами уравнение 3-й степени в большинстве случаев не может быть решено абсолютно точно и считаете это утверждение необоснованным. По моему это утверждение очевидно, поскольку один их членов этого уравнения (Sina) в большинстве случаев не имеет абсолютно точного значения. Например, Sin45=0,7… или 0,7071… и т.д. Далее Вы пишете, что в описании метода Архимеда непонятно, какой из двух углов следует принять за 1/3 угла ВАD. Как я уже писал, углы M1Z1D1 M1AD1 будут примерно равны и их можно брать за решение трисекции, а точность трисекции можно повышать, пока это позволяет графическое построение. В идеале, когда MnZn=MnA метод Архимеда дает абсолютно точное решение, но для алгебраического решения нет надобности добиваться высокой точности реального графического построения. Об этом свидетельствует приведенное мной уравнение для апофемы правильного 9-ти угольника в комментарии 3.

    [Ответить]

  76. 77 vasil stryzhak:

    Вячеслав, после аргументации стало понятно, что Вы имели в виду. Внимательно читайте текст и не перетолковывайте по-своему. Специально для Вас повторю фрагмент 73-го комментария: «Предлагаемое уравнение позволяет вычислить длину «заветного» отрезка х, который точно делит на три дугу задаваемого угла α». Здесь речь о точности вычисления не ведется, и нет словосочетания «абсолютно точно». При теоретическом рассмотрении величины отрезка х достаточно указать корень не полного кубичного уравнения выраженный формулами Кардано. Точность же практического построения в связи с несовершенством измерительных инструментов на много порядков ниже вычисляемых значений, например калькулятором. Поэтому для графического выполнения трисекции угла вычисленным отрезком х слово точно уместно. Об иррациональности в большинстве случаев значений sin α и корней показательных уравнений, а также приводимого Вами примера sin 45⁰=1/√2 известно даже школьникам. Считаю дискуссию по данному вопросу завершенной.
    Кстати, из предложенной формулы трисекции угла, не сложно получить другое уравнение для апофемы правильного 9-ти угольника:
    8√(1-а²)³ – 6√(1-а²) + √3 = 0.
    Предлагаю следующий метод трисекции угла. В связи с тем, что описание построения в краткой форме приведено на рисунке, остановлюсь на идее способа. При делении отрезком АР дуги ВN на три части, точка В₃ выходит за пределы геометрически заданного угла на величину хорды NВ₃, а при аналогичном делении дуги СM, точка С₃ не доходит до стороны угла на отрезок С₃M. Следовательно, дуга DZ, которую можно точно делить на три отрезком АР, должна располагаться между этими упомянутыми дугами. Приблизительно радиус этой дуги равный ОZ можно определить если разделить отрезок MN на части MZ и ZN пропорционально хордам С₃M и NВ₃. Данное деление проводится на основании теоремы о пропорциональных отрезках.

    [Ответить]

  77. 78 vasil stryzhak:

    В 77-ом комментарии рисунок трисекции угла методом Strizh-2 отобразился не совсем качественно. По этой причине повторно добавляю рисунок в другом формате в надежде на лучший результат. Для исключения дублирования прошу руководителя сайта удалить худший вариант.

    [Ответить]

  78. 79 Вячеслав:

    vasil stryzak, известно, что любое алгебраическое уравнение можно представить в ином виде путем тождественных преобразований. Ваш 78-й рисунок мне также не ясен, как и предыдущий. Мне не понятно, что Вы хотите ими показать. Методов приближенной трисекции угла может быть сколь угодно и добавление ещё одного не принципиально.

    [Ответить]

  79. 80 vasil stryzhak:

    Вячеслав, Вам неясен метод приближенной трисекции угла изображенный на рисунке, могу сделать более подробное описание. Здесь я поделился с единомышленниками довольно высокоточным способом графического выполнения трисекции угла. Если бы данный сайт предназначался, например, для любителей пива, то Ваш вопрос был бы вполне логичным. Действительно, теоретически нет ограничений на количество приближенных решений трисекции угла выполняемых циркулем и линейкой. Об этом я писал и ранее. Их, в отличии представления некоторых, не так уж много, особенно оригинальных и высокоточных (∆t<0⁰,1), то есть таких, у которых при графическом выполнении невозможно выявить погрешность трисекции. Поиск приближенных методов сродни решению головоломок и не каждому по плечу. По этой причине они представляют интерес для любителей математики, а определение величины погрешности, как задач повышенной трудности с составлением программы на вычисление.
    Если у Вас появиться что-либо новое по обсуждаемой теме, дайте знать.

    [Ответить]

  80. 81 Вячеслав:

    vasil stryzhak, ваш метод трисекции наверное можно рассматривать как головоломку. Но условия головоломки всё же должны быть понятны, в частности масштаб рисунка желательно увеличить.

    [Ответить]

  81. 82 vasil stryzhak:

    Вячеслав, масштаб рисунка невозможно увеличить из-за ограничений на сайте. По этой причине приведу подробное описание трисекции угла методом Strizh-2. На стороне геометрически заданного угла аОb и произвольном расстоянии от его вершины отметим точку А. Далее на этой же стороне откладываем последовательно два отрезка АВ и ВС равных ОА. Из точки О как из центра проводим три дуги, соответственно АР, ВN (с продлением за сторону угла Оb) и СМ. Дугу АР стянем хордой и ее длину применим за основу. Раствором циркуля равным хорде АР от точки В на дуге ВN делаем первую засечку и получаем точку В₁, далее уже от точки В₁ на данной дуге тем же радиусом проводим вторую засечку и получаем точку В₂, а от точки В₂ аналогичным образам строим точку В₃ за пределами угла. Не изменяя раствора циркуля и повторяя выше описанный способ уже на дуге СМ, последовательно строим точки С₁, С₂ и С₃. Проводим хорды NВ₃ и С₃М. На продолжении хорды NВ₃ откладываем отрезок В₃F равный хорде С₃М. Соединяем точки F и М прямой и параллельно ей проводим другую прямую через точку В₃, которая пересекает сторону угла в точке Z. Точка Z делит отрезок NМ на два отрезка NZ и ZМ пропорционально хордам NВ₃ и С₃М. Из точки О как из центра радиусом равным отрезку ОZ проводим дугу ZD. Из точки D как из центра радиусом равным хорде АР на дуге ZD делаем первую засечку и получаем точку D₁, а из точки Z аналогично строим вторую точку D₂. Соединяем вершину угла О с точкой D₁ и точкой D₂. Отрезки ОD₁ и ОD₂ являются приблизительными трисектрисами угла аОb. Средняя погрешность трисекции ∆t=0⁰,063.

    [Ответить]

  82. 84 vasil stryzhak:

    Решение любой поставленной геометрической задачи может быть выполнено на основании определенных свойств фигуры или ее элементов. Например, трисектриса любого угла обладает одним замечательным свойством, которым грех не воспользоваться для выполнения трисекции угла циркулем и линейкой. Свойство заключается в следующем: только трисектриса пересекает дугу и хорду произвольного угла в точках равноудаленных от точки расположенной на боковой стороне угла и сопряженной с дугой и хордой.
    Рассмотрим решение упомянутой задачи с описания построения методом Strizh-3. Из вершины геометрически заданного угла aOb как из центра, проводим дугу произвольным радиусом, которая пересечет стороны угла в точках А и В. Соединим полученные точки хордой. Построим биссектрису данного угла и обозначим точку пересечения биссектрисы с хордой АВ буквой С. Затем на этой хорде построим точку D с таким расчетом, что бы отрезок DC составлял 1/4 часть отрезка ВС. Из точки В как из центра кривизны проведем две дуги. Первая дуга построенная радиусом равным отрезку ВС пересечет дугу АВ в точке С₁, а вторая дуга – радиусом BD соответственно в точке D₁. Проведем хорды BC₁ и BD₁. Заметим следующее, что согласно выполненному построению ВС = BC₁, а BD = BD₁. Далее проведем первою прямую через точки C₁ и С, вторую прямую через точки D₁ и D за вершину угла aOb, где они пересекутся. Обозначим точку пересечения этих прямых буквой Р и примем ее за полюс трисекции. Соединим прямой линией полюс трисекции с вершиной заданного угла и продлим ее до пересечений с хордой АВ в точке Т и дугой AC₁D₁B в точке Т₁. Точки Т и Т₁ равноудалены от точки В по построению. Следовательно, прямая РТ₁ является трисектрисой заданного угла в виду того, что обладает ее свойствами, описанными в начале комментария.

    [Ответить]

  83. 85 Вячеслав:

    vasil stryzhak, трисектрисы пересекает хорду произвольного угла в точках НЕ равноудаленных от точки расположенной на боковой стороне угла. Ваш очередной метод построения трисектрис Strizh-3 также сложен и не точен при практическом построении, как и предыдущие.

    [Ответить]

  84. 86 vasil stryzhak:

    Вячеслав,непонятен смысл изложенного общими фразами комментария,особенно первого предложения. Аргументируйте и более ясно опишите Ваше умозаключение,иначе создается впечатление: оно взято с потолка.

    [Ответить]

  85. 87 Вячеслав:

    Что же тут непонятного. Проведите на вашем рисунке вторую трисектрису и обозначте точки пересечения с окружностью и с хордой АВ соответственно Т2 и Т3 Треугольники ОТБ и ОТТ3 имеют только по одному одинаковому углу равному 1/3 угла АОБ и одну общую сторону ОТ, значит остальные стороны и углы у них разные и стороны ТВ и ТТ3 не могут быть равными, что очевидно даже визуально.

    [Ответить]

  86. 88 vasil stryzhak:

    После аргументации прояснилось: ведете речь совсем не относящуюся к методу Strizh-3. На моем рисунке изображена одна трисектриса и в описании способа трисекции угла нет никакой ссылки на отрезок, расположенный на хорде между двумя трисектрисами. Следовательно, выводы 85-го комментария на таком абстрактном «основании» ложны …, всего хорошего.

    [Ответить]

  87. 89 vasil stryzhak:

    Есть основания предположить: не всем интересующимся трисекцией угла, возможно известно свойство трисектрис, упомянутое в 84-ом комментарии, на котором собственно основан метод Strizh-3. По этой причине привожу описание рисунка, согласно которого не сложно определить оговариваемое свойство.
    Из вершины О угла как из центра построим до пересечения его сторон дугу АВ и стянем ее хордой. Проведем две трисектрисы и будем теоретически считать, что они делят угол АОВ на три равные секции. Первая трисектриса пересечет хорду в точке Т, а дугу в точке Т₁, а вторая – соответственно в точках Р и Р₁. Соединим все четыре точки на дуге последовательно хордами АР₁, Р₁Т₁ и Т₁В. Здесь углы РТО и Р₁Т₁Т равны как соответственные (АВ//Р₁Т₁), углы Р₁Т₁Т и ТТ₁В равны по построению (∆Р₁ОТ₁ = ∆Т₁ОВ), в свою очередь угол РТО равен углу Т₁ТВ. Следовательно в треугольнике Т₁ТВ углы при основании (стороне Т₁Т) равны, то есть он равнобедренный. Тогда ТВ = Т₁В или иначе говоря точки Т и Т₁ равноудалены от точки В, что и требовалось доказать.

    Воспользуемся рисунком трисекции угла АОВ равного α , с целью вывода формулы предложенной в 75-ом комментарии для определения хорды, стягивающей 1/3 часть дуги. Из равенства выше описанных углов следует: выделенные на рисунке синим цветом углы, равны (π – α)/2, а углы – зеленым цветом соответственно 1/3 α. Введем следующие обозначения для отрезков: ОВ = r; AB = y; P₁T₁ = x; OT = t; PT = z; тогда TT₁ = r – t. Согласно подобия треугольников Р₁ОТ₁, РОТ и Т₁ТВ, запишем тройную пропорцию:
    x/r = z/t =(r – t)/x.
    На основании пропорции составим систему трех уравнений с тремя неизвестными (х; z; t)
    xt = rz,
    x² = r(r – t),
    z = y – 2x.
    Решим систему уравнений относительно неизвестной х, где r и y значения, определяемые из построения угла,
    x³ – 3xr² – r²y = 0.

    [Ответить]

  88. 90 Вячеслав:

    Построения и вывод уравнения в 89 комментарии понятны, за исключением знака перед (r^2)*y, у меня получился +. Но что следует из этого уравнения? Не понятно в 84 комментарии, почему отрезок DC должен составлять 1/4BC.

    [Ответить]

  89. 91 vasil stryzhak:

    Действительно, в связи с опечаткой, перед членом r²y кубичного уравнения следует записать знак (+), как отображено в 75-ом комментарии.
    Казуистические высказывания о методах трисекции угла и вопросы типа: «Но что следует из этого уравнения?» – вызывают недоумения. Это аналогично встречному вопросу: «Что проку от вашего присутствия на сайте трисекции угла?» Отмечу следующее: убедившись в отсутствии аналога предлагаемого уравнения трисекции угла в литературе и интернете, мною было принято решение восполнить образовавшийся пробел. Зависимость отрезков угла разделенного на три секции описанное уравнением дает более наглядное представление о знаменитой задачи древности.
    Что касается отрезка DC, то не обязательно он должен составлять 1/4 СВ. Например, положение точки D вполне допустимо несколько смещать влево или право. В любом случае прямые С₁Р и D₁Р пересекутся в точке Р – полюса трисекции, ввиду равенства отрезков DВ и D₁В по построению.

    [Ответить]

  90. 92 Вячеслав:

    Отрезки DB и D1B равны по построению и прямая D1D пересечет прямую С1С в точке Р. Но если сместить точку, то новая прямая (обозначим её Е1Е)будет проходить под другим углом к АВ, также как различны углы наклона прямых С1С и D1D. Следовательно точка пересечения новой прямой Е1Е с прямой С1С изменит своё положение и не будет совпадать с первоначальным полюсом Р и мы получим новое расположение прямой ТТ1, которая по вашему является трисектрисой. Из сказанного очевидно, что прямая ТТ1 трисектрисой не является, а отрезки ВТ и ВТ1 не равны.

    [Ответить]

  91. 93 vasil stryzhak:

    Приводимое описание не является доказательством. Представим: из общей точки Р выходят расходящимся пучком три луча РС₁, РD₁, РЕ₁ и пересекают прямую АВ, расположенную наклонно к ним, последовательно в точках С, D, Е. Точка Е смещена относительно D, а прямая ЕЕ₁ проходит под другим углом к АВ нежели другие лучи – все как у вашем рассуждении, но лучи то исходят из одной точки. Следовательно, возможен и такой вариант, стало быть, утверждение основано на предположении.
    Из точки В как из центра (см. аналог рис. Strizh-3) проведем не две, а например четыре дуги. Через парные точки, образованные пересечением дуг с дугой АВ и ее хордой, построим прямые пересекающиеся в общей точке Р. Изгиб дуги АВ, образно выражаясь, «фокусирует» прямые на полюсе трисекции. По этой причине для определения полюса можно использовать любую пару из построенных прямых. Если провести произвольно прямую от точки Р до пересечения в указанном участке хорды и дуги АВ, то проявится обратное свойство и образованные пересечением точки будут равноудалены от В. Следовательно прямая соединяющая полюс и вершину угла – трисектриса.

    [Ответить]

  92. 94 Вячеслав:

    Из общей точки можно провести сколь угодно расходящихся лучей, такой вариант возможен, но из этого ни чего не следует, потому что через четыре пары точек построить прямые пересекающиеся в общей точке Р невозможно, изгиб дуги АВ не сфокусирует все прямые. Ни одна из этих прямых не будет трисектрисой. Трисектрисы должна проходить через центр О, как это следует из рисунка 89.

    [Ответить]

  93. 95 Артем:

    vasil stryzhak, в 73 комментарии пишете: «Циркулем и линейкой возможны построения решений линейных и квадратных уравнений. По этой причине не может идти речь о теоретически точной трисекции угла указанными инструментами». Далее уже в 84 комментарии предлагаете точный метод трисекции угла. Здесь явное противоречие. Решили привлечь внимание к заведомо приближенному способу? Так впрочем, поступают многие, например, http://aids7miracles.narod.ru/razum.htm – критерий разума.

    [Ответить]

  94. 96 vasil stryzhak:

    Артем, я не сомневаюсь в неразрешимости задачи трисекции угла циркулем и линейкой и в качестве подтверждения доказательства Ванцеля привел уравнение, отражающее кубичную взаимосвязь отрезков в задаче. Что же касается предложенного мною третьего метода, то при тщательном графическом выполнении трисекции различных углов не обнаружил погрешности. В описании не делал акцент на абсолютную точность построения. Решил, возможно, в процессе обсуждения выявится ошибка. На досуге составлю программу вычисления погрешности, тогда и расставлю все точки над i. Мне не зачем привлекать особое внимание именно к данному методу, так как есть и другие, среди которых один точный. Он похож на решения известные со времен Гиппократа и Архимеда с помощью невсиса.

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    vasil stryzak, в конце 96-го комментария Вы признаете, что есть точный метод решения задачи трисекции угла по Архимеду с помощью невсиса, а в начале не сомневаетесь в её неразрешимости. Как объяснить такую непоследовательность? По вашему примеру я попытался решить трисекцию углов 120 и 60 градусов с возможно большей точностью путем графических построений и получил два алгебраических выражения и два соответствующих угла:
    tg a1 = √3/5=0,346410… , a1 = 19,1… градуса; Sin a2 = 5/8√3 = 0,3608439… , a2 = 21,1520… градуса. Усреднив эти углы получим (а1+а2)/2=20,1293… , погрешность менее 0,13 градуса. Показать эти графические построения к сожалению не умею. В литературе считается точное построение угла 20 градусов невозможным.

    [Ответить]

    vasil stryzhak Reply:

    Вячеслав, Ваше умозаключение не верное, все время путаете два различных метода трисекции угла: с использованием только циркуля и линейки и способом, в котором применяется невсис.
    Касательно трисекции углов 120⁰ и 60⁰, следует сказать, все-таки знаменитая задача древности подразумевает деление произвольно заданного геометрически угла в диапазоне от 0⁰до 180⁰. В предлагаемом примере приближенной трисекции единичного угла даже усредненное значение имеет значительную погрешность. Не мешало бы улучшить качество трисекции угла в 60⁰ на несколько порядков, желаю успехов.

    [Ответить]

  95. 97 Артем:

    vasil stryzhak, во-первых, что можете сказать о величине погрешности трисекции способом критерий разума. Во-вторых, рассматривая Ваш метод Strizh-3 (84 комментарий) обратил внимание: при увеличении задаваемого угла aOb прямая РС1 приближается к вершине угла О, а РD1 наоборот – отдаляется. Следовательно, может наступить такое положение, когда они окажутся на одинаковом расстоянии от вершины. Тогда углы С1РТ1 и Т1РD1 станут равными, а прямая РТ1 проходящая через точку О в этом случае трисектрисой задаваемого угла. Таким образом, существует один угол с точной трисекцией в предлагаемом методе, а в остальном он приближенный, возможно располагая малой погрешностью.

