Одна красивая теорема из планиметрии
Очень красивая и интересная теорема с красивым названием, имеющая массу различных доказательств.
Теорема о бабочке. Пусть точка 
— середина хорды окружности 
. Проведем через две другие хорды: 
и 
. Хорда 
пересечет в точке 
, а 
пересечет в точке 
. Тогда точка является серединой отрезка 
.
Пока традиционное лирическое отступление, чтобы вы сразу не бросились читать доказательство, а попробовали доказать эту теорему сами)))
Говорят, что автором этой теоремы является Уильям Джордж Горнер (1786 — 1837), известный по схеме Горнера. Опубликована теорема была в 1815 г. в Англии, в журнале “Gentleman’s Dairy” (мужском журнале). На сегодняшний день известно немало ее доказательств. Вы можете посмотреть на них, например здесь (правда, на английском языке).
Уильям Джордж Горнер (William George Horner)
Ну вот, теперь доказательство из книги Коксетера Г.С.М., Крейцера С.Л. “Новые встречи с геометрией”.
Доказательство. Опустим перпендикуляры 
и 
из точки и 
и 
из точки на и . Обозначим 
, 
и 
.
Рассмотрим несколько пар подобных треугольников, из которых получим следующие соотношения
Из треугольников 
и 
получаем 
,
из 
и 
получаем 
,
из 
и 
получаем 
,
из 
и 
получаем 
.
Отсюда
![\[\frac{x^2}{y^2} = \frac{x_1}{y_2}\cdot\frac{x_2}{y_1} = \frac{x_1}{y_1}\cdot\frac{x_2}{y_2} = \frac{AX\cdot XD}{CY\cdot YB} = \frac{PX\cdot XQ}{PY\cdot YQ}.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17127f0acff4e197cc48ef22fe7656ec_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Так что
![\[\frac{x^2}{y^2} = \frac{(a - x)(a + x)}{(a - y)(a + y)} = \frac{a^2 - x^2}{a^2 - y^2} = \frac{a^2}{a^2} = 1.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1b3968624596776b59068f50c6523455_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Наконец, получаем 
.
1 максим:
как жеж вам, математикам, тяжело…
[Ответить]
17 Февраль 2012, 22:032 Елизавета Александровна Калинина:
Почему, Максим? Вовсе нет. Нам интересно
[Ответить]
17 Февраль 2012, 22:153 Марк:
Почему (a^2-x^2)/(a^2-y^2)=a^2/a^2???
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 23:30
Пусть
. Тогда 
и 
.
[Ответить]
4 Игорь:
Добрый день!
Подскажите, пожалуйста, откуда в строчке, начинающейся с x2/y2 берется последнее равенство =PX*XQ/PY*YQ ?
[Ответить]
Игорь Reply:
Январь 23rd, 2017 at 18:00
Понял )
Из свойств пересекающихсйя хорд (произведения частей равны)
[Ответить]