Величайшая формула математики
Без дальнейших церемоний, вот она:
Ее обычно называют тождеством Эйлера в честь великого швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Ее можно увидеть на футболках и кофейных кружках, и несколько опросов среди математиков и физиков удостоили ее такого названия, как “величайшее уравнение” (Crease, Robert P., “The greatest equations ever”).
Ощущение красоты и элегантности тождества происходит из того, что оно сочетает в простой форме пять самых важных чисел математических констант: — основание натурального логарифма,
— квадратный корень из
и
. Глядя на него внимательно, большинство людей задумываются о показателе: что значит возвести число в мнимую степень? Терпение, терпение, мы до этого доберемся.
Чтобы объяснить, откуда возникает эта формула, мы должны сначала получить более общую формулу, найденную Эйлером, а затем показать, что наше равенство является всего лишь частным случаем этой формулы. Общая формула удивительна сама по себе и имеет множество замечательных приложений в математике, физике и технике.
Первый шаг в нашем путешествии — понять, что большинство функций в математике может быть представлено в виде бесконечной суммы по степеням аргумента. Это пример:
Здесь измеряется в радианах, а не в градусах. Мы можем получить хорошее приближение
для конкретного значения
, используя только несколько первых членов ряда. Это пример ряда Тейлора, и довольно легко вывести эту формулу, используя математический анализ. Здесь я не предполагаю знание математического анализа, поэтому прошу читателя принять ее на веру.
Соответствующая формула для косинуса:
Наконец,
Число — константа, равная
, и Эйлер был первым, кто признал его фундаментальное значение в математике и вывел последнюю формулу (две предыдущие были найдены Исааком Ньютоном). О числе
написаны книги (например, Maor, E. (1994). e, the story of a number. Princeton University Press), можно также прочитать о нем здесь.
Примерно в 1740 году Эйлер посмотрел на эти три формулы, расположенные приблизительно так, как мы их здесь видим. Сразу видно, что каждое слагаемое в третьей формуле также появляется в любой предыдущей. Тем не менее, половина членов в первых равенствах являются отрицательными, в то время как каждый член в последнем положителен. Большинство людей так бы это и оставили, но Эйлер увидел во всем этом закономерность. Он первый сложил первые две формулы:
Обратите внимание на последовательность знаков в этом ряду: , она повторяется группами по 4. Эйлер заметил, что эта же последовательность знаков получается, когда мы возводим мнимую единицу
в целые степени:
Это означало, что можно заменить в последней формуле на
и получить:
Теперь знаки соответствуют знакам в предыдущей формуле, и новый ряд совпадает с предыдущим, за исключением того, что члены разложения умножаются на
. То есть получаем в точности
Это удивительный и таинственный результат, он свидетельствует о существовании тесной связи между числом и синусами и косинусами в тригонометрии, хотя
было известно только из задач, не связанных с геометрией или треугольниками. Кроме ее элегантности и странности, однако, было бы трудно переоценить важность этой формулы в математике, которая увеличивалась с момента ее открытия. Она появляется везде, и не так давно вышла книга примерно в 400 страниц (Nahin P. Dr. Euler’s Fabulous Formula, 2006), посвященная описанию некоторых приложений этой формулы.
Обратите внимание, что старый вопрос о мнимых показателях в настоящее время решен: для возведения в мнимую степень просто поставьте мнимое число в формулу Эйлера. Если основание – число, отличное от
, требуется только ее незначительная модификация.
Теперь вернемся к волшебному равенству. Мы можем подставить в него любое вещественное число , и в результате получим некоторое комплексное число. Один возможный выбор для
— это
. Вспомним из тригонометрии, что
радиан — это 180 градусов. Косинус 180 градусов равен
, а синус равен
.
Поэтому
, или
Все это дает понятие о мощи и творческих способностях Леонарда Эйлера, и о том, почему его иногда называют выдающимся умом восемнадцатого века. Я буду еще писать о нем и некоторых его результатах в серии Euler’s Greatest Hits.
Перевод статьи Larry Phillips, The Greatest Formula in Mathematics, http://brightstartutors.com/blog/2010/01/29/the-greatest-formula-in-mathematics.
1 Геннадий:
Да, это – супер!…!. Всегда любил математику за просто так. И хотя мне за 60, частенько решаю задачи вместе с судоку и кроссвордами (но задачки значительно чаще). Интересно было бы рассмотреть практический пример на применение этой формулы. С нетерпением буду ждать очередных поступлений подписки.
[Ответить]
6 Февраль 2011, 11:002 Сумма ряда обратных квадратов (Basel problem) | Математика, которая мне нравится:
[...] всем попыткам ее решить до тех пор, пока молодой Леонард Эйлер в 1734 году не нашел ответ. Как увидит читатель, решение [...]
19 Март 2011, 18:503 nakshi:
А собственно, что великого то?
С определенными оговорками (типа i) можно сравнить велосипед с самолетом.
Бросьте эти восхищения и спуститесь на землю.
Математика дает больше шарлатанства, чем пользы.
Например, возведение в степень 0.
Вам не кажется странным, что это дает 1?
В прочем “штучки” типа i и здесь помогут уйти еще дальше в абстракционизм.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 28th, 2012 at 16:21
Просто для сведения. “Штучки типа i” вполне себе используются при расчете надежности мостов, сводов и прочих разных крыш
Ну да, шарлатанство все это
[Ответить]
4 Юрий:
А что со степенью 0 странного-то? Степень это x^n = 1 * х * x * … * x – n раз. 1 * х перемноженное с самим собой 0 раз есть 1.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 4th, 2012 at 19:58
Юрий, а почему у Вас там 1? Обычно все то же самое, но без 1…
[Ответить]
Юрий Reply:
Декабрь 5th, 2012 at 10:43
Просто я попытался ответить на предыдущий комментарий – откуда ноги растут у степени 0, и что все логично, на мой взгляд:
…….*n = 1/(n^2) – степень -2
1/(n^2)*n = 1/(n^1) – степень -1
1/(n^1)*n = 1 – степень 0
1*n = n – степень 1
n*n = n^2 – степень 2
…
и т.д.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 5th, 2012 at 15:15
Теперь поняла. А вообще интересно, спасибо.
[Ответить]
5 Рик:
А как вам такое тождество!?
0 в степени N + 1 в степени N = бесконечность….
[Ответить]
25 Октябрь 2017, 17:46