Распечатать запись Распечатать запись

Открытие численного соотношения между звуками в музыке

F.Gaffurio, Theorica musica

Наиболее важный вклад внес Пифагор благодаря своему открытию, что длины струн, издающих музыкальные звуки, связаны между собой простыми числовыми соотношениями: например, чтобы от ноты до перейти к следующей ноте до, более низкой, используем струну вдвое длиннее, то есть их длины относятся как 2:1. Для промежуточных нот в порядке возрастания (ре, ми, фа…) используем струны, длины которых, начиная от первой, относятся как 16:9, 8:5, 3:2, 4:3, 6:5, 16:15.

Возможно, это был первый случай математического описания физического процесса, но для Пифагора это было гораздо большим: он считал, что если музыку можно объяснить через отношения целых чисел, то всю Вселенную также можно объяснить через них.

Иными словами, Пифагор верил, что нашел секрет Вселенной, великую магическую формулу, язык богов. Этот избыток оптимизма имел два негативных последствия. Во-первых, пифагорейцы стали своего рода сектой со своими тайными обрядами, они присвоили числам магические значения (это, впрочем, делали и ранее, в Месопотамии).

Второе было даже хуже: они были так убеждены в возможности объяснить все через отношения целых чисел, что когда открыли существование чисел, которые не могут быть выражены таким образом, например, квадратный корень из двух или \pi, они стали их рассматривать как искажение действительности, как то, что в реальности не может существовать. Сегодня мы такие числа называем иррациональными.

Приложение

Обычно числовые отношения между нотами в музыке выражаются через их частоты (число колебаний в секунду), где за основу взято нижнее до, как показано в следующей таблице:

до
ре
ми
фа
соль
ля
си
до
264
297
330
352
396
440
495
528
1/1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
2/1

Таким образом, интервал квинта (от до до соль), получается умножением на 3/2, интервал кварта (от соль до фа) – умножением на 4/3, и т.д.

Заметим, что если длина струны увеличивается в некотором отношении, частота уменьшается в том же отношении. Физический смысл этого заключается в следующем: длина струны составляет половину длины звуковой волны, которая генерируются при ее колебании. Поскольку v=\lambda\nu, где v – скорость распространения волны, \lambda – ее длина, \nu – частота колебаний, получаем, что если использовать струны с одинаковыми характеристиками (и, следовательно, с той же скоростью распространения звуковых волн), длина струны и частота ее колебаний будут обратно пропорциональными величинами.

Перевод статьи Descubrimiento de las relaciones numéricas entre los sonidos armónicos.

Один комментарий

  1. 1 Визуализация Баха: невозможная арфа Александра Чена | Математика, которая мне нравится:

    [...] меняют длину в соответствии с принципами пифагорейского строя. “Математически это основано на дроби ’’, — [...]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение