Одна красивая теорема из планиметрии

30 Январь 2011, 9:29

Очень красивая и интересная теорема с красивым названием, имеющая массу различных доказательств.

Теорема о бабочке. Пусть точка – середина хорды окружности . Проведем через две другие хорды: и . Хорда пересечет в точке , а пересечет в точке . Тогда точка является серединой отрезка .

Пока традиционное лирическое отступление, чтобы вы сразу не бросились читать доказательство, а попробовали доказать эту теорему сами)))

Говорят, что автором этой теоремы является Уильям Джордж Горнер (1786 – 1837), известный по схеме Горнера. Опубликована теорема была в 1815 г. в Англии, в журнале “Gentleman’s Dairy” (мужском журнале). На сегодняшний день известно немало ее доказательств. Вы можете посмотреть на них, например здесь (правда, на английском языке).

Уильям Джордж Горнер (William George Horner)

Ну вот, теперь доказательство из книги Коксетера Г.С.М., Крейцера С.Л. “Новые встречи с геометрией”.

Доказательство. Опустим перпендикуляры x_1 и x_2 из точки и y_1 и y_2 из точки на и . Обозначим a = MP = MQ , x = XM и y = YM .

Рассмотрим несколько пар подобных треугольников, из которых получим следующие соотношения

Из треугольников Mx_1 и My_1 получаем $\displaystyle \frac{x}{y} = \frac{x_1}{y_1}$ ,

из Mx_2 и My_2 получаем $\displaystyle \frac{x}{y} = \frac{x_2}{y_2}$ ,

из Ax_1 и Cy_2 получаем $\displaystyle\frac{x_1}{y_2} = \frac{AX}{CY}$ ,

из Dx_2 и By_1 получаем $\displaystyle \frac{x_2}{y_1} =\frac{ XD}{YB}$ .

Отсюда
$\displaystyle \frac{x^2}{y^2} = \frac{x_1}{y_2}\cdot\frac{x_2}{y_1} = \frac{x_1}{y_1}\cdot\frac{x_2}{y_2} = \frac{AX\cdot XD}{CY\cdot YB} = \frac{PX\cdot XQ}{PY\cdot YQ}.$

Так что
$\displaystyle \frac{x^2}{y^2} = \frac{(a – x)(a + x)}{(a – y)(a + y)} = \frac{a^2 – x^2}{a^2 – y^2} = \frac{a^2}{a^2} = 1.$

Наконец, получаем x = y .

Теги: геометрия, математика, планиметрия
Рубрика: Статьи по математике | Отзывы (RSS) | Трекбек

Комментариев: 6

1 максим:

как жеж вам, математикам, тяжело…

[Ответить]
17 Февраль 2012, 22:03
2 Елизавета Александровна Калинина:

Почему, Максим? Вовсе нет. Нам интересно

[Ответить]
17 Февраль 2012, 22:15
3 Марк:

Почему (a^2-x^2)/(a^2-y^2)=a^2/a^2???

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 23:30
Пусть $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c-a}{c-b}$ . Тогда и $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{c}=1$ .

[Ответить]
21 Май 2016, 0:22
4 Игорь:

Добрый день!
Подскажите, пожалуйста, откуда в строчке, начинающейся с x2/y2 берется последнее равенство =PX*XQ/PY*YQ ?

[Ответить]
Игорь Reply:
Январь 23rd, 2017 at 18:00
Понял )
Из свойств пересекающихсйя хорд (произведения частей равны)

[Ответить]
23 Январь 2017, 14:45