Распечатать запись Распечатать запись

Величайшая формула математики

Без дальнейших церемоний, вот она:

e^{\pi i}+1=0 .

Ее обычно называют тождеством Эйлера в честь великого швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707 – 1783). Ее можно увидеть на футболках и кофейных кружках, и несколько опросов среди математиков и физиков удостоили ее такого названия, как “величайшее уравнение” (Crease, Robert P., “The greatest equations ever”).

Ощущение красоты и элегантности тождества происходит из того, что оно сочетает в простой форме пять самых важных чисел математических констант: e – основание натурального логарифма, i – квадратный корень из -1, \pi, 1 и 0. Глядя на него внимательно, большинство людей задумываются о показателе: что значит возвести число в мнимую степень? Терпение, терпение, мы до этого доберемся.

Чтобы объяснить, откуда возникает эта формула, мы должны сначала получить более общую формулу, найденную Эйлером, а затем показать, что наше равенство является всего лишь частным случаем этой формулы. Общая формула удивительна сама по себе и имеет множество замечательных приложений в математике, физике и технике.

Первый шаг в нашем путешествии – понять, что большинство функций в математике может быть представлено в виде бесконечной суммы по степеням аргумента. Это пример:

\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots

Здесь x измеряется в радианах, а не в градусах. Мы можем получить хорошее приближение \sin x для конкретного значения x, используя только несколько первых членов ряда. Это пример ряда Тейлора, и довольно легко вывести эту формулу, используя математический анализ. Здесь я не предполагаю знание математического анализа, поэтому прошу читателя принять ее на веру.

Соответствующая формула для косинуса:

\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots

Наконец,

\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots

Число e – константа, равная 2,71828\ldots, и Эйлер был первым, кто признал его фундаментальное значение в математике и вывел последнюю формулу (две предыдущие были найдены Исааком Ньютоном). О числе e написаны книги (например, Maor, E. (1994). e, the story of a number. Princeton University Press), можно также прочитать о нем здесь.

Примерно в 1740 году Эйлер посмотрел на эти три формулы, расположенные приблизительно так, как мы их здесь видим. Сразу видно, что каждое слагаемое в третьей формуле также появляется в любой предыдущей. Тем не менее, половина членов в первых равенствах являются отрицательными, в то время как каждый член в последнем положителен. Большинство людей так бы это и оставили, но Эйлер увидел во всем этом закономерность. Он первый сложил первые две формулы:

\displaystyle \sin x+\cos x=1+x-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots

Обратите внимание на последовательность знаков в этом ряду: + + – - + + – - + +\ldots, она повторяется группами по 4. Эйлер заметил, что эта же последовательность знаков получается, когда мы возводим мнимую единицу i в целые степени:

i^0=+1,i^1=+i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=+1,i^5=+i,\ldots

Это означало, что можно заменить x в последней формуле на x i и получить:

\displaystyle e^{xi}=1+xi-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{ix^7}{7!}+\ldots

Теперь знаки соответствуют знакам в предыдущей формуле, и новый ряд совпадает с предыдущим, за исключением того, что члены разложения \sin x умножаются на i. То есть получаем в точности

e^{xi}=\cos x+i\sin x .

Это удивительный и таинственный результат, он свидетельствует о существовании тесной связи между числом e и синусами и косинусами в тригонометрии, хотя e было известно только из задач, не связанных с геометрией или треугольниками. Кроме ее элегантности и странности, однако, было бы трудно переоценить важность этой формулы в математике, которая увеличивалась с момента ее открытия. Она появляется везде, и не так давно вышла книга примерно в 400 страниц (Nahin P. Dr. Euler’s Fabulous Formula, 2006), посвященная описанию некоторых приложений этой формулы.

Обратите внимание, что старый вопрос о мнимых показателях в настоящее время решен: для возведения e в мнимую степень просто поставьте мнимое число в формулу Эйлера. Если основание – число, отличное от e, требуется только ее незначительная модификация.

Теперь вернемся к волшебному равенству. Мы можем подставить в него любое вещественное число x, и в результате получим некоторое комплексное число. Один возможный выбор для x – это x=\pi. Вспомним из тригонометрии, что \pi радиан – это 180 градусов. Косинус 180 градусов равен -1, а синус равен 0.

Поэтому

e^{\pi i}=-1+i0, или e^{\pi i}=-1 .

Все это дает понятие о мощи и творческих способностях Леонарда Эйлера, и о том, почему его иногда называют выдающимся умом восемнадцатого века. Я буду еще писать о нем и некоторых его результатах в серии Euler’s Greatest Hits.

Перевод статьи Larry Phillips, The Greatest Formula in Mathematics, http://brightstartutors.com/blog/2010/01/29/the-greatest-formula-in-mathematics.

Комментариев: 8

  1. 1 Геннадий:

    Да, это – супер!…!. Всегда любил математику за просто так. И хотя мне за 60, частенько решаю задачи вместе с судоку и кроссвордами (но задачки значительно чаще). Интересно было бы рассмотреть практический пример на применение этой формулы. С нетерпением буду ждать очередных поступлений подписки.

    [Ответить]

  2. 2 Сумма ряда обратных квадратов (Basel problem) | Математика, которая мне нравится:

    [...] всем попыткам ее решить до тех пор, пока молодой Леонард Эйлер в 1734 году не нашел ответ. Как увидит читатель, решение [...]

  3. 3 nakshi:

    А собственно, что великого то?
    С определенными оговорками (типа i) можно сравнить велосипед с самолетом.
    Бросьте эти восхищения и спуститесь на землю.
    Математика дает больше шарлатанства, чем пользы.
    Например, возведение в степень 0.
    Вам не кажется странным, что это дает 1?
    В прочем “штучки” типа i и здесь помогут уйти еще дальше в абстракционизм.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Просто для сведения. “Штучки типа i” вполне себе используются при расчете надежности мостов, сводов и прочих разных крыш :) Ну да, шарлатанство все это ;)

    [Ответить]

  4. 4 Юрий:

    А что со степенью 0 странного-то? Степень это x^n = 1 * х * x * … * x – n раз. 1 * х перемноженное с самим собой 0 раз есть 1.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Юрий, а почему у Вас там 1? Обычно все то же самое, но без 1…

    [Ответить]

    Юрий Reply:

    Просто я попытался ответить на предыдущий комментарий – откуда ноги растут у степени 0, и что все логично, на мой взгляд:

    …….*n = 1/(n^2) – степень -2
    1/(n^2)*n = 1/(n^1) – степень -1
    1/(n^1)*n = 1 – степень 0
    1*n = n – степень 1
    n*n = n^2 – степень 2

    и т.д.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Теперь поняла. А вообще интересно, спасибо.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение