Распечатать запись Распечатать запись

История фрактальной геометрии

Любое математическое понятие, которое сегодня хорошо известно школьникам, прошло через десятилетия или даже века уточнений. Типичная студентка в разное время обучения математике, независимо от того, насколько долго она ее изучала, встречает такие понятия, как размерность, комплексные числа и геометрия. Если математика не особенно ее интересует, эта студентка может считать эти понятия различными и не связанными между собой, в частности, она может ошибаться, считая, что евклидова геометрия, которой ее учили в школе, охватывает все области геометрии. Однако если бы она изучала математику на университетском уровне, она могла бы открыть для себя интересную и относительно новую область исследований, которая связывает вышеупомянутые идеи, а также и многие другие – фрактальную геометрию.

Хотя львиная доля развития фрактальной геометрии принадлежит Бенуа Мандельброту, многие математики предыдущего века заложили основу для этой работы. Кроме того, Мандельброт обязан многими своими достижениями возможности использовать компьютерные технологии – этого преимущества его предшественникам явно не хватало, однако это никоим образом не умаляет его фантастических достижений. Тем не менее, несмотря на признание и понимание вклада Мандельброта, несомненно, стоит познакомиться с относящимися к этой теме работами Карла Вейерштрасса, Георга Кантора, Феликса Хаусдорфа, Гастона Жулиа, Пьера Фату и Пола Леви. Это поможет не только сделать работу Мандельброта яснее, но и увидеть ее связь с другими разделами математики. Равным образом, в то время как большинство авторов включают по крайней мере краткое обсуждение довольно интересной и несколько нетрадиционной (для современного математика) жизни Мандельброта в свои тексты о фракталах, кажется справедливым, чтобы рассказать немного, если не столько же, о его предшественниках.

До XIX века математики имели дело только с функциями, которые задают гладкие кривые. Действительно, обычный здравый смысл подсказывал, что любая функция, которая может быть задана аналитически (т.е. представимая в виде суммы сходящегося ряда), безусловно, задает такую кривую. Однако 18 июля 1872 г. Карл Вейерштрасс в Королевской Академии наук Пруссии представил работу, в которой было показано, что для натурального числа a и числа 0<b<1 ряд

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b^n\cos(a^nx\pi)

не дифференцируем. Используя определение производной как предела, он доказал, что отношение приращения функции к приращению аргумента

\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

становится сколь угодно большим при увеличении индекса суммирования.

Как заметил Вейерштрасс, Риман ввел ряд

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n^2x)}{n^2}

в качестве примера недифференцируемой аналитической функции, но не опубликовал доказательство, и его никто не мог повторить. Таким образом, пример Вейерштрасса является первым строго доказанным примером аналитической, но не дифференцируемой функции. Хотя Вейерштрасс, и, разумеется, большая часть математического сообщества того времени избегали использования рисунков, а применяли символы и действия с ними для доказательства своих результатов, математики более позднего времени, такие как Хельге фон Кох и Мандельброт, сочли для себя целесообразным представить их результаты в графическом виде. Действительно, когда кто-то работает только с кривыми, почти везде дифференцируемыми, очевидный вопрос, который возникает при обнаружении кривой, которая таковой не является: “На что это похоже?”

Рис. 1,2

Хотя и то, и другое приближение, можно увидеть, что у этих функций нет гладкости параболы или функций синус и косинус. Эти функции не поддавались традиционному анализу и были – хотя и не из-за их вида, который не способны были представить математиков того времени – названы Чарльзом Эрмитом “монстрами”, и в значительной степени математическое сообщество их игнорировало.

В 1883 году Георг Кантор, который посещал лекции Вейерштрасса в бытность свою студентом Берлинского университета, положил начало теории множеств Мандельброта – фрактальной геометрии, введя новую функцию \psi, для которой \psi’= 0 во всех точках за исключением точек некоторого множества \{ z\}. Это множество \{ z\} стало известно как множество Кантора.

Рис. 3,4. График функции Кантора и множество Кантора

Функция \psi особая, монотонная, не постоянная, и почти везде \psi’= 0. Она также обладает свойством

\psi (1) – \psi (0) = 1 однако \displaystyle \int_0^1\psi ‘(x) dx = 0 .

Множество Кантора имеет меру Лебега нуль, однако оно также счетно-бесконечное. Более того, оно самоподобное – то есть оно состоит из нескольких частей, которые подобны всему множеству в целом. Глядя на рис. 4, легко видеть, что длина каждой горизонтальной линии составляет одну треть длины линии, расположенной непосредственно над ней. В действительности самоподобие является особенностью фракталов, и множество Кантора – это ранний пример фрактала, хотя самоподобие не было определено до 1905 г. (это сделал Чезаро, который изучал работу Хельге фон Коха, о которой рассказано ниже), а фракталы не были определены до Мандельброта в 1975 году. Таким образом, Кантор не думал о них в свое время.

В статье, опубликованной в 1904 году, шведский математик Хельге фон Кох построил, используя геометрические средства, кривую, известную как кривая Коха, и в результате снежинку Коха – три кривые Коха, соединенные вместе. В предисловии к своей работе он написал об эссе Вейерштрасса 1872 года следующее:

“… мне кажется, что его [Вейерштрасса] пример не является удовлетворительным с геометрической точки зрения, поскольку функция определена аналитическим выражением, которое скрывает геометрическую природу соответствующей кривой, и с этой точки зрения не понятно, почему кривая не имеет касательной. Скорее кажется, что ее вид на самом деле противоречит фактической реальности, установленной Вейерштрассом чисто аналитическим способом.”

Рис. 5. Снежинка Коха

Кривая Коха, как и множество Кантора, обладает свойством самоподобия. Это тоже фрактал, хотя, как и Кантор, Кох не думал такими терминами. У него просто была цель доказать другим способом то, что недифференцируемые функции (т.е. на геометрическом языке функции, которые “не имеют касательной”) могут существовать – способ, связанный с использованием “элементарной геометрии” (название его работы переводится как “О непрерывной кривой без касательных, построенных в элементарной геометрии). Таким образом, Кох выразил связь между недифференцируемыми “монстрами” из анализа и геометрией.

Сам Кох был довольно незначительным математиком. Многие из других его результатов были выведены из результатов Анри Пуанкаре, от которого он знал, что возможно получить некоторую “патологию”, то есть так называемых “монстров”, но никогда не исследовал их за пределами вышеупомянутого эссе. Следует отметить, что Пуанкаре занимался нелинейной динамикой в конце XIX века, что в итоге привело к созданию теории хаоса, области, тесно связанной с фрактальной геометрией, хотя и выходящей за рамки данной статьи. Поэтому неудивительно, что математик, работа которого являлась естественным продолжением работ Пуанкаре, оказался одним из основателей раздела математики, тесно связанного с той областью исследований, заложить основы которой помог сам Пуанкаре.

Самым главным понятием в исследовании фракталов, кроме вышеупомянутых самоподобия и недифференцируемости, является понятие хаусдорфовой размерности, введенное Ф. Хаусдорфом в марте 1918 года. Результаты Хаусдорфа, приведенные в той же работе, имели важное значение и в топологии. Однако то, что его определение размерности расширило предыдущее определение, позволив множествам иметь размерность, выражающуюся произвольным ненулевым числом (в отличие от топологической размерности), дало возможность Мандельброту определить фрактал как “множество, хаусдорфова размерность которого строго больше, чем его топологическая размерность”.

Как только Хаусдорф представил это новое, более широкое определение размерности, она стала предметом исследования – в частности, Авраама Самиловича Безиковича, который с 1934 по начало 1937 написал не менее трех работ со ссылками на работы Хаусдорфа. К сожалению, в это время Хаусдорф испытывал трудности, поскольку он, еврей, жил в нацистской Германии. Он был вынужден отказаться от своей должности профессора в университете Бонна в 1935 году, и хотя он продолжал работать, занимаясь теорией множеств и топологией, его труды могли быть опубликованы только за пределами Германии. Несмотря на то, что на некоторое время он смог избежать отправки в концентрационный лагерь, ситуация в Германии быстро стала невыносимой, и поскольку он находился в безвыходном положении, то вместе со своей женой и сводной сестрой они решили покончить жизнь самоубийством в январе 1942 года.

Размерность Хаусдорфа d самоподобного множества связывает его с фрактальной геометрией, хотя, как отмечалось ранее, имеется также много других приложений размерности Хаусдорфа. Пусть имеются отношения r_1,r_2,\ldots,r_n (т.е. первая часть множества подобна целому множеству с коэффициентом r_1). Тогда d удовлетворяет следующим двум уравнениям:

r_1^d + r_2^d + … + r_n^d = 1 и Nr^d = 1.

Этих уравнений, однако, нет в работах Хаусдорфа, так как они имеют непосредственное отношение к фракталам (и вычислению размерности фрактала), а эти идеи были неизвестны Хаусдорфу. Тем не менее, из этих двух уравнений легко увидеть, как можно получить размерность, которая не является целым числом, так как

d = \log(N) / \log(\log(1 / r)).

Рис. 6. Множество Жулиа

Практически в то же время, когда Хаусдорф проводил свои исследования, два французских математика, Гастон Жулиа и Пьер Фату, получили результаты (хотя и не вместе), которые оказались важными для фрактальной геометрии. Они изучали отображения комплексной плоскости и рекурсивные функции. Их работа с рекурсивными функциями привела к идеям аттракторов – точек в пространстве, которые притягивают к себе другие точки, и репеллеров – точек в пространстве, которые отталкивают другие точки, как правило, к другому аттрактору. Эти понятия также важны в теории хаоса. Границы различных областей притяжения оказалась очень сложными, сегодня они известны как множества Жулиа, пример такого множества можно увидеть на рис. 6. Более аналитическое определение множества Жулиа для функции f(z) имеет вид

J (f) = \partial \{z | f^{(n)}(z) \to \infty при n \to \infty\}.

А именно, “множество Жулиа f является границей множества точек z\in\mathbb{C}, которые стремятся к бесконечности при повторных применениях отображения f(z)”.

Поскольку Фату и Жулиа (и, соответственно, их работы) предшествовали появлению компьютеров, они не в состоянии были получить рисунки, которые приведены здесь, изображающие миллионы повторений функции. Они были ограничены тем, что они могли сделать вручную, т.е. только примерно тремя или четырьмя итерациями. В 1918 году Жулиа опубликовал 199-страничную работу под названием Mémoire sur l’iteration des fonctions rationelles, в которой обсуждалась большая часть его работы по рекурсивным функциям и приводилось описание множества Жулиа. Эта работа Жулиа выиграла Гран-при Академии наук, и он стал чрезвычайно популярным в математических кругах на протяжении1920-х. Однако, несмотря на это признание, его работа о рекурсии оставалась в безвестности около пятидесяти лет.

Фату, с другой стороны, не удалось достичь уровня известности Жулиа, даже у современников, несмотря на получение очень близких результатов – хотя и другим способом – а также их опубликование. Он отправил свои результаты в Comptes Rendus, в то время как Жулиа решил послать свой труд в “Journal de Mathématiques Pures et Appliquées”. Жулиа, защищая свою работу, направил письма в Comptes Rendus с просьбой выяснить, чьи результаты были получены первыми. Издание должным образом начало расследование и учло то, что результаты Жулиа появились в том же номере, что и объявление Фату. Это, возможно, отбило желание у Фату бороться за Гран-при. Тем не менее, Академия наук признала его и присудила ему премию за работу по данной теме.

Множества Жулиа могут быть абсолютно не связными, и в этом случае они называются “пылью” (рис. 7) – по аналогии с множеством Кантора (рис. 4) – или они полностью связные (рис. 6). В редких случаях они могут быть древовидными (рис. 8), где они “состоят из непрерывных ветвей, которые плохо связаны, так что удаление из них любой точки разделит их на две части”, тогда они будут считаться “пылью”.

Рис. 7, 8. Несвязное множество Жулиа и древовидное множество Жулиа

Метод для определения того, является множество связным или нет, состоит в вычислении траектории начальной точкой. Траекторией начальной точки x_0 является последовательность

(x_0, x_1, x_2, \ldots), где для каждого i\in\mathbb{N} имеем x_i = f (x_{i-1}) .

Если эта последовательность уходит на бесконечность, то множество несвязно. В противном случае оно связно.

В 1938 году, годом позже последней работы Безиковича о размерности Хаусдорфа, Пол Леви произвел сложнейшее исследование свойства самоподобия. Он показал, что кривая Коха была лишь одним из многих примеров самоподобных кривых, хотя сам Кох утверждал, что его кривая может быть обобщена. Кривые, сконструированные Леви (см., например, рис. 9 – зеленое и синее множества образуют две меньшие копии всего множества) были рекурсивными и связными, и при достаточно большом количестве итераций покрывали всю плоскость. Кривые Леви, однако, не являются фракталами, так как обе их размерности – Хаусдорфа и топологическая – равны двум.

Рис. 9. Самоподобная кривая Леви

Вряд ли кто-нибудь в это время подозревает, что найдется кто-то, хотя бы даже еще очень молодой человек, который объединит работы Леви и Хаусдорфа. Бенуа Мандельброт родился в 1924 году в Варшаве, в Польше, и, как и Хаусдорф, он был евреем, хотя его семье удалось избежать жизни в Третьем рейхе, поскольку она в 1936 году переехала из Польши во Францию, где родственники и друзья помогли им обустроиться. Один из дядей Мандельброта, Шолем Мандельбройт, был чистый математик, который заинтересовался молодым Мандельбротом и попытался увлечь его математикой. Так, в 1945 году, Мандельбройт показал племяннику работы Фату и Жюлиа, хотя молодой Мандельброт поначалу не проявил к ним большого интереса.

Образование Мандельброта было очень бессистемным, и полностью завершилось в 1940 году, когда Мандельброт и его семья были вынуждены снова бежать от нацистов. На этот раз они отправились в центральную Францию. Мандельброт, как и Хельге фон Кох до него, предпочитал зрительное представление математических задач символьному, хотя это также может быть следствием отсутствия формального образования из-за Второй мировой войны. К сожалению, это привело его к прямому конфликту с обучающим стилем “Бурбаки”, группы математиков, чья вера в аналитическое решение задач (в отличие от визуального) доминировала в преподавании математики во Франции в то время.

После окончания войны Мандельброт, несмотря на отсутствие подготовки, сдал вступительные экзамены в Политехническую школу (École Polytechnique) в Париже. Он был очень хорош в той части математики, где для ответов на вопросы мог использовать свои способности для решения задач с помощью визуализации. Хотя этот метод не всегда было возможно применять в других разделах математики, ему удалось поступить. После одного дня обучения в Нормальной школе (École Normale), Мандельброт начал учиться в Политехнической школе, где он встретил другого своего наставника, Пола Леви, который был в ней профессором с 1920 года вплоть до своей отставки в 1959 году.

После окончания учебы Мандельброт переехал в Нью-Йорк, где начал работать для IBM, в исследовательском центра Томаса Дж. Уотсона. Компания дала ему свободу в выборе темы исследования, что позволило ему изучать и разрабатывать идеи своими собственными методами, не беспокоясь о реакции научного сообщества. В 1967 году, работая там, Мандельброт написал свое знаменитое эссе “Какова длина побережья Англии?” С помощью статистического самоподобия и дробной размерности он привязал идеи предшествующих математиков к реальному миру, а именно береговым линиям, которые, по его утверждению, были “статистически самоподобными”. Он приводил аргументы:

“Методы самоподобия являются мощным инструментом в изучении случайных явлений, в том числе геостатики, а также экономики и физики. В самом деле, многие помехи имеют размерность D, заключенную между 0 и 1…”

После этого эссе Мандельброт вернулся к работам Жулиа и Фату, используя компьютеры. Имея возможность видеть в первый раз, как выглядят в пределе эти множества, Мандельброт пришел к идее отображения значений c\in\mathbb{C}, для которых множество Жюлиа функции f_c(z) = z^2 + c связно. Так строится множество Мандельброта M (рис. 10), которое более формально обозначается как

M = \{\left. c \in \mathbb{C} \right| f_c^{(n)}(z) конечна при n\to \infty\} .

Множество Мандельброта является для многих самым существенным фракталом. Если увеличить какую-либо часть его границы, можно заметить, что множество Мандельброта действительно самоподобно. Кроме того, если на различных участках границы увеличивать масштаб еще больше, то получатся различные множества Жулиа. Действительно, оно “асимптотически подобно множествам Жюлиа вблизи любой точки на его границе”, как доказано в теореме китайского математика Тан Лэя.

Рис. 10. Множество Мандельброта

Мандельброту удалось не только придумать такую дисциплину как фрактальная геометрия, но и популяризировать ее посредством применения в других областях науки. Он отчетливо понимал, что это было важно, как он однажды сказал:

“Редких ученые, которые случайным образом меняют сферу деятельности, имеют важное значение для интеллектуального благополучия определенных дисциплин”.

Как он намекнул в работе “Какова длина побережья Англии?”, фрактальная геометрия полезна для представления природных явлений; такие вещи, как береговая линия, силуэт дерева или форма снежинки – нелегко представить с помощью традиционной евклидовой геометрии. В конце концов, при созерцании квадрата или круга на ум приходит не органическая целостность. Равным образом, когда рассматривают, например, русло реки, в голову не приходит никакая простая форма геометрии Евклида. Даже земля не идеальный шар, однако при определенных расчетах считать ее таковой бывает удобно. Кроме того, фрактальная геометрия и теория хаоса имеют важные связи с физикой, медициной и исследованием динамики популяций. Однако, даже имеющим склонность к области, в которой таких связей мало, было бы трудно отрицать эстетическую красоту большинства фракталов.

Нетрадиционный подход Мандельброта привел его к изобретению удивительной и полезной новой формы математики. Однако ни один математик не может сказать, что его результаты совершенно не связаны с другими работами. Открытие Мандельброта многим обязано математикам, которые ему предшествовали, например, Вейерштрассу и фон Коху, но особенно Жулиа, Фату и Хаусдорфу. Он также выиграл благодаря компьютерам, которые позволили не только опираться на работы других по-новому – так, как это определенно не делалось раньше – но и использовать предпочтительный для него способ решения задач – а именно визуализацию. Кроме того, его изобретение также обосновывает важность изучения чистой математики: до Мандельброта были отдельные и совместные разрозненные идеи Хаусдорфа, Жулиа и др. Они представляли собой очень абстрактные математические идеи из различных областей (чистой) математики. Очень мало в теории множеств такого, что представляет интерес для обычного биолога. Однако во фрактальной геометрии многие из этих, казалось бы, абстрактных идей (идей математиков, которые относительно неизвестны за пределами их собственной области исследований) участвуют в приложениях, которые могут оценить другие ученые и не только ученые. Таким образом, работы, которые в конечном итоге привели к фракталам и их приложениям, являются отличным контрпримером на аргументы тех, кто осмелится очернить исследования чистой математики.

Holly Trochet, A History of Fractal Geometry. Перевод статьи http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/fractals.html

Один комментарий

  1. 1 Кривая дракона | Математика, которая мне нравится:

    [...] дракон является также предельным множеством для следующей системы итеративных функций на [...]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение