Распечатать запись Распечатать запись

Одна красивая теорема из планиметрии

Очень красивая и интересная теорема с красивым названием, имеющая массу различных доказательств.

Теорема о бабочке. Пусть точка M – середина хорды окружности PQ. Проведем через M две другие хорды: AB и CD. Хорда AD пересечет PQ в точке X, а BC пересечет PQ в точке Y. Тогда точка M является серединой отрезка XY.

Пока традиционное лирическое отступление, чтобы вы сразу не бросились читать доказательство, а попробовали доказать эту теорему сами)))

Говорят, что автором этой теоремы является Уильям Джордж Горнер (1786 – 1837), известный по схеме Горнера. Опубликована теорема была в 1815 г. в Англии, в журнале “Gentleman’s Dairy” (мужском журнале). На сегодняшний день известно немало ее доказательств. Вы можете посмотреть на них, например здесь (правда, на английском языке).

Уильям Джордж Горнер (William George Horner)

Ну вот, теперь доказательство из книги Коксетера Г.С.М., Крейцера С.Л. “Новые встречи с геометрией”.

Доказательство. Опустим перпендикуляры x_1 и x_2 из точки X и y_1 и y_2 из точки Y на AB и CD. Обозначим a = MP = MQ, x = XM и y = YM.

Рассмотрим несколько пар подобных треугольников, из которых получим следующие соотношения

Из треугольников Mx_1 и My_1 получаем \displaystyle \frac{x}{y} = \frac{x_1}{y_1},

из Mx_2 и My_2 получаем \displaystyle \frac{x}{y} = \frac{x_2}{y_2},

из Ax_1 и Cy_2 получаем \displaystyle\frac{x_1}{y_2} = \frac{AX}{CY},

из Dx_2 и By_1 получаем \displaystyle \frac{x_2}{y_1} =\frac{ XD}{YB}.

Отсюда
\displaystyle \frac{x^2}{y^2} = \frac{x_1}{y_2}\cdot\frac{x_2}{y_1} = \frac{x_1}{y_1}\cdot\frac{x_2}{y_2} = \frac{AX\cdot XD}{CY\cdot YB} = \frac{PX\cdot XQ}{PY\cdot YQ}.

Так что
\displaystyle \frac{x^2}{y^2} = \frac{(a – x)(a + x)}{(a – y)(a + y)} = \frac{a^2 – x^2}{a^2 – y^2} = \frac{a^2}{a^2} = 1.

Наконец, получаем x = y.

Комментариев: 4

  1. 1 максим:

    как жеж вам, математикам, тяжело…

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Почему, Максим? Вовсе нет. Нам интересно :)

    [Ответить]

  3. 3 Марк:

    Почему (a^2-x^2)/(a^2-y^2)=a^2/a^2???

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пусть \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c-a}{c-b}. Тогда ac-ab=bc-ab и \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{c}=1.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение