Математика, которая мне нравится

В школе изучают таблицу умножения, а затем учат детей умножать числа в столбик. Разумеется, это не единственный способ умножения. На самом деле, существовало несколько десятков способов умножения и деления многозначных чисел. Приведу здесь, возможно, даже более простой “метод решетки” (см. книгу И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин “За страницами учебника математики”). Рассмотрим этот метод на примере.

Пусть нужно умножить на . Начертим таблицу, как на рисунке а), запишем над ней число слева направо, а справа от нее — число сверху вниз. В каждую клеточку запишем произведение цифр, стоящих над этой клеточкой и справа от нее. При этом цифру десятков произведения напишем над косой чертой, а цифру единиц — под ней. А теперь будем складывать цифры в каждой косой полосе, показанные на рисунке, выполняя эту операцию справа налево. Если сумма окажется меньше , то ее пишут под нижней цифрой полосы. Если же она окажется больше , то пишут только цифру единиц суммы, а цифру десятков прибавляют к следующей сумме. В результате получаем нужное произведение, которое равно .

Этот способ умножения раньше был распространен на Востоке и в Италии. Чтобы понять его смысл, посмотрим на рисунок б). Видим, что в первой полосе стоят единицы, во второй — десятки, в третьей — сотни и т.д. Иными словами, произведение вычисляется следующим образом:

   

Есть еще некоторые правила, помогающие быстрому счету. Так, чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на , нужно к первой цифре прибавить и умножить полученное число на эту цифру, а потом к полученному результату приписать . Например, возведем в квадрат . Первая цифра этого числа , прибавим : . Умножим на , получим , дальше просто припишем . Итак, ответ: .

Такое правило следует сразу же из того, что

   

Разумеется, так можно возводить в квадрат и трехзначные числа, оканчивающиеся на , и числа, которые имеют еще больше знаков. Однако в этих случаях придется вычислять произведение , где в числе уже несколько десятичных знаков, а это тоже приходится делать, скажем, в столбик, то есть это уже сложнее!

<

А теперь на видео представлен метод умножения, бурно просматриваемый и обсуждаемый в Интернете, который называют китайским. Забавно и интересно. Кстати сказать, выложены уже некоторые обобщения этого способа, потому что проводить 9 прямых при умножении на 9 как-то долго и неинтересно, а потом еще точки пересечения считать… В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно! Думаю, вы сами сможете объяснить, почему метод работает. Внимание, вопрос: так почему же?