    [Ответить]

  96. 98 vasil stryzhak:

    Артем, в методе Критерий разума средняя погрешность имеет следующее значение – ∆t(0-180⁰;10⁰) = 0⁰,050. Это относительно неплохой результат соизмеримый с ПОКО – ∆t(0-180⁰;10⁰) = 0⁰,066 и Strizh-2 – ∆t(0-180⁰;10⁰) = 0⁰,063. По этой причине их можно условно объединить в одну группу по показателю погрешности. В тоже время, они совершенно по-разному решают задачу трисекции угла.
    С Вашим мнением по поводу метода Strizh-3 нельзя не согласиться, хотя не все так просто. Представим себе анимацию расположения прямых РС₁ и РD₁ на 84 рисунке в процессе изменения величины задаваемого угла от 0⁰до 180⁰. Когда он острый, данные прямые будут находиться по одну сторону и выше вершины угла О. Далее, по достижении задаваемого угла значения 100⁰,671…, прямая РD₁ совпадет с вершиной угла и станет трисектрисой данного угла. Затем при угле oAb равном 150⁰,555… прямые РС₁ и РD₁ расположатся по разные стороны и равноудалено от вершины угла. Наступит положение, описанное Вами в 97 комментарии. При максимальном значении задаваемого угла в 180⁰, уже прямая РС₁ проходит через точку О и становится трисектрисой.
    Из выше сказанного следует: предлагаемый метод точно делит три угла, а в общем он приближенный. Средняя погрешность составляет – ∆t(0-180⁰;10⁰) = 0⁰,00076. По сравнению с тремя методами трисекции угла, упомянутыми в начале комментария, он имеет погрешность почти на два порядка ниже. Угловую погрешность можно выразить и через линейную ∆l на дуге радиусом в 100 мм. Тогда для метода Strizh-3 она составит ∆l = 0.0013 мм.
    Возможно, Вы располагаете какими либо наработками по обсуждаемой теме – поделитесь.

    [Ответить]

  97. 99 Артем:

    vasil stryzhak, в свое время интересовался задачей трисекции угла, правда, понимая ее сложность, не строил перед собой больших планов, но одним из наиболее удачных приближенных способов поделюсь. На рисунке изображено графическое построение трисекции угла. Здесь произвольным радиусом из вершины угла bАс проведена дуга, пересекающая его стороны в точках В и С, которые в свою очередь соединены хордой. Биссектриса заданного угла пересекает хорду ВС в точке К, от которой на продолжении биссектрисы отложим отрезок КF равный двойному значению радиуса дуги (отрезка АВ). Продлим биссектрису и в обратном направлении за вершину заданного угла. На хорде от точки К отложим отрезок КS равный АК, а далее уже из точки А как из центра проведем дугу радиусом равным АS, которая пересечет продолжение биссектрисы в точке О. Построим две прямые, первую через точку В, вторую через С параллельно биссектрисе. Из точки О проведем дугу радиусом равным ОF до пересечения с построенными прямыми в точках Р и N. Соединим полученные точки с вершиной заданного угла. Отрезки ОР и ОN – трисектрисы угла bАс.
    Произвел расчет погрешности трисекции с шагом в 10 градусов, получил 18 значений, сумму разделил на 19, поступил аналогично Вашему предложенному способу вычисления среднего арифметического в 68 комментарии. В результате средняя погрешность метода составила 0,00903 градуса.
    Разъясните, почему необходимо учитывать 19-ое значение в 0 градусов?

    [Ответить]

    Артем Reply:

    Опечатка, правильно следует читать:”Отрезки АР и АN – трисектрисы угла bАс”.

    [Ответить]

  98. 100 vasil stryzhak:

    Артем, Ваш приближенный метод разработан на основании механического способа (с применением невсиса) деления на три равные части любого угла, который был известен Гиппократу и описанный в начале страницы обсуждаемой темы. Естественно, согласно графического построения, на первый взгляд логически следовало бы дугу РFN провести из токи А радиусом АF = R(2 + cos α/2), где R = АВ, а α – значение задаваемого угла. В этом варианте трисекции угла средняя погрешность составляет ∆t(0-180⁰; 10⁰) = 0⁰,13. Возможно, данный вариант Вас не устраивал, по этой причине увеличили радиус дуги на отрезок ОА = √2Rcos α/2. Применение не очевидного, но в тоже время простого решения, позволило значительно сократить погрешность предложенного способа.
    Относительно Вашего вопроса: 19 значение (точнее первое) в 0⁰ при вычислении среднего арифметического необходимо использовать, что повышает объективность вычисления. В этом случае можно сказать учитывается и значения задаваемого угла от 0 до 10 градусов, как например, в случае использования шага в 1⁰. Среднее арифметическое с шагом в 10⁰ незначительно отличается от шага в 1⁰, все зависит от метода трисекции и может достигать максимально 10 -15%.

    [Ответить]

  99. 101 Артем:

    vasil stryzhak, в общих чертах Вы верно за меня сформулировали идею описанного мною метода трисекции угла. По этой причине не буду на нем останавливаться. В рамках обсуждаемой темы, изложите свое мнение по поводу возможности применения с практической точки зрения приближенных методов трисекции угла. Существует ли решения приближенных способов задачи намного лучшими показателями погрешности, достижим ли в этом плане теоретический предел?

    [Ответить]

  100. 102 Вячеслав:

    Предлагаю достаточно точный способ графического построения угла 1 градус: 1)на горизонтальной прямой строим окружность единичным радиусом R=1 с центром в точке О,одну из точек пересечения окружности с прямой обозначим А, от точки А делаем засечку на окружности радиусом R и обозначаем точку пересечения В, соединяем точку В с центром О и с точкой А, получаем равносторонний треугольник АВО, из точки А проводим биссектрису АЕ угла ВАО, она же перпендикуляр к ВО, угол ОАЕ=30º,величина АЕ=√3/2 и ОЕ=1/2. 2)проводим биссектрису ОД угла АОВ и биссектрису ОМ угла ВОД, ВОМ=15º, ОМ пересечет АЕ в точке Р, РЕ=(1/2)*tg15º, АР=АЕ-РЕ=(√3-tg15º)/2. 3)Разделим РЕ на 8 и отложим отрезок РЕ/8 от точки А на окружности, получим точку К, тогда угол АОК =arc Sin(PE/8)=arc Sin 0,0167468…=0,959567…º. Погрешность составляет 0,04º. Имея угол 1º можем построить практически любые углы. 360º/4 + 360º/5 – 2º = 160º, 160º/2=80º, 80º/2= 40º, 40º/2=20º и т. д.

    [Ответить]

  101. 103 Владислав Агафонов:

    Трисекция угла производится довольно просто, причем решение лежит на поверхности.
    Имеем угол с центром “О” и лучами “А” и “В”. Чертится дуга произвольного радиуса “R” из центра вершины угла “О” внутри угла между лучами “а” и “b”, точки пересечения дуги и лучей “А” и “В” соответственно, потом чертится вторая дуга с началом в точке “А”, проходящая через угол и выходящая за пределы нашего угла и центром расположенным вне этого угла с тем же радиусом “R”. На второй дуге циркулем откладываются три равные части, конец третьей части дуги примем за точку “С”, а промежуточные точки “D” и “E”. Полученный дуги “АВ” и “АC” делим циркулем и линейкой без делений пополам. Проводим прямую через полученные точки середины дуг, а также проводим прямую через точки “В” и “C”. Находим точку пересечения построенных прямых “F”, проводим прямые между точками “F” и “D” и между “С” и “E”. Отмечаем точки пересечения прямых “FD” и “FE” с первой дугой “АВ”. Проводим прямые между найденными точками и центром “О” нашего угла, построенные прямые делят наш угол на три равные части, с помощью данного метода можно делить угол на любое количество частей.
    Почему метод лежит на поверхности? Отвечаю.
    Существует метод деления отрезка прямой на равные части с помощью линейки и треугольника, суть которого в построении из одного из концов отрезка луча под произвольным острым углом и откладывании на полученном луче с помощью циркуля равных отрезков с последующим построением прямых параллельных прямой между концами имеющегося отрезки и полученного. Так вот если представить что имеющийся отрезок это часть дуги острого угла с центром равным бесконечности, а проводимые параллельные линии между концами отрезков и отложенными точками второго отрезка все таки являются прямыми пересекающимися в точке равной бесконечности то все встанет на свои места.

    [Ответить]

    Владислав Агафонов Reply:

    собственно вот графическое изображение процесса[img]http://ounce.ru/Angle_trisection.gif[/img][float=left]

    [Ответить]

  102. 104 Вячеслав:

    Трисекция произвольного угла большинством математиков считается неразрешимой задачей, что доказано Ванцелем, поэтому решение этой задачи на поверхности не лежит. Я в 102 комментарии предложил не решение задачи трисекции, а способ приближенного построения угла в 1 градус.

    [Ответить]

    Владислав Агафонов Reply:

    Тогда вперед математически опровергать предложенный мною метод трисекции угла. Вам предложен конкретный вариант решения или вы боитесь что все таки решение верно?

    [Ответить]

  103. 105 Вячеслав:

    Я не смог найти графическое изображение вашего метода. Изобразите его на данном сайте и опровергните Ванцеля.

    [Ответить]

    Владислав Агафонов Reply:

    Копируйте любую ссылку из двух, сюда гифки не лезут.

    [Ответить]

  104. 106 Владислав Агафонов:

    [img]http://ic.pics.livejournal.com/sportivecat/70536110/483/483_900.gif[/img][float=left]

    [Ответить]

  105. 107 vasil stryzhak:

    Вячеслав, после ознакомления с 102 комментарием, решил высказать свое мнение относительно предложенного способа приближенного построения угла в 1⁰. Здесь Вы отклонились от темы трисекции угла, и перешли на построение углов с помощью циркуля и линейки. Практические построения углов, приводимые в качестве примера (160⁰, 80⁰, 40⁰ и 20⁰) с применением угла в 1⁰ непривлекательны, так как насчитывают большое количество ходов и имеют не высокую точность. Проще провести трисекцию угла в 60⁰ воспользовавшись, каким либо хорошим приближенным методом.
    Если рассматривать предложенный метод в качестве задачи на лучший вариант построения угла в 1 градус с помощью циркуля и линейки, то он, очевидно, представляет для любителей математики интерес. Суть предложенного Вами построения понятна и теоретически в основном верна. В описании имеются недочеты. Не следовало бы указывать значения отрезков АЕ и АР по причине того, что в дальнейшем они ни как не используются. Приведена неверная формула определения угла АОК. Треугольник АОК равнобедренный, следовательно, дополнительно необходимо провести биссектрису, она же серединный перпендикуляр к АК. Тогда угол АОК = 2*arcsin(РЕ/16) = 0,959533… градусов. В связи с малой величиной расхождения можно оставить и Ваш вариант записи, тогда вместо равно, следовало бы поставить приблизительно, а значение угла округлить до четырех значащих цифр после запятой.

    Предлагаю свой вариант решения данной задачи, детально не останавливаясь на описании общеизвестных построений. На рисунке изображен угол в 15 градусов. Дуга АВ, проведена произвольным радиусом из вершины угла О как из центра до пересечения его сторон. Стянем точки А и В хордой и разделим ее на 15 равных частей. Вместо буквенного обозначения пронумеруем полученные таким образом 14 точек на хорде начиная от А до В по порядку (1, 2,…,13,14). Соединим точки 3 и 4 с вершиной угла О (или же точки 11 и 12). Угол 3А4 равен 1⁰,0007918… (тоже для угла 11А12). Для сокращения описания решения задачи вычисления не привожу, они не сложны и желающие могут сделать это самостоятельно. Итогом построения является искомый угол с погрешностью 0,0008 градуса.

    [Ответить]

  106. 108 vasil stryzhak:

    Вячеслав, после ознакомления с 102 комментарием, решил высказать свое мнение относительно предложенного способа приближенного построения угла в 1⁰. Здесь Вы отклонились от темы трисекции угла, и перешли на построение углов с помощью циркуля и линейки. Практические построения углов, приводимые в качестве примера (160⁰, 80⁰, 40⁰ и 20⁰) с применением угла в 1⁰ непривлекательны, так как насчитывают большое количество ходов и имеют не высокую точность. Проще провести трисекцию угла в 60⁰ воспользовавшись, каким либо хорошим приближенным методом.
    Если рассматривать предложенный метод в качестве задачи на лучший вариант построения угла в 1 градус с помощью циркуля и линейки, то он, очевидно, представляет для любителей математики интерес. Суть предложенного Вами построения понятна и теоретически в основном верна. В описании имеются недочеты. Не следовало бы указывать значения отрезков АЕ и АР по причине того, что в дальнейшем они ни как не используются. Приведена неверная формула определения угла АОК. Треугольник АОК равнобедренный, следовательно, дополнительно необходимо провести биссектрису, она же серединный перпендикуляр к АК. Тогда угол АОК = 2*arcsin(РЕ/16) = 0,959533… градусов. В связи с малой величиной расхождения можно оставить и Ваш вариант записи, тогда вместо равно, следовало бы поставить приблизительно, а значение угла округлить до четырех значащих цифр после запятой.

    Предлагаю свой вариант решения данной задачи, детально не останавливаясь на описании общеизвестных построений. На рисунке изображен угол в 15 градусов. Дуга АВ, проведена произвольным радиусом из вершины угла О как из центра до пересечения его сторон. Стянем точки А и В хордой и разделим ее на 15 равных частей. Вместо буквенного обозначения пронумеруем полученные таким образом 14 точек на хорде начиная от А до В по порядку (1, 2,…,13,14). Соединим точки 3 и 4 с вершиной угла О (или же точки 11 и 12). Угол 3О4 равен 1⁰,0007918… (тоже для угла 11О12). Для сокращения описания решения задачи вычисления не привожу, они не сложны и желающие могут сделать это самостоятельно. Итогом построения является искомый угол с погрешностью 0,0008 градуса.

    [Ответить]

  107. 109 vasil stryzhak:

    Извиняюсь за случайное дублирование 107 комментария.

    [Ответить]

  108. 110 vasil stryzhak:

    Владислав Агафонов, идея предложенного Вами метода трисекции угла понятна и без графического рисунка. В описании имеется опечатка: вместо «между “С” и “E”», следует правильно читать «между “ F ” и “E”». В геометрии не принято давать приблизительные построения, что создает неопределенность. По этой причине укажите точное расположение центра второй дуги и длину хорды стягивающей ее равные участки. Тогда смогу произвести расчет погрешности метода и изложить свое мнение.

    [Ответить]

    Владислав Агафонов Reply:

    При чем здесь хорды, забудьте вы о хордах? Приблизительное построение применяется в геометрических построениях везде, например при построении перпендикуляра циркулем и линейкой.
    В моем случае не имеет значения где будет центр второй дуги, основное правило: радиус первой дуги равен радиусу второй дуги. Решение всегда будет одинаково.
    Все таки откройте гиф картинку в окне браузера http://ounce.ru/Angle_trisection.gif. Извиняюсь за опечатку, но редактировать здесь невозможно текст после размещения.

    [Ответить]

  109. 111 Вячеслав:

    Предлагаю ещё один простой и высокоточный способ построения угла в 1 градус с помощью циркуля и идеальной линейки. 1)Проводим горизонтальную прямую и из точки О на этой прямой(примерно на 1/3-й ширины листа от правого края) циркулем проводим окружность произвольным радиусом R, которая пересечет горизонтальную прямую в точке А справа от центра О и в точке П слева. 2)От точки П откладываем влево циркулем отрезок ПН равный R и этим же раствором циркуля из точки А делаем засечки на верхней половине окружности в точке Вв и на нижней половине в точке Вн; через эти точки проводим прямую, которая разделит радиус АО в тоске С пополам (ОС=1/2R). 3)Раствором циркуля равным 2R из точек А и П проводим пересекающиеся дуги выше и ниже прямой и через точки пересечения этих дуг проводим перпендикуляр к горизонтальной прямой; откладываем на нём от центра О вниз отрезок ОСн равный ОС. 4)На вертикальной прямой циркулем откладываем вверх от точки Сн отрезок СнК равный АСн. Из точки А раствором циркуля равным АК делаем засечку на верхней половине окружности в точке Е, проведем радиус ОЕ и хорду АЕ. АСн=СнК=(√5)/2, ОК=(√5 – 1)/2, ОК^2=(3-√5)/2 АК^2=1+ОК^2=(5-√5)/2, АК=АЕ=√[(5-√5)/2]. Хорда АЕ есть сторона правильного 5-ти угольника, следовательно угол АОЕ=72 градусам. Изложенное построение принадлежит Евклиду. 5)Проведем радиус ОВв и получим угол АОВв=60 градусов, тогда угол ВвОЕ=12 градусов разделим его на 4 получим угол 3 градуса. 6)Отложим угол АМ=3 градуса и проведем прямую через точку М и Н, которая пересечет окружность слева от центра О в точке Р. По методу трисекции Архимеда угол РОП будет весьма близок 1/3 угла АОМ, то-есть 1-му градусу. Угол 3 градуса мы построили теоретически точно, без погрешности. Незначительная погрешность имеется при трисекции угла 3 градуса связанная с тем, что отрезок РН чуть больше R. Эту погрешность можно оценить следующим образом: РН^2=1+РП^2=1+(Sin1°)^2=1,00030…, PH=1,00015…, что на 0,00015 больше1 и если на эту величину уменьшить ПН, тогда ПН=1-0,00015=0,99985, а РН=1, то РП^2=1-0,99985^2=1-0,99970…=0,0003…, PП=0,01732… На калькуляторе Sin1°=0,01745, абсолютная погрешность составляет порядка 0,00013. Не могу согласиться с vasil stryzhak, что построение различных углов с помощью угла 1° имеют невысокую точность Так для угла 160° теоретически погрешность возникает из-за угла 2° и при погрешности угла 1° равной 0,00013 будет составлять не более 0,00026, а относительная погрешность ещё меньше 0,00026/160=0,000001625.

    [Ответить]

  110. 112 vasil stryzhak:

    Артем, отвечаю на Ваш 101 комментарий. Приближенные методы трисекции угла не востребованы для решения, как практических вопросов, так и теоретических в математике. В сфере деятельности человека задача деления угла на три равные части встречается исключительно редко, проще воспользоваться калькулятором для определения значения тригонометрической функции любого угла. Возможно, с практической точки зрения, не нуждались в решении данной задачи и 2,5 тысячи лет назад. Но если рассуждать логически, то косвенно опыт, полученный при изучении подрастающим поколением любых математических задач, в том числе знаменитых неразрешимых древности, впоследствии, когда они станут взрослыми, пригодится для решения других насущных проблем. Как отмечал ранее, ввиду невозможности трисекции угла циркулем и линейкой, приближенные методы для любителей математики представляют не меньший интерес, в качестве задач-головоломок и примеров повышенной сложности на вычисления погрешности.
    Относительно снижения показателя погрешности, это не обязательно, главное оригинальность решения задачи трисекции угла. Обычно хорошие приближенные методы имеют и малую погрешность. Предельным значением погрешности естественно является теоретически недостижимый «0». В качестве примера приведу построение трисекции угла с относительно высокой точностью. Идея метода STRIZH-4 основана на использовании свойства положения «полюса трисекции» (см. 84 комментарий).

    Из вершины геометрически заданного угла aOb как из центра, проводим дугу произвольным радиусом r, которая пересечет стороны угла в точках А и В. Соединим полученные точки хордой. Построим биссектрису OD данного угла и на ее продолжении за вершину угла откладываем последовательно три отрезка равных r. Тогда ОG = r, ОZ = 2r, ОF = 3r. Из вершины угла как из центра проводим дугу nFm радиусом R = ОF. Соединим прямой точки Z и А. Далее из точки G восстановим перпендикуляр, который пресечет отрезок ZА в точке S. Через точку S проведем параллель до пересечения дуги АDВ в точке С. Построим дугу из точки А как центра с началом в точке С и заканчивающуюся на пересечении хорды АВ в точке К. Проводим прямую СК с продолжением до пересечения с дугой nFm в точке Р₁. Отобразим зеркально относительно биссектрисы полученную точку на дуге и обозначим ее как Р₂. Следовательно ᴗР₁F = ᴗFР₂. Заключительным построением заданного угла является трисектриса, проходящая через точку Р₂ и вершину угла О до пересечения дуги АDВ в точке Т. Средняя погрешность метода составляет – ∆t(0-180⁰;10⁰) = 5⁰,35∙10⁻⁸. Результат говорит сам за себя.

    [Ответить]

  111. 113 vasil stryzhak:

    Владислав Агафонов: при графическом исполнении трисекции острых углов предложенным методом, подборе расположения центра второй дуги, а также раствора циркуля для ее деления, он создает эффектное впечатление. Еще раз подчеркну: в геометрии применяются не приблизительные, а точные построения. Произвольный раствор циркуля, точка, отрезок применяемые в ряде случаев, дают теоретически точные решения. Представлять доказательство верности решения задачи трисекции угла в первую очередь должен автор. Опровержение дают в случае несогласия с его решением при выявлении ошибок или противоречий. Увы, идея использовать теоремы о равных отрезках для трисекции угла стара как наш мир и утопична как создание перпетуум-мобиле. Ошибка построений заключается, прежде всего, в непропорциональности дуг (или стягивающих их хорд), иначе говоря, несоблюдения условий теоремы о пропорциональных отрезках.
    Проверим предлагаемый метод на примере трисекции угла несколько большим 60⁰. Радиус ОА первой дуги примем равным r и будем использовать его в качестве основы дальнейших построений. На рисунке деление угла выполнено согласно описанию автора, с тем лишь отличием, что точка центра второй дуги взята не произвольно. Она построена точно, пересечением дуг радиусом r из точки О и А и обозначена О₁. Вторая дуга СА поделена на равные части тоже непроизвольно, а раствором циркуля равным r.

    Не вооруженным глазом видно: метод не работает, а углы в 120⁰ и 60⁰ в данном варианте вообще делятся не на три, а на две секции. В виду неопределенности построений он не входит даже в категорию приближенного способа трисекции угла. По этой причине необходимо определиться с расположением центра второй дуги и длинной хорды стягивающей ее равные части. В виду того, что Вы не выполнили моей просьбы, применил свой вариант коррекции метода с точным построением (если заинтересуетесь, поделюсь). Произвел расчет средней погрешности, величина которой составила – ∆t(0 -180⁰;10⁰) = 0⁰,30. Как видим, по сравнению с другими методами, ранее упомянутыми в комментариях, точность трисекции не велика.
    Имеется другой аналогичный метод решения задачи трисекции угла по адресу: фото Трисекция угла Разные схемы и модели realbtr другое http://www.fotku.ru/?p=sf&f=294225. Здесь две дуги проведены из общего центра. Автор тоже предлагает приблизительные промежуточные построения. Но если его усовершенствовать: исключить имеющийся недостаток, то он по точности трисекции угла имеет лучший показатель.

    [Ответить]

    Владислав Агафонов Reply:

    Позволю не согласится, при делении отрезка на равные части тоже используется произвольное построение. Во вторых вы сделали очень грубую ошибку построив вторую дугу не близко по расположению к первой дуге. Произвольное расположение центра не значит что его нужно делать как можно дальше от центра первой дуги и деление тупых углов сводится к делению его на острые с последующим делением одного из острых углов. Я до сих пор не увидел математического обоснования неверности моего метода.

    [Ответить]

    Владислав Агафонов Reply:

    и уж тем более не стоит располагать цент второй дуги на первой дуге.

    [Ответить]

    Владислав Агафонов Reply:

    Хотите уточнений, пожалуйста:
    Трисекция угла применима для острого угла, угол равный или большье 90 градусов необходимо сначала привести к острому углу с которым и производят манипуляции. Центр второй дуги должен находиться снаружи угла. Деление второй дуги должно производится участками меньше половины первой дуги.

    [Ответить]

  112. 114 vasil stryzhak:

    Владислав Агафонов, не внимательно изучили мой текст, где все сказано и предложено содействие. Очевидно, за основу взяли первое предложение, так как ввели ограничения на угол, положения центра второй дуги и величины хорды делящей ее на части. Произведите трисекцию угла в 60⁰. На окружности проведенной из точки А расположите центр второй дуги на участке между точками О и В, на 1/8 этого участка от вершины угла О. Разделите вторую дугу раствором циркуля равным 7/16 первой дуги. Выполните расчет полученных углов для сравнения результатов. Представьте математическое доказательство верности трисекции угла.

    [Ответить]

  113. 115 Артем:

    В своем последнем комментарии Вячеслав предлагает громоздкое описание приближенного построения угла в 1⁰. После получения угла в 3⁰ дальнейшие пояснения становятся непонятными, вычисления сомнительными. Отрезок НР определяется по теореме Пифагора, но треугольник РНП не прямоугольный. Значение РП принимается за sin1⁰,когда построенный угол не равен 1⁰.
    Предлагаю вариант простого решения данной задачи.

    На рисунке изображен угол ВАС в 3⁰, полученный следующим образом: ((90⁰ -72⁰) – (72⁰ -60⁰))/2 = 3⁰. Дуга ВС проведена радиусом R = 1 из вершины угла А. Опустим перпендикуляр ВD на сторону угла АС. На продолжении АС от вершины угла отложим отрезок FА = 2R. Тогда ВD = sin3⁰; АD = соs3⁰; FD = 2+ соs3⁰. Установим раствор циркуля равным FD и от точки В как из центра засечем точку К на отрезке FА. Соединим точки К и В. Построенный угол ВКD = аrcsin((sin3⁰)/(2 + соs3⁰)) = 1,000051 градусов. Данный способ можно использовать для деления на три секции любых углов.

    [Ответить]

  114. 116 Вячеслав:

    Артем, предложенный Вами способ трисекции угла 3 градуса не является графическим, а аналитическим, с использованием тригонометрических функций и его точность зависит от разрядности компьютера. В таком случае не имеет смысла выполнять показанные построения, а следует просто найти значение любой тригонометрической функции для 1/3 заданного угла. Я использовал теорему Пифагора только для достаточно точной оценки погрешности графического решения трисекции угла. Известно, что для малых углов можно считать Sin x = x.

    [Ответить]

  115. 117 Артем:

    Вячеслав, ссылку на то, что для малых углов можно считать sin x = x, в данном случае не следовало применять, в связи с неточностью выражения соизмеримой с величиной погрешности построенного угла. Но это нисколько не умоляет результата приведенного сомнительного вычисления. Лабиринт Ваших логических измышлений привел к парадоксу: точность предложенного мной метода зависит от разрядности компьютера. О если бы это соответствовало действительности! В предыдущем моем комментарии приведено описание именно графического выполнения трисекции угла 3⁰, за исключением построений углов в 90⁰,72⁰и 60⁰, не представляющих интереса. Было бы наивным считать, что посетители сайта кинуться за чертежными инструментами для построения угла в 1⁰. По большому счету, эта задача теоретическая, на логическое решение, оценить которое можно только вычислением. Этим методом, еще раз уточняю, можно просто выполнить трисекцию произвольного геометрически заданного угла. Угол больше прямого следует предварительно разделить пополам.

    [Ответить]

  116. 118 Артем:

    Елизавета Александровна Калинина, с интересом ознакомился с решением задачи трисекции угла при помощи линейки с двумя насечками предложенным Кемпе http://ua.coolreferat.com/Три_знаменитые_классические_задачи_древности.
    Не тот ли это Альфред Брей Кемпе (1849—1922) – знаменитый английский математик и механик http://100v.com.ua/ru/Kempe-Alfred-Brey-person?

    [Ответить]

  117. 119 Вячеслав:

    Я тоже с интересом ознакомился с рефератом Кемпе, в котором излагается всё тот же известный способ Архимеда решения задачи трисекции произвольного угла при помощи циркуля и линейки с двумя насечками и который также описан в обсуждаемой здесь статье Сергея Боброва “Волшебный двурог”. Метод Архимеда наиболее прост, понятен даже ученикам средних школ, и в большей степени чем другие способы соответствует условиям задачи (выполнить трисекцию угла с помощью циркуля и идеальной линейки). В предыдущих комментариях я отмечал, что метод Архимеда дает абсолютно точное теоретическое решение задачи и не требует точного графического построения. Поэтому задачу трисекции угла с помощью циркуля и идеальной линейки следует считать идеально и гениально решенной Архимедом, чего нельзя сказать о признанном решении построения правильного 65537-угольника. Построение такого многоугольника трудно представить, хотя в 1894 году Иоганн Густав Гермес после более чем десятилетних исследований нашёл способ построения правильного 65537-угольника и описал его в рукописи размером более 200 страниц (оригинал рукописи хранится в библиотеке Гёттингенского университета и никогда не был опубликован). Сколько лет потребуется самым выдающимся современным математикам чтобы разобраться в этом построении и убедиться в его достоверности? Можно с полной уверенностью утверждать, что никто не пытался проверить И. Г. Гермеса, а просто поверили ему на слово.

    [Ответить]

  118. 120 vasil stryzhak:

    Построения геометрических фигур на высоком уровне было развито в Древней Греции. Древним геометрам грезилось, что любое целесообразное построение можно произвести с помощью циркуля и линейки, пока не столкнулись с тремя знаменитыми впоследствии задачами и построением правильных 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27 и т.д. угольников. Они умели строить правильный треугольник, квадрат, пятиугольник и 15-угольник, а также многоугольники, которые получаются из них путем удвоения сторон. В конце XVIII в. проблему возможности построения правильных многоугольников решил гениальный математик Карл Гаусс с учетом багажа знаний, накопленных человечеством за два тысячелетия. В результате к античным многоугольникам он добавил принципиально новые: 17-угольник, 257-угольник и 65 537-угольник. Для двух первых многоугольников разработал методы построения.
    В 1525 г. Альбрехт Дюрер (1471 — 1528), художник и ученый, один из титанов эпохи Возрождения, в трактате «Руководство к измерению при помощи циркуля и линейки» описал построение правильного пятиугольника по заданной стороне AB с помощью «заржавевшего» циркуля, т. е. неизменным раствором. Предложенный способ приближенный и знал ли об этом автор, история умалчивает. Данное построение в полной мере оправдано, ввиду ограничения функций циркуля, подкупает и вызывает восхищение своей красотой. На рисунке изображен метод Дюрера, где очередность проведения окружностей (последовательность положений ножки циркуля) обозначена цифрами. Углы А и В примерно на 0,⁰37 больше, а M и N на 0,⁰96 меньше 108⁰. В свою очередь угол К на 1,⁰2 больше истинного значения. Следовательно, пятиугольник Дюрера имеет малую погрешность и на глаз воспринимается совершенно правильным. Возникают вопросы: возможно ли с помощью «заржавевшего» циркуля и линейки найти значительно более верное решение, есть ли вариант точного построения правильного пятиугольника данными инструментами?

    [Ответить]

    vasil stryzhak Reply:

    [Ответить]

  119. 121 Вячеслав:

    vasil stryzhak, я не нашёл рисунка с изображением построения пятиугольника с использованием “ржавого” циркуля по методу Дюрера и Вы ничего не говорите, какой линейкой он пользовался, идеальной или мерной с делениями. Уточните этот момент.

    [Ответить]

  120. 122 Вячеслав:

    Предлагаю посетителям сайта выведенное мной уравнение Хα = √(2 – 2*Cosα), где Хα – хорда стягивающая центральный угол α в единичной окружности. Можно ли признать это уравнение новой формулировкой теоремы косинусов: a² = b² + c² – 2bc*Cosα (Квадрат любой стороны треугольника (a) равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (b и c), минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла (α) между ними)?.

    [Ответить]

  121. 123 vasil stryzhak:

    В 120-ом комментарии рисунок построения пятиугольника не отобразился, по этой причине повторно добавляю изображение в другом формате. Способ построения описанный Дюрером здесь: iragavrilova.ucoz.ru›load…rabota…mnogougolnikov…29 .

    [Ответить]

  122. 124 vasil stryzhak:

    Построения постоянным раствором циркуля в XV-XVI вв. были особо привлекательными, пользовались большой популярностью среди ученых и практиков. Это создавало несомненные удобства и повышало качество геометрического рисунка. Являясь приверженцем данного способа, предлагаю разработанный мною метод приближенного построения правильного семиугольника по стороне АВ, понятного из рисунка. Здесь окружности проводятся тоже последовательно согласно указанным цифрам, а прямые – по мере образования точек для их построения. Расчет значений углов при вершинах семиугольника выявил следующие отклонения: для углов А, В, М, N приближенно -0⁰,04, углов S и F – +0,⁰35, угла K – -0,⁰57. Таким образом, относительно пятиугольника Дюрера, построение семиугольника имеет более точное решение.

    [Ответить]

  123. 125 Вячеслав:

    vasil stryzhak, большое спасибо за очень интересные построения и за информацию об исследованиях Иры Гавриловой. Но у меня есть к ней несколько вопросов и дополнений. У неё нет точного построения 5-ти угольника по Евклиду. Может ли выпуклый равносторонний многоугольник быть не точным?, например 5-ти угольник по методу Дюрера и построенный Вами 7- угольник. Можно предложить Ире метод приближенного,но весьма точного построения угла 1 градус по моему комментарию 111 и очень простой способ приближенного построения 9-ти угольника, о котором напишу в следующем комментарии.

    [Ответить]

  124. 126 Вячеслав:

    Предлагаю очень простой способ приближенного построения стороны правильного 9-ти угольника при помощи “ржавого” циркуля и идеальной линейки без засечек. Я не умею помещать здесь графические изображения, поэтому опишу этот способ словесно. На произвольной горизонтальной прямой чертим окружность с центром в произвольной точке О и обозначаем точки пересечения окружности с прямой А (слава) и В (справа). Из точки А делаем циркулем засечки на окружности в точках С (вверху) и D (внизу) и проводим прямую СD. Аналогично из точки В делаем циркулем засечки на окружности в точке E (вверху) и G (внизу). Из точек С и Е делаем циркулем пересекающиеся засечки в точке F (вверху) и проводим прямую FO, которая пересечет окружность в точке Н. Из точек А и Н делаем циркулем пересекающиеся засечки в точке К (слева вверху) и проводим прямую КО, которая пересечет прямую СD в точке М. Через точки Е и М проведем прямую до пересечения с окружностью в точке Р и с горизонтальной прямой в точке Т. Проведем прямую ТG, которая пересечет окружность в точке S. Отрезок РS будет примерно равен стороне правильного 9-ти угольника.

    [Ответить]

    Артем Reply:

    [Ответить]

  125. 127 Артем:

    Вячеслав, конечной целью предложенного Вами метода является построение правильного девятиугольника, которое можно завершить новым раствором циркуля равным отрезку PS. Следовательно, в данном случае не корректно утверждать о построении «заржавевшим» циркулем. Как правило, при точных способах приводится доказательство верности, а приближенных – указывается величина погрешности. К сожалению, в описании этого нет.

    Предлагаю любителем математики свой вариант приближенного построения девятиугольника, изображенного на рисунке. Проведем три окружности произвольным радиусом r, центры которых К, О, В расположим горизонтально на одной прямой и равноудалено КО = ОВ = r. Прямая TS, связывающая точки пересечений окружностей К и О, в свою очередь образует пересечение в точке А с горизонтальной прямой. Раствором циркуля равным 2r из точки А как из центра делаем засечку на окружности В в точке Н. Далее из точки S как из центра раствором циркуля равным SН проводим дугу до пересечения продолжения прямой КВ в точке Р. Соединим точку Р прямыми с точками Т и S которые образуют в местах пересечения окружности О точки С и D. Полученный таким образом отрезок СD, есть искомая сторона девятиугольника. Относительная погрешность построения составляет 0,24%, при этом центральный угол приближенно на 0,101 градуса больше точного значения в 40⁰.
    Сравнительно с методом Вячеслава, в данном варианте использовано меньшее количество шагов в построении, а теоретическая точность метода в четыре раза выше.

    [Ответить]

  126. 128 Вячеслав:

    Артем, Вы правильно заметили, что я в 126 комментарии описал построение только одной стороны 9-ти угольника. Чтобы построить его полностью можно отказаться от “ржавого” циркуля, но можно выполнить аналогичные построения “ржавым” циркулем относительно не горизонтальной прямой а относительно прямой проходящей через точки Р и О, повернутую относительно горизонтальной оси на угол РОТ примерно равный 20 градусам. В результате получим точку Р2. Далее повторяем аналогичные построения, пока не найдем все вершины 9-ти угольника. Вы приводите погрешность моего и вашего построения, а как Вы это рассчитали?

    [Ответить]

  127. 129 Артем:

    Вячеслав, предлагаемые Вами повторные построения по кругу (их в данном случае 15) и все ради сохранения постоянства раствора циркуля, лишены смысла. Необходимо также учесть, что с каждым новым построением ошибка накапливается и на завершающем этапе погрешность последней стороны значительно увеличится
    Расчет теоретической погрешности геометрического построения можно осуществить последовательным вычислением отрезков, используя свойства треугольников (по теореме Пифагора, формуле Герона, составлением пропорций, применением тригонометрических функций и т.д.). В ряде случаев при данном способе расчет затруднителен или громоздок. Тогда поступаю проще: рассматриваю геометрический рисунок в системе прямоугольных координат. Используя соответствующие уравнения, несложно вычислить координаты точек образованных пересечением двух прямых, прямой и окружности, двух окружностей. Не плохо формулы вычисления установить в офисной программе Excel. Тогда достаточно вводить исходные данные, что бы получать нужные результаты.
    Определение стороны девятиугольника описанного в 127 комментарии производилось поэтапным вычислением координат точек S,H,P и C. Точка центра окружности О была принята за начало координат. В итоге отрезок СD получился равным 0,68569…, а точное значение стороны девятиугольника 2sin20⁰ = 0,68404… при единичном радиусе окружности. Тогда абсолютная погрешность составляет примерно 0,00165, а относительная – 0,00242.

    [Ответить]

  128. 130 Вячеслав:

    Артем, Вы правы, что предложенное мной повторные построения по кругу значительно увеличивают количество ходов построений и увеличивают практическую погрешность, но это не влияет на теоретическую точность. Конечно в таких построениях с ограничением используемых инструментов нет практической пользы. В этом я безуспешно пытаюсь убедить сторонников неразрешимости задачи трисекции плоского угла с использованием линейки без делений. Ваши построения натолкнули меня на более простое приближенное построение трисекции угла 60 градусов и нахождения стороны правильного 9-ти угольника при помощи “ржавого” циркуля и идеальной линейки. Словесно описываю его. На условно горизонтальной прямой ставим точку О1 из которой, как из центра чертим циркулем первую окружность единичным радиусом R. Окружность пересечет горизонтальную прямую в точке О2 слева от центра О1. Из точки О2 как из центра чертим вторую окружность тем же радиусом, которая пересечет первую окружность в точке 1 вверху и в точке 2 внизу. Через эти точки проведем прямую,которая пересечет горизонтальную прямую в точке О3. Из точки О3 делаем циркулем засечку на горизонтальной прямой слева и получаем точку О4 из которой чертим четвертую окружность, которая пересечет горизонтальную прямую слева в точке 3. Из точек О3 и 3 делаем циркулем засечки на 4-той окружности в точках 6 (вверху справа от центра О4), 7 (внизу справа),8 (вверху слева) и 9 (внизу слева). Проводим прямую 6-7, которая пересечет горизонтальную прямую в точке 10 и делит радиус О4-О3 пополам. Через точки О4 и 4 проводим прямую,которая образует с горизонтальной прямой углы 45⁰ и пересекает прямую 8-9 в точке 11. Через точки 11 и 7 проводим прямую,которая пересечет 4-ю окружность слева в точке 12 и горизонтальную прямую в точке 13. Прямая 6-13 симметричная прямой 7-13 пересечет прямую 8-9 в точке 14 и 4-ю окружность в точке 15. Угол 6-13-10 будет равен arc tg (√3)/2-(0,5)= 20,10…⁰, и отличается от 1/3 угла 60⁰ на 0,1…⁰, или на 0,5…%. Следующими построениями погрешность можно ещё уменьшить. От точки 3 отложим на горизонтальной прямой отрезок равный R,получаем точку 15 и проводим прямую 15-6. Угол 6-15-10 равен arc tg (√3)/(2*2,5)= 19,1…⁰. Продолжим прямые 13-6 и 15-6 вправо вверх, получим угол между ними равный 20,1…⁰-19,1…⁰ = 0,997…⁰. Из точки 6 проведем дугу пересекающую этот угол и построим его биссектрису, получим угол 0,4985…⁰. К углу 19,1…⁰ прибавим эту половинку получим угол 19,6…⁰. и угол равный разнице 20,1⁰…-19,6⁰…=0,5⁰…, 0,5⁰…/2=0,25…⁰, 19,6…⁰+0,25…⁰=19,85…⁰, 20,1…⁰-19,85…⁰=0,25…⁰, 0,25…⁰/2=0,125…,19,85…⁰+0,125…⁰=19,975…⁰. получим абсолютную погрешность 0,025…⁰, а относительную 0,125%. Таким образом погрешность сократилась относительно первоначальной в 4 раза. Таким способом можно теоретически построить угол с любой точностью. Практически же все последние линии построений невозможно будет различить, они сольются в одну линию.

    [Ответить]

  129. 131 Артем:

    Вячеслав, в Вашем описании построения обнаружил ошибки. Например, откуда возникла точка 4, по какой причине отсутствует 5-я точка, зачем точка О₂ повторно обозначена цифрой 10 и ради чего под номером 15 обозначены две различные точки? В результате у меня угол 6-13-10 получился равным не 20,1… градусов, а визуально явно более 45⁰. Следовательно, построение и выводы не верны. Предоставьте повторное откорректированное описание

    [Ответить]

  130. 132 Вячеслав:

    Артем, спасибо Вам за обнаруженные ошибки в моём предыдущем описании построений. Точки 4 и 5 получаются на пересечении окружности, проведенной из центра О3, с прямой 1-2. Точку 5 я не указал, поскольку она не используется в дальнейших построениях и расчетах, хотя на рисунке у меня эта точка обозначена. Точка О2 получается на пересечении, окружности проведенной из центра О1, с горизонтальной прямой. Точка 10 – это отличная от точки О2, расположена правее точки О2, и получается на пересечении прямой 6-7 с горизонтальной прямой. Под номером 15 обозначены две разные точки ошибочно. Привожу исправленное описание приближенного построения трисекции угла 60⁰ при помощи “ржавого” циркуля и идеальной линейки: На условно горизонтальной прямой ставим точку О1 из которой, как из центра чертим циркулем дугу первой окружности единичным радиусом R. Дуга первой окружности пересечет горизонтальную прямую в точке О2 слева от центра О1. Из точки О2 как из центра чертим дугу второй окружности тем же радиусом, которая пересечет дугу первой окружности в точке 1 вверху и в точке 2 внизу. Через точки 1 и 2 проведем прямую,которая пересечет горизонтальную прямую в точке О3. Из точки О3 проводим дугу третьей окружности которая пересечет горизонтальную прямую в точке О4 (слева от О3) и пересечет прямую 1-2 в точках 4 (вверху) и 5 (внизу). Из точки О4 проводим четвертую окружность, которая пересечет горизонтальную прямую в точке 3 (слева от О4) и пересечет дугу третьей окружности и точках 6 (вверху справа от центра О4) и 7 (внизу справа). Из точки 3 делаем тем же радиусом засечки на четвертой окружности в точках 8 (вверху слева от О4) и 9 (внизу слева от О4). Проводим прямую 6-7, которая пересечет горизонтальную прямую в точке 10, которая делит радиус О4-О3 пополам. Через точки О4 и 4 проводим прямую, которая образует с горизонтальной прямой углы 45⁰ и пересекает прямую 8-9 в точке 11. Через точки 11 и 7 проводим прямую,которая пересечет 4-ю окружность в точке 12 (слева от прямой 8-9) и горизонтальную прямую в точке 13. Прямая 6-13 симметричная прямой 7-13 пересечет прямую 8-9 в точке 14 и 4-ю окружность в точке 15(слева от прямой 8-9). Проведем прямую (6-8). Угол (8-6-14)= углу (6-13-10). Отношение длин отрезков (8-14)/(8-6)= tg углов (8-6-14) и (6-13-10). Отрезок (8-14)=(√3)/2 – 0,5, а отрезок (8-6)= 1, следовательно tg угла (6-13-10)=(√3)/2 – 0,5, а угол (6-13-10) будет равен arc tg (√3)/2-(0,5)= 20,10…⁰, и отличается от 1/3 угла 60⁰ на 0,1…⁰, или на 0,5…%. Следующими построениями погрешность можно ещё уменьшить. От точки 3 отложим на горизонтальной прямой влево отрезок равный R,получаем точку 16 и проводим прямую (16-6). tg угла (6-16-10) равен отношению отрезков (6-10)/(16-10). Отрезок(6-10)=(√3)/(2, отрезок (16-10)= 2,5, следовательно tg угла (6-16-10)= (√3)/(2*2,5)=(√3)/5, а угол(6-16-10)= arc tg (√3)/5= 19,1…⁰. Продолжим прямые 13-6 и 16-6 вправо вверх, получим угол между ними равный 20,1…⁰-19,1…⁰ = 0,997…⁰. Из точки 6 проведем дугу пересекающую этот угол и построим его биссектрису, получим угол 0,4985…⁰. К углу 19,1…⁰ прибавим эту половинку получим угол 19,6…⁰. и угол равный разнице 20,1⁰…-19,6⁰…=0,5⁰…, 0,5⁰…/2=0,25…⁰, 19,6…⁰+0,25…⁰=19,85…⁰, 20,1…⁰-19,85…⁰=0,25…⁰, 0,25…⁰/2=0,125…,19,85…⁰+0,125…⁰=19,975…⁰. получим абсолютную погрешность 0,025…⁰, а относительную 0,125%. Таким образом погрешность сократилась относительно первоначальной в 4 раза. Таким способом можно теоретически построить угол с любой точностью. Практически же все последние линии построений невозможно будет различить, они сольются в одну линию.

    [Ответить]

    Артем Reply:

    [Ответить]

  131. 133 Артем:

    Вячеслав, в конце концов, разобрался с Вашим значительным по объему описанием трисекции угла в 60⁰. После полученного построением угла в 20.1…градусов, переходите для повышения точности на деление углов. Данный способ известен с древних времен, по этой причине дальнейшее углубление в изучение материала мне стало не интересным, поверил на слово. В таком случае проще дугу, стягивающую угол в 60⁰ или произвольно заданный угол, последовательно разделить до необходимой точности следующим образом: ¹/₂; (¹/₂)/2 = ¹/₄; (¹/₄)/2 + ¹/₄= ³/₈; ³/₈ – (¹/₈)/2 = ⁵/₁₆ и т.д. Может статься так, что я единственный кто одолел текст до конца.
    Будьте внимательны и предлагайте более компактные построения. Желаю успехов.

    [Ответить]

  132. 134 Вячеслав:

    Артем, спасибо за пожелание успехов! Позволю себе дать ответ на ваши замечания. Значительный объем описания моих построений получился из-за моего неумения помещать графические построения и приведенных расчетов. Описание собственно построений с использованием графики и без расчетов было бы гораздо короче. Для повышения точности деления угла 60⁰ на три части кроме угла 20,1…⁰ я построил ещё угол 19,1…⁰, что также увеличило объем описания. Я не понял ваш способ деления заданного угла до необходимой точности, относительно к какому углу? В моих расчетах точность достигается к углу 20⁰. И ещё, не скромная просьба – поместить здесь графическое изображение моих построений.

    [Ответить]

  133. 135 vasil stryzhak:

    Все приближенные построения правильных многоугольников и решения трех знаменитых задач древности в чем-то схожи. Как в одних, так и других применяется ряд построений, конечной целью которых является в большинстве случаев подходящий, угол или отрезок. Интерес естественно представляют способы имеющие малое количество ходов, в тоже время обладающие высокой теоретической точностью, оригинальностью решений или отличительной особенностью. В качестве примера предлагаю описание и рисунок построения правильного девятиугольника по его стороне. Как правило, многие предлагаемые методы основаны на определении стороны многоугольника по радиусу описанной окружности. Здесь же решается обратная задача.
    На прямой аb обозначим двумя точками произвольно отрезок АВ. Из точки А как из центра опишем первую окружность, а из В вторую радиусом АВ. Построим отрезок, стягивающий точки скрещения окружностей С и D, и пересекающий прямую в точке Е. Из точки Е как из центра, не меняя раствора циркуля, опишем третью окружность с образованием точки F на пересечении с прямой аb. Соединим точки C и F прямой и обозначим буквой G ее пересечение с третьей окружностью. Проведем прямую через точки Е и G до пересечения второй окружности в точке Н. Раствором циркуля ЕН делаем две засечки из точек А и В как из центров, в результате пересечения которых образована точка О – центр окружности, из которого и проводим таковую. Дуга АВ приближенно составляет девятую часть окружности, и, разделив остальную дугу на восемь равных частей и соединив хордами точки деления, получим правильный вписанный девятиугольник. Углы А и В примерно на 0⁰,0097 меньше точного значения с относительной погрешностью порядка 0,007%, а остальные семь – больше на 0⁰,0027 с ошибкой 0,002%.

    [Ответить]

  134. 136 vasil stryzhak:

    Неверно в комментарии описано построение точки F. Правильно: “Точка F образована пересечением второй окружности с прямой аb”.

    [Ответить]

  135. 137 Вячеслав:

    vasil stryzhak,здравствуйте!Показанное построение интересно, но не приведены расчеты погрешности построения. Если можно приведите.

    [Ответить]

  136. 138 vasil stryzhak:

    Вячеслав здравствуйте! Когда предлагается точное построение, естественно необходимо представлять доказательство его верности. В моем случае приближенное решение геометрической задачи и нет такой необходимости приводить расчет погрешности, так как он значительно увеличит объем комментария. Желающие могут самостоятельно это сделать, все необходимые данные ясны из построения. Специально для Вас с учетом сложившихся дружеского общения в краткой форме излагаю материал.
    Положение точки G определяется решением системы двух уравнений: прямой CF и окружности с центром в точке Е. Аналогичным образам находим координаты точки Н, полученной пересечением продолжения прямой ЕG и окружности с центром в точке В. В результате отрезок ЕН = 1,461125… относительно АВ = 1. Значение радиуса описанной окружности около правильного девятиугольника r = 1/(2sin20⁰) = 1,461902…, следовательно, отрезок ЕН можно использовать в качестве приближенного построения. Остается провести относительно несложные вычисления углов построенного многоугольника.

    [Ответить]

  137. 139 Вячеслав:

    vasil stryzhak,здравствуйте! Спасибо за пояснения о вычислении погрешности. Согласен с Вами, что вычисление погрешности увеличивает объём комментария. Об этом я писал в 132 комментарии Артему, который упрекал меня в 133 комментарии за большой объём.

    [Ответить]

  138. 140 Артем:

    Вячеслав, Вашу просьбу выполнил, рисунки разместил согласно описания. Обратил внимание, очевидно сами не подозревая того описали построение в 126 и 132 комментариях одного и того же угла (угол ЕТВ равен углу 6-13-10).
    В связи с тем, что речь в 133 комментарии велась о трисекции угла то, указанный мною алгоритм приведен по поводу решения именно данной задачи. Иначе говоря, в численной форме представлена запись последовательных шагов деления единичной дуги произвольного угла. При каждом следующем шаге получаем часть дуги ближе к 1/3, нежели в предыдущем.

    [Ответить]

  139. 141 Вячеслав:

    Артем, огромное спасибо за графические изображения моих построений трисекции угла 60⁰ к комментариям 126 и 132. В 126-ом комментарии нет расчета погрешности и методики повышения точности, поэтому объем 132-го значительно больше 126-го.

    [Ответить]

  140. 142 Васильев Юрий Павлович:

    Васильев Ю. П.- автор статей построений геометрических задач пенсионер- 74 года, из города Тольятти:
    1 – Новейшая формула построения ОТРЕЗКА длиной равной бесконечному числу Пи.
    2 – Новейшая формула определения длины дуги, по трём точкам.
    3 – Построение Трисекции Угла.
    4 – Построение Удвоения Куба.
    5 – Задача на смекалку.
    Желающие ознакомиться с материалами пишите по указанному Е- майлу. Стоимость материала 50 долларов, ориентировочно.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Юрий Павлович, e-mail Вы не указали :( Ну и, на мой взгляд, Вы зря здесь предлагаете что-то покупать. Люди просто делятся своими идеями.

    [Ответить]

    Артем Reply:

    Юрий Павлович, заинтриговали. Давайте договоримся: для оценки качества всего предлагаемого Вами материала, третью статью здесь утром, 10 долларов – вечером.

    [Ответить]

  141. 143 Вячеслав:

    Как можно объяснить, что углы можно измерять линейными размерами. 180 градусов равны диаметру единичной окружности, 120 градусов равны корню из 3 и т.д.

    [Ответить]

  142. 144 vasil stryzhak:

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    Поясните пожалуйста этот рисунок.

    [Ответить]

    vasil stryzhak Reply:

    Извиняюсь за случайную ошибку. Рисунок предназначался для обсуждения на 8. Равносторонний треугольник. В продолжение темы равностороннего треугольника перешел на более уникальную фигуру – квадрат. Из определений квадрата и ромба следует, что квадрат является ромбом, у которого все углы прямые. Так как квадрат является также и параллелограммом, и прямоугольником, то все свойства названных геометрических фигур присущи и квадрату.

    [Ответить]

  143. 145 Вячеслав:

    Всё правильно. Квадрату присущи все свойства ромба, прямоугольника и параллелограмма, кроме одного – у квадрата все углы прямые, чего нет у остальных перечисленных фигур, поэтому они не являются квадратом.

    [Ответить]

    Naitkin Reply:

    Если вы допускаете, что квадрат является прямоугольником, то вы должны и согласиться с тем, что равносторонний треугольник является равнобедренным:)

    [Ответить]

  144. 146 Вячеслав:

    Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедреннего треугольника, но не является равнобедренным.

    [Ответить]

  145. 147 Роман:

    задача решаема:В прямоугольнике со сторонами А и 2А.Обозначим углы: слева снизу по часовой стрелки 1,2,3,4, из угла 1 проведем диагональ в угол 3,из угла 2,на середину основания со стороной 2А,проекция точки пересечения на сторону 2А даст ровно 1/3 стороны 2А.Окружность пересекающая лучи угла даст две точки,стянем их хордой,получим сторону длинной 2А,как построить прямоугольник объяснять не буду это легко.Задача решается в частях,этот способ называется египетским например 1/3+1/3+1/3=1.Кто правильно построит чертеж тот поймет что задача решается с любой степенью точности,не в пример Александру который точки С и D взял с потолка.Ваши отклики по адресу:varan345@Email.ru

    [Ответить]

  146. 148 Фёдор:

    Задачу о квадратуре круга мой брат начал решать с вычисления числа ПИ ,а потом решил все остальные .Вчера он сообщил о решении последней задачи о трисекции угла ! Так ,что обращайтесь по почте -кому интересно , v_kulesha@gmail.ru почтовый ящик моего брата .

    [Ответить]

    Вла Н Reply:

    Задача решается элементарно, если допустить, что число ПИ определяется с высокой точностью выражением
    ПИ = 22:7

    [Ответить]

  147. 149 Вла Н:

    А я решил задачу о трисекции угла в общем виде.
    Этот метод позволяет решать,с помощью циркуля и линейки, задачи по делению любого угла на любое заданное число секций (равных углов).
    Могу поделиться с любым.

    [Ответить]

    Вла Н Reply:

    Бред!

    [Ответить]

  148. 150 Вла Н:

    Методика очень простая.
    Надо провести всего две окружности, всего четыре прямых линии и обозначить всего четыре точки.
    Неужели нет заинтересованных в такой методике?

    [Ответить]

  149. 151 Вла Н:

    Наш мир един и познаваем. Нерешённую геометрическую задачу Трисекция угла легко решить в рамках единого универсального подхода.

    Ниже рассматривается методика Деление любого угла на заданное число секций (равных углов) с использованием только циркуля и линейки без делений на ней.
    Почему то рисунок не загружается?

    Не беда, по описанию ниже любой может восстановить рисунок с помощью циркуля и линейки без делений на ней.
    Успехов, Влаген

    Трисекция угла

    Из точки О1 опишем окружность радиуса R1, а из центра О2 – окружность радиуса R2.( R2 = 3R1) так,чтобы они касались в одной точке Р. Через точки О1, О2 и Р проведём прямую линию.
    Через точку Р проведём касательную к этим окружностям.
    Из точи О1 отложим величину заданного угла лямбда один, одна из сторон которого лежит на линии РО1,а другая пересечёт касательную к окружностям в точке V.
    Из точки О2 проводим луч через точку V.

    Полученный угол лямбда два и будет
    трисекцией угла лямбда один.

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    Влаген, предложенная Вами методика трисекции угла не верна. Если бы задача решалась так просто, то почему математики веками не могли её решить? Ошибочность вашей методики легко доказать на частном примере, когда угол λ1=45°. Тогда РV=РО1=1, РV/РО2=1/3= tgλ2, а λ2=arctg(1/3)=18,4…°, что не равно 15°.

    [Ответить]

    Вла Н Reply:

    Вы правы. Спасибо!
    Ошибка в том, что после поворота окружности R1 на любой угол, точки Р приложения векторов скоростей V окружностей R1 и R2 надо прикладывать в разных точках. Векторы не будут лежать на одной прямой.
    Каюсь, ВлаН

    [Ответить]

    Вла Н Reply:

    Наконец-то я решил задачу – Трисекция угла.
    А вот изобразить рисунок с помощью программы paint.net
    - не поучается.
    Предложите простую программу по изображению рисунков.
    А пока могу только словами объяснить методику изображения рисунка.
    А кому это надо?

    [Ответить]

  150. 152 Вячеслав:

    Занимаясь решением задачи трисекции углов я получил уравнение tg α=√3/(4 Cos α +1). Какой геометрической задаче соответствует это равенство и можно ли считать это решением трисекции угла 3α с помощью циркуля и идеальной линейки ?

    [Ответить]

  151. 153 Вячеслав:

    В пункте 126 я предложил простой способ приближенного построения правильного 9-ти угольника, что одновременно является приближенным решением задачи трисекции угла 60°. В пункте 127 Артем сделал замечание, что в описании построения очень много шагов и не указана погрешность. Предлагаю следующее более краткое описание. На произвольной горизонтальной прямой чертим окружность произвольным радиусом R=1 с центром в произвольной точке О и обозначаем точки пересечения окружности с прямой А (слава) и В (справа). Из точек А и В циркулем с раствором R обозначаем вершины правильного 6-ти угольника С, D, Е и G. Проводим прямую СD. Из точек С и Е делаем тем же раствором циркуля пересекающиеся засечки в точке F (вверху) и проводим прямую FO, которая пересечет прямую СD в точке М. Через точки М и Е проведем прямую до пересечения с окружностью в точке Р и с горизонтальной прямой в точке Т. Угол ВТЕ будет примерно равен 20°. Расчет угловой погрешности показан в пункте 132 , она составляет 0,1039…° , что вполне приемлемо для реальных построений. Но я нашел способ достижения сколь угодно малой погрешности. От точки Р радиусом R=1 сделаем засечку на продолжении прямой ВТ и обозначим новую точку Т1, проведём прямую через точки Т1 и Е которая пересечет окружность в новой точке Р1, которая будет чуть ниже точки Р, а угол ВТ1Е чуть меньше угла ВТЕ, а именно равен arc tg √3/(4Cos 20,1039…°+1)=20,0096… . Если выполнить такие построения 10 раз, то получим угол 20,000000000004…°. Реально такие построения невозможны, как не возможно реальное построение многоугольника с числом сторон 65537, но теоретически доказано возможным..

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение