Виленкин Н.Я. “Рассказы о множествах”
Еще одна замечательная книга Наума Яковлевича Виленкина, которую тоже можно назвать классической и которая уже выдержала несколько изданий. Написана она хорошо, интересно и понятно. Рассказывается в этой книге о теории множеств Георга Кантора – достаточно сложной для понимания, но красивой и мощной теории, во многом изменившей математику. Кстати сказать, создана теория множеств была в 70-х годах XIX века.
Бесконечные множества – множества с бесконечным числом элементов – имеют много интересных и красивых свойств. Они очень отличаются от привычных, хорошо известных всем нам конечных множеств. Так, например, часть бесконечного множества может быть равна всему множеству. Вы научитесь сравнивать бесконечные множества, узнаете о том, что бесконечности тоже бывают разными, познакомитесь с кривой, площадь которой ненулевая, и с фигурами, у которых нет площади. В книге приведено много примеров, есть и задачи, над которыми предлагается подумать самостоятельно.
Рассмотрен здесь и известный парадокс Бертрана Рассела – парадокс брадобрея, связанный с вопросом существования множества, содержащего в качестве своего элемента самого себя.
Те школьники, которые решат изучать математику и дальше, например, в университетах, обязательно встретятся с канторовой теорией множеств. Им книжка Виленкина поможет в ее восприятии и глубоком осмыслении, а также сделает процесс изучения довольно серьезной теории более легким и интересным. На самом деле, почитать книгу, думаю, будет интересно и полезно не только старшеклассникам, но и всем любителям математики.
Книгу можно найти в сети и скачать, например, здесь. Если же кто-то (как и я, например 
) предпочитает иметь у себя бумажный вариант, то как всегда, привожу ссылку, где можно купить “Рассказы о множествах’’ – это здесь.
1 Заключающая логика: к бесконечности и за нее | Математика, которая мне нравится:
[...] Аналогичный метод использования подмножеств множества целых чисел показывает, что нет уровня бесконечности ниже счетной. Заманчиво, возможно, думать, что существует вдвое меньше четных чисел, так как целые числа в общей сложности являются набором четных и нечетных чисел, которые могут быть составлены в пары. В действительности же каждое подмножество целых чисел либо конечно, либо бесконечно, но счетно (примеч. см. Виленкин Н.Я. “Рассказы о множествах’’). [...]
7 Сентябрь 2011, 0:102 Danilo:
В книге Виленкина Н.Я. «Рассказы о множествах» в 3 главе в пункте «Замкнутая линия бесконечной длины» смущают первоначальные результаты при подсчете периметра линии Ван-дер-Вардена (стр. 113).
«В самом деле, периметр исходного треугольника был равен 3.
После первого шага получилась звезда, периметр которой, как легко подсчитать, равен 4. А на следующем шаге получилась линия, состоящая из 64 ( ?? 48=3•(16/9)! ) отрезков длины 1/9. Значит, ее периметр равен 64/9 ( ?? 48/9).
Потом получается линия длины 256/27 (?? 3•(64/27)= 192/27 ) и т. д.».
А вывод «Вообще, после n-го шага получается линия с периметром 3•(4/3)ⁿ » вопросов не вызывает..
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 13th, 2012 at 23:40
А что не так? Исходно три отрезка, каждый из них делим на 3 части, вместо одной из этих частей берем две. Тем самым, из одного отрезка получается 4, а длина каждого нового отрезка равна
длины отрезка предыдущего шага. Отсюда умножение на
. Все правильно.
[Ответить]
3 Danilo:
Елизавета Александровна! Спасибо. С Вашими рассуждениями согласен.Но смущает фраза в книге:«А на следующем шаге(на 2-м шаге- Данило) получилась линия, состоящая из 64 отрезков длины 1/9. Значит, ее периметр равен 64/9». Здесь, вроде бы, несоответствие между количеством отрезков и их длиной: если длина отрезков равна 1/9, то их количество равно 48 (3•(4/3 •4/3)=48/9) , а периметр равен 48/9=16/3.
3-й шаг: 3•(4/3 •4/3•4/3)= 3•64/27, отрезков – 192, а периметр равен 64/9.
4-й шаг: 3•(4/3 •4/3•4/3•4/3)= 3•256/81, отрезков – 768, а периметр равен 256/27.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 18th, 2012 at 16:13
Danilo, согласна с Вами, похоже, там просто пропущен один шаг.
[Ответить]