Распечатать запись Распечатать запись

Золотое сечение

Евклид в “Началах” говорит, что отрезок AB делится в крайнем и среднем отношении к C, если AB:AC = AC:CB.

Рис. 1

Хотя Евклид не использует этот термин, мы будем называть это отношение золотым сечением. Определение приводится в Книге VI, но построение дается во второй Книге, в теореме 11 относительно площадей, которая доказывается путем деления отрезка в отношении золотого сечения. Наряду с построением деления отрезка в отношении золотого сечения, Евклид приводит приложения, такие как построение правильного пятиугольника, икосаэдра (примеч. многогранника с 20 гранями – правильными треугольниками) и додекаэдра (примеч. многогранника с 12 гранями – правильными пятиугольниками). Покажем, как золотое сечение применяется в построении пятиугольника.

Сначала построим равнобедренный треугольник, углы при основании которого равны удвоенному углу при вершине. Сделаем это, построив отрезок AB и отметив точку C, делящую его в отношении золотого сечения. Затем нарисуем окружность с центром в A радиусом AB. Отметим на окружности точку D, такую что AC=CD=BD. Треугольник ABD такой, что его углы при основании равны удвоенному углу при вершине. (Примеч. Кстати сказать, а почему найдется такая точка D?)

Рис. 2

Теперь, построив такой треугольник ABD, проведем окружность через точки A,B и D. Затем проведем DE – биссектрису угла ABD, пересекающую окружность в точке E. Заметим, что она пройдет через точку C – точку деления AB в золотой пропорции. Аналогичным образом построим точку F и получим пятиугольник AEBDF.

Рис. 3

Конечно, никто не считает, что “Начала” Евклида являются оригинальной работой, поэтому возникает вопрос, кто изучал золотое сечение до Евклида. Сейчас некоторые историки думают, что Книга II “Начал” охватывает материал, первоначально изученный Феодором Киренским, то время как другие приписывают этот материал Пифагору или, по крайней мере, пифагорейцам. Прокл, писавший в V веке нашей эры, утверждает:

“Евдокс … помноженный на ряд предложений, касающихся деления (отрезков), берущих свое начало у Платона, с использованием метода анализа их решений”.

Многие считают, что “деление (отрезков)” Прокла является “золотым сечением”. Евдокс, безусловно, слушал лекции Платона, так что вполне разумно предположение, что он мог работать над темами, предложенными в ходе этих лекций. Хит (Heath) пишет в своем издании “Начал” Евклида:

“Эта мысль, что Платон начал изучение [золотого сечения] самого по себе нисколько не противоречит предположению, что задача Евклида II, 11 была решена пифагорейцами”.

Хит в той же работе утверждает далее, что построение пятиугольника, использующее метод равнобедренного треугольника, как уже упоминалось ранее, было известно пифагорейцам, так что имеется достаточное количество доказательств того, что именно тогда началось изучение золотого сечения.

Гипсикл около 150 г. до н.э. писал о правильных многогранниках. Он является автором того, что называется Книгой XIV “Начал” Евклида – работы, которая рассматривает вписанные в сферу правильные тела. Золотое сечение участвует в построениях.

До этого времени золотая пропорция, похоже, рассматривается как геометрическое свойство, и нет никаких очевидных признаков того, что делались какие-либо попытки связать отношение с числом. Конечно, если длина AB равна 1 и AC=x (где C делит AB в золотой пропорции) то мы можем использовать простую алгебру для нахождения x:

\displaystyle \frac{1}{x} = \frac{x}{1-x} дает x^2 + х – 1 = 0, так что \displaystyle x= \frac{\sqrt{5}-1}{2} .

Тогда золотое сечение равно

\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}}{2}= 1.6180339887498948482\ldots

Герон, безусловно, начинает вычислять приближенные отношения и в своей работе дает приближенное значение отношения площади пятиугольника к площади квадрата одной его стороны. Птолемей положил начало вычислению тригонометрических таблиц, по крайней мере, в терминах хорд и окружностей. Он вычисляет сторону правильного пятиугольника через радиус описанной окружности.

С развитием алгебры арабами можно было бы ожидать, что будет найдено квадратное уравнение (или что-либо подобное ему), как то, что мы привели выше. Аль-Хорезми действительно приводит ряд задач, относящихся к делению отрезка длины 10 на две части, и одна из них дает квадратное уравнение для длины меньшей части отрезка длиной 10, разделенного в отношении золотого сечения. Однако нет никакого упоминания золотой пропорции, и непонятно, думает ли аль-Хорезми об этой задаче.

Абу Камиль приводит аналогичные уравнения, которые возникают при делении отрезка длиной 10 различными способами. Два из этих способов связаны с золотой пропорцией, но опять неясно, знает ли об этом Абу Камил. Однако когда Фибоначчи писал Liber Abaci, он использовал много арабских источников, один из которых – задачи Абу Камила. Фибоначчи ясно указывает, что ему известно о связи между двумя задачами Абу Камила и золотого сечения. В Liber Abaci он дает длины сегментов отрезка длиной 10, который разделен в отношении золотого сечения, как \sqrt{125}-5 и 15 – \sqrt{125}.

Пачоли написал Divina proportione (Божественную пропорцию) – это его название золотого сечения. Книга содержит мало нового по этой теме, в ней собраны результаты из книг Евклида и других источников относительно золотой пропорции. Пачоли утверждает (без каких-либо попыток доказательства или ссылки), что золотое сечение не может быть рациональным. Он также приводит результат из Liber Abaci о длинах сегментов отрезка длиной 10, разделенного в отношении золотого сечения. Мало нового в книге Пачоли, который просто повторяет (как правило, без доказательств) результаты, опубликованные другими авторами. Конечно, название книги интересно, и Пачоли пишет:

“…мне кажется, что надлежащее название для этого трактата должно быть Божественная пропорция. Это потому, что есть очень много соответствующих признаков, которые я нахожу в нашей пропорции – подходящих самому Богу – что является предметом нашего очень полезного дискурса”.

Он дает пять таких признаков, возможно, самые интересные, это

“… точно так же, как Бог не может быть правильно определен, и не может быть понят через слова, так это наше отношение никогда не может быть установлено через понятные числа и не может быть выражено через какое-либо рациональное количество, но всегда останется скрытым и тайным, и его математики называют иррациональным”.

Кардан, Бомбелли и другие в свои работы включали задачи на нахождение золотого сечения с использованием квадратных уравнений. Удивительная информация содержится в копии 1509 г. издания Пачоли “Начал” Евклида. Кто-то написал записку, в которой ясно показывает, что было известно, что отношение соседних членов последовательности Фибоначчи стремится к золотому сечению. Эксперты по почерку датируют записку началом XVI века, так что остается интригующий вопрос, кто ее написал. См. L. Curchin and R. Herz-Fischler, De quand date le premier rapprochement entre la suite de Fibonacci et la division en extrême et moyenne raison?, Centaurus 28 (2) (1985), 129-138, где об этом написано более подробно.

Первое известное представление золотого сечения в виде десятичной дроби было дано в письме, написанном в 1597 году Майклом Мастлином, в университете Тюбингена, его бывшему студенту Кеплеру. Он приводит “примерно 0.6180340” для длины большей части отрезка длиной 1, разделенного в золотой пропорции. Правильное значение 0.61803398874989484821\ldots. Мистическое восприятие золотой пропорции, конечно, привлекало Кеплера, как и ее связь с правильными телами. Его труды по этой теме – смесь хорошей математики и магии. Он, как и комментатор Евклида Пачоли, знает, что отношение соседних членов последовательности Фибоначчи стремится к золотой пропорции, и он заявляет об этом явно в письме, написанном в 1609 году.

То, что отношение соседних членов последовательности Фибоначчи стремится к золотому сечению, как правило, связывают с Симсоном, который привел этот результат в 1753 году. Мы только что видели, что он не был первым, кто это обнаружил. В самом деле, Альбер Жирар также открыл это независимо от Кеплера. Этот результат появился в публикации 1634 года, которая состоялась через два года после смерти Альбера Жирара.

В этой статье мы употребляли термин “золотое сечение”, но это название не использовалось ни одним из математиков, отмеченных выше, его изучавших. Мы отметили, что “сечение”, возможно, использовал Прокл, хотя некоторые историки оспаривают, что его деление (отрезков) относится к золотой пропорции. Общий термин, используемый ранними авторами, был просто “деление в крайнем и среднем отношении”. Пачоли, безусловно, ввел термин “Божественная пропорция” и некоторые более поздние авторы, такие как Рамус и Клавиус, приняли этот термин. Клавиус также использует термин “пропорционально разделить”, и аналогичные выражения появляются в работах других математиков. Название “непрерывное отношение” также использовалось.

Названия, которые теперь применяются, это золотая пропорция, золотое число или золотое сечение. Эти термины современны в том смысле, что они были введены позже, чем написана любая из тех работ, которые мы обсуждали выше. Первое известное использование термина содержится в сноске в Die reine Elementar-Matematik Мартина Ома (брата Георга Симона Ома):

“Имеется также привычка называть это разделение произвольного отрезка на две такие части золотым сечением; иногда также говорят в этом случае, что отрезок r делится непрерывно”.

Первое издание книги Мартина Ома вышло в 1826 году. Только что приведенной сноски в нем не было, и в тексте использовался термин “непрерывное деление”. Очевидно, где-то между 1826 и 1835 годами название “золотое сечение” начали применять, но его происхождение остается загадкой. Из сноски Ома ясно, что термин “золотое сечение” с ним не связан. Фаулер, в D.H. Fowler, A generalization of the golden section, Fibonacci Quart. 20 (2) (1982), 146-158, рассматривает доказательства и приходит к выводу, что 1835 год – время первого появления этого термина.

Золотое сечение было знаменито на протяжении всей истории благодаря своим эстетическим свойствам, и утверждается, что оно сильно повлияло на архитектуру Древней Греции. В статье J. Mawhin, Au carrefour des mathématiques, de la nature, de l’art et de l’ésotérisme: le nombre d’or, Rev. Questions Sci. 169 (2-3) (1998), 145-178, обсуждается, является ли золотое сечение универсальным природным явлением, в какой степени оно было использовано архитекторами и художниками, и существует ли какая-либо его связь с эстетикой.

J.J. O’Connor, E.F. Robertson, The Golden ratio. Перевод статьи http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Golden_ratio.html

Один комментарий

  1. 1 Определения Евклида | Математика, которая мне нравится:

    [...] пять знаменитых постулатов. Далее, перед тем как Евклид начинает доказывать теоремы, он приводит список общих [...]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение