Теорема Чевы

Джованни Чева (Ceva Giovani, 1648-1734) – итальянский инженер и математик. Окончил университет в Пизе. Основные его труды – работы по геометрии и механике. Теорема, известная сегодня как теорема Чевы, была доказана им в 1678 году.

Теорема (теорема Чевы). Пусть точки A_1,B_1,C_1 лежат на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC соответственно. Пусть отрезки AA_1,BB_1 и CC_1 пересекаются в одной точке. Тогда

    \[\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1\]

(обходим треугольник по часовой стрелке).

Доказательство. Обозначим через O точку пересечения отрезков AA_1,BB_1 и CC_1. Опустим из точек C и A перпендикуляры на прямую BB_1 до пересечения с ней в точках K и L соответственно (см. рисунок).

Поскольку треугольники AOB и BOC имеют общую сторону OB, то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. AL и CK:

    \[\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}}=\frac{AL}{CK}=\frac{AB_1}{B_1C} .\]

Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники AB_1L и CB_1K подобны по острому углу.

Аналогично получаем

    \[\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}}=\frac{AC_1}{C_1B}\]

и

    \[\displaystyle\frac{S_{BOA}}{S_{AOC}}=\frac{BA_1}{A_1C} .\]

Перемножим эти три равенства:

    \[\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}}\cdot\frac{S_{AOB}}{S_{AOC}}\frac{S_{BOC}}{S_{AOB}}=1 ,\]

что и требовалось доказать.

Замечание. Отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема (обратная теорема Чевы). Пусть точки A_1,B_1,C_1 лежат на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC соответственно. Пусть выполняется соотношение

    \[\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1 .\]

Тогда отрезки AA_1,BB_1 и CC_1 пересекаются в одной точке.

Доказательство. Пусть O — точка пересечения отрезков AA_1 и BB_1 и прямая CO пересекает сторону AB в некоторой точке C_2. Достаточно доказать, что C_1=C_2.

По теореме Чевы для точек A_1,B_1 и C_2 имеем

    \[\frac{AC_2}{C_2B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1 .\]

Но тогда

    \[\frac{AC_2}{C_2B}=\frac{A_1C}{BA_1}\cdot\frac{B_1A}{CB_1}=\frac{AC_1}{C_1B} .\]

Значит, точки C_1 и C_2 делят отрезок AB в одном и том же отношении. Пусть AC_1=x,\ AC_2=y,\ AB=c. Тогда

    \[\frac{x}{c-x}=\frac{y}{c-y} ,\]

откуда

    \[cx-xy=cy-xy\Leftrightarrow x=y ,\]

то есть точки C_1 и C_2
Источник: В.В. Ткачук, “Математика абитуриенту”, М.: Изд-во МЦНМО, 2004.

Комментариев: 3

  1. 2 Точка Жергонна, теорема Жергонна | Математика, которая мне нравится:

    [...] отношение этих произведений равно , и по теореме Чевы, отрезки пересекаются в одной [...]

  2. 3 Андрей:

    спасибо, теорему не нашел в учебникн, а здесь сразу!!!

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение