«
»

Архимедова спираль

9 Март 2011, 9:19

История спирали Архимеда

Архимедова спираль была открыта (правильно, Вы угадали!) Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.

Использование архимедовой спирали в древности

Архимедову спираль использовали как наилучший способ определения площади круга. С ее помощью был улучшен древний греческий метод нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала возможность более точного измерения длины окружности, а следовательно, и площади круга. Однако вскоре, когда Архимед попытался вычислить более точно значение \pi, которое упрощало нахождение площади круга, было доказано, что спираль для этого не подходит.

Что такое обобщенная Архимедова спираль?

Обобщенная Архимедова спираль определяется как кривая, которая задается в полярных координатах уравнением r=b+a\cdot\theta^{1/n} (далее положим b=0). Спираль Архимеда, в частности, принадлежит множеству обобщенных Архимедовых спиралей.

Название спирали
Значение n
Спираль Архимеда
1
Гиперболическая спираль
-1
Спираль Ферма
2
Литуус (lituus)
-2

Lituus – загнутый авгурский посох, жезл.

Общий вид в полярных координатах:

Спираль Архимеда: r=a\theta


Гиперболическая спираль: r=a\theta^{-1}


Спираль Ферма: r=a\theta^{1/2}


Литуус: r=a\theta^{-1/2}


Параметризация спирали Архимеда

Начнем с уравнения спирали r=a\cdot\theta.

Воспользуемся теоремой Пифагора

x^2+y^2=r^2\qquad (r – радиус окружности).

Также нам понадобятся формулы

    \[x=r\cos\theta, y=r\sin\theta .\]

Возведем уравнение спирали в квадрат:

    \[\begin{array}{l} r^2=a^2\theta^2,\\ x^2+y^2=a^2\theta^2,\\ y^2=a^2\theta^2-x^2,\\ y^2=a^2\theta^2-r^2\cos^2\theta,\\ y=\sqrt{a^2\theta^2-r^2\cos^2\theta},\\ y=\sqrt{a^2\theta^2-a^2\theta^2\cos^2\theta}\qquad(r=a\theta),\\ y=\sqrt{a^2\theta^2(1-\cos^2\theta)},\\ y=\sqrt{a^2\theta^2\sin^2\theta},\\ y=|a\theta\sin\theta|. \end{array}\]

Теперь аналогично выразим x:

    \[x=|a\theta\cos\theta| .\]

Вид параметризованной спирали:

Спирали в реальной жизни

В технике нашли широкое применение плоские спиральные антенны, в том числе и антенны, имеющие вид Архимедовой спирали (http://library.tuit.uz/lectures/afu/anten_fider_ustr/lecture_11.htm):

http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/calcproj/sp06/leviowen/HistoryOfArchimedes.doc

Теги: ,
Рубрика: Интересные кривые  |  Отзывы (RSS)  |  Трекбек

Один комментарий

  1. 1 Виктор:

    Здесь http://notesdisciple.jimdo.com/заметка-1/ Спираль Архимеда воплощает собой Закон Октав.

    [Ответить]

    16 Март 2013, 19:45

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение