Распечатать запись Распечатать запись

Извлечение квадратного корня в столбик

Когда-то уже довольно давно, когда я училась классе в восьмом, моя учительница математики на кружке показала, как в столбик можно извлекать квадратные корни. Вычислить корень можно с произвольной точностью, найти сколько угодно цифр в его десятичной записи, даже если он получается иррациональным. Алгоритм запомнился, а вопросы остались. Непонятно было, откуда взялся метод и почему он дает верный результат. В книжках этого не было, а может, просто не в тех книжках искала. В итоге, как и многое из того, что на сегодняшний день знаю и умею, вывела сама. Делюсь своим знанием здесь. Кстати сказать, до сих пор не знаю, где приведено обоснование алгоритма)))

Итак, сначала на примере рассказываю, “как работает система”, а потом объясняю, почему она на самом деле работает.

Возьмем число 56789,321 (число взято “с потолка”, только что в голову пришло).

1. Разбиваем его цифры на пары: те, что стоят слева от десятичной запятой, группируем по две справа налево, а те, что правее – по две слева направо. Получаем 5` 67` 89,32` 1.

2. Извлекаем квадратный корень из первой группы цифр слева – в нашем случае это 5 (ясно, что точно корень может не извлекаться, берем число, квадрат которого максимально близок к нашему числу, образованному первой группой цифр, но не превосходит его). В нашем случае это будет число 2. Записываем 2 в ответ – это старшая цифра корня.

3. Возводим число, которое стоит уже в ответе — это 2 — в квадрат и вычитаем из первой слева группы цифр – из числа 5. В нашем случае остается 1.

4. Приписываем справа следующую группу из двух цифр: 167. Число 2, которое уже стоит в ответе, умножаем на 2, получаем 4.

5. Теперь следите внимательно. Нам нужно к числу 4 справа приписать одну цифру b, и число \overline{4b} умножить на b, то есть на ту же самую приписанную цифру. Результат должен быть как можно ближе к 167, но опять-таки не больше этого числа. В нашем случае это будет цифра 3, ее записываем в ответ рядом с 2, справа. Это следующая цифра в десятичной записи нашего квадратного корня.

6. Из 167 вычитаем произведение 43\cdot3=129, получаем 38.

7. Далее повторяем знакомые операции: приписываем к 38 справа следующую группу цифр 89, 23 умножаем на 2, к полученному числу 46 приписываем справа одну цифру, такую, чтобы при умножении на нее получилось число, меньшее 3889, но наиболее близкое к нему – это цифра 8 – следующая цифра в десятичной записи корня.

8. Далее у нас в числе стоит десятичная точка, ставим такую же в результате после цифры 8. Продолжаем процесс, снося по две цифры после точки. Ясно, что можно сносить и два нуля.

Вычисления запишутся следующим образом:

\begin{tabular}{c@{}r@{}r@{}c@{}c@{}c}<br />
\multicolumn{5}{l}{$\sqrt{5 ` 67 ` 89.32 ` 1}$}&$=238.30\ldots$\\<br />
\ \ 4 & & & & &\\<br />
\cline{1-3}<br />
\ \ 1 & 67 & & & &\\<br />
\ \ 1 & 29 & & & &\\<br />
\cline{1-4}<br />
\ \ & 38 & 89 & & &\\<br />
\ \ & 37 & 44 & & &\\<br />
\cline{2-5}<br />
\ \ & 1 & 45 & 32 & &\\<br />
\ \ & 1 & 42 & 89 & &\\<br />
\cline{2-5}<br />
\ \ & & 2 & 43 & 1000 &\\<br />
\ \ & & 2 & 38 & 3025 &\\<br />
\cline{3-5}<br />
\ \ & & & 4 & 7975 &\\<br />
\ \ & & & & $\ldots$ &<br />
\end{tabular}<br />
\begin{array}{l}<br />
43\cdot3=129,\\<br />
468\cdot8=3744,\\<br />
4763\cdot3=14289,\\<br />
476605\cdot5=2383025.<br />
\end{array}

А теперь обещанное объяснение. Алгоритм основан на формуле

(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2=100a^2+(20a+b)b.

Первый раз вычитаем квадрат, дальше, приписывая по одной цифре к результату, к числу под корнем, тем самым, приписываем две десятичных цифры. Отсюда разбиение на пары (видно из формулы). Вычтя квадрат, необходимо вычитать дальше числа вида (20a+b)b, где 2a – удвоенный известный на данный момент результат, приписывая к нему цифру, получаем 20a+b, умножаем на эту же самую цифру, имеем (20a+b)b. Вот и все!

P.S. Красивую модификацию описанного метода извлечения квадратного корня, которую предложил С.В. Савич, можно найти здесь: http://hijos.ru/2012/04/25/krasivaya-modifikaciya-metoda-izvlecheniya-kvadratnogo-kornya/

Комментариев: 48

  1. 1 Алексей:

    Спасибо помогло!

    [Ответить]

    Иван Спермотворов Reply:

    А что делать в случае извлечения кубического корня? Раскладывать число не на пары, а на тройки?

    [Ответить]

  2. 2 Антон:

    Слишком сумбурно и запутано. Разложите всё по пунктам и пронумеруйте их. Плюс: объясните откуда в каждом действии мы подставляем нужные значения. Никогда раньше не вычислял корень в столбик – разобрался с трудом.

    [Ответить]

  3. 4 Антон:

    Круто! :)

    [Ответить]

  4. 5 Юлия:

    “Далее повторяем знакомые операции: приписываем к 38 справа следующую группу цифр 89, 23 умножаем на 2″ – не поняла, откуда взялось 23 и почему умножаем на 2?

    [Ответить]

  5. 6 Елизавета Александровна Калинина:

    Юлия, 23 на данный момент записано справа, это две первые (слева) уже полученные цифры корня, стоящие в ответе. Умножаем на 2 согласно алгоритму. Повторяем действия, описанные в пункте 4.

    [Ответить]

  6. 7 zzz:

    ошибка в “6. Из 167 вычитаем произведение 43 * 3 = 123 (129 нада), получаем 38.”
    непонятно как после запятой получилось 08…

    [Ответить]

  7. 8 Елизавета Александровна Калинина:

    Спасибо, исправила. Как получилось, понятно: 123 – это опечатка ;)

    [Ответить]

  8. 9 Федотов Александр:

    А ещё в докалькуляторную эпоху нас в школе учили не только квадратный, но и кубический корень в столбик извлекать, но это более нудная и кропотливая работа. Проще было таблицами Брадиса воспользоваться или логарифмической линейкой, которую мы уже в старших классах изучали.

    [Ответить]

  9. 10 Елизавета Александровна Калинина:

    Александр, Вы правы, можно извлекать в столбик и корни больших степеней. Я собираюсь написать как раз о том, как находить кубический корень.

    [Ответить]

  10. 11 Извлечение кубического корня в столбик | Математика, которая мне нравится:

    [...] уже писала здесь, как можно извлекать в столбик квадратный корень. [...]

  11. 12 Сергей Валентинович:

    Уважаемая Елизавета Александровна! Мной в конце 70-х разработана схема автоматического (т.е. не подбором) вычисления квадр. корня на арифмометре “Феликс”. Если заинтересуетесь, могу выслать описание.

    [Ответить]

  12. 13 Елизавета Александровна Калинина:

    Сергей Валентинович, да, мне интересно, вышлите, пожалуйста. email есть в контактах.

    [Ответить]

  13. 14 Vlad aus Engelsstadt:

    ((( Извлечение квадратного корня в столбик )))
    Алгоритм упрощается, если использовать 2-ную систему счисления, которую изучают в информатике, но полезно и в математике. А.Н. Колмогоров в популярных лекциях для школьников приводил этот алгоритм. Его статью можно найти в “Чебышёвском сборнике” (Математический журнал, ищите ссылку на него в интернете)
    К случаю сказать:
    Г.Лейбниц в свое время носился с идеей о переходе от 10-ной системы счисления к двоичной из-за ее простоты и доступности для начинающих (младших школьников). Но устоявшиеся традиции ломать это все равно что лбом ломать крепостные ворота: можно, но бесполезно. Вот и получается как по наиболее цитируемому в былые времена бородатому философу: традиции всех мертвых поколений подавляют сознание живых.

    До следующих встреч.

    [Ответить]

  14. 15 Vlad aus Engelsstadt:

    ))Сергей Валентинович, да, мне интересно…((

    Бьюсь об заклад, что это вариация под “Феликс” Вавилонского метода извлечения коня квадратного методом последовательных приближений. Этот алгоритм был перекрыт методом Ньютона (метод касательных)

    Интересно, не ошибся ли я в прогнозе?

    [Ответить]

  15. 16 Денис:

    Ошибка как бэ…
    Корень из 56789.321 = 238.3051006, а не 238.08

    [Ответить]

  16. 17 Елизавета Александровна Калинина:

    Денис, спасибо. Теперь вроде бы все в порядке.

    [Ответить]

  17. 18 Елизавета Александровна Калинина:

    2Vlad aus Engelsstadt

    Да, алгоритм в двоичной системе должен быть проще, это довольно очевидно.

    О методе Ньютона. Может, оно и так, но все равно интересно ;)

    [Ответить]

  18. 19 Красивая модификация метода извлечения квадратного корня | Математика, которая мне нравится:

    [...] извлечении квадратного корня в столбик я уже писала здесь. Сейчас хочу вам предложить модификацию этого метода, [...]

  19. 20 Кирилл:

    Спасибо большое. А алгоритма так и нету, неизвестно откуда он взялся, но результат правильный получается. СПАСИБО БОЛЬШОЕ! Долго искал это)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Кирилл, алгоритм как раз есть. Идея доказательства написана, дальше немного подумайте, как получить остальное. Рада, что Вам пригодилось.

    [Ответить]

  20. 21 Александр:

    А каким образом пойдёт извлечение корня из числа, где вторая слева-направо группа весьма мала? к примеру, любимое всеми число 4 398 046 511 104 . после первого вычитания не получается продолжить всё по алгоритму. Объясните пожалуйста.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Александр, Ваше число разбивается на группы так: 4′39′80′46′51′11′04. Первая цифра корня равна 2. Возводим ее в квадрат и вычитаем из 4, получаем 0. Далее сносим следующие две цифры – это 39. Теперь нужно к удвоенной первой цифре корня приписываем еще одну цифру, при умножении на которую должно получиться число, не превосходящее 39. Ясно, что эта цифра 0. Приписываем следующую группу цифр: 3980. Теперь подбираем цмфру, которую нужно приписать справа к числу 40 – это 9. И так далее.

    [Ответить]

    Александр Reply:

    Спасибо за объяснение, а я дурак, про ноль забыл .

    [Ответить]

  21. 22 Алексей:

    Да, знаю этот способ. Я, помню, вычитал его в книге “Алгебра” какого-то старого издания. Тогда еще по аналогии сам вывел, как так же в столбик извлекать кубический корень. Но там уже сложнее: каждая цифра определяется уже не в одно (как для квадратного), а в два вычитания, да еще там каждый раз надо перемножать длинные числа.

    [Ответить]

  22. 23 Артем:

    В примере извлечения квадратного корня в столбик из 56789,321 имеются опечатки. Группа цифр 32 приписана дважды к числам 145 и 243, в числе 2388025 вторую 8 необходимо заменить на 3. Тогда последнее вычитание следует записать так: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Дополнительно, при делении остатка на увеличенное в два раза значение ответа (без учета запятой), получим добавочное количество значащих цифр (47975/(2*238305) = 0.100658819…), которые следует дописать к ответу (√56789,321 = 238,305… = 238,305100659).

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Артем, спасибо, исправила!
    Согласна, значащие цифры дописать к ответу можно, но речь идет о точном вычислении каждой цифры. При приписывании приближенного результата деления уже не будет так.

    [Ответить]

  23. 24 Сергей:

    По всей видимости алгоритм пришел из книги Исаака Ньютона “Всеобщая арифметика или книга о арифметических синтезе и анализе”. Вот выдержка из неё:

    ОБ ИЗВЛЕЧЕНИИ КОРНЕЙ

    Чтобы извлечь из числа квадратный корень, прежде всего следует поставить над его цифрами через одну, начиная с единиц, точки. Затем следует в частном или в корне написать цифру, квадрат которой равен или ближайший по недостатку к цифрам или цифре, предшествующим первой точке. После вычитания этого квадрата остальные цифры корня будут последовательно найдены посредством деления остатка на удвоенную величину уже извлеченной части корня и вычитания всякий раз из остатка квадрата последней найденной цифры и ее удесятеренного произведения на названный делитель.

    [Ответить]

  24. 25 Сергей:

    Поправьте ещё название книги “Всеобщая арифметика или книга оБ арифметических синтезе и анализе”

    :)

    [Ответить]

  25. 26 Александр:

    Спасибо за интересный материал. Но мне этот метод представляется несколько более сложным, чем нужно, например, школьнику. Я применяю более просто метод, основанный на разложении квадратичной функции с помощью первых двух производных. Формула его такая:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, где
    А1 – целое число, квадрат которого ближе всего к х;
    А2 – дробь, в числителе х-А1, в знаменателе 2*А1.
    Для большинства чисел, встречающихся в школьном курсе, этого достаточно, чтобы получить результат с точностью до сотых.
    Если нужен более точный результат, берем
    А3 – дробь, в числителе А2 в квадрате, в знаменателе 2*А1+1.
    Конечно, для применения нужна таблица квадратов целых чисел, но это в школе не проблема. Запомнить эту формулу достаточно просто.
    Меня, правда, смущает, что А3 я получил опытным путем в результате экспериментов с электронной таблицей и не вполне понимаю, почему этот член имеет такой вид. Может, подскажете?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Александр, спасибо!
    Да, то, что Вы предлагаете, совершенно верно. Только вот, видимо, \displaystyle a_2=\frac{x-a_1^2}{2a_1}, так? И это все тоже следует из формулы квадрата суммы двух чисел. Предположим, что x=(a_1+b)^2, и будем считать, что a_1 — целое число, квадрат которого ближе всего к x. Тогда x=a_1^2+2a_1b+b^2 и \displaystyle \frac{x-a_1^2}{2a_1}=b+\frac{b^2}{2a_1}. Вы берете \displaystyle a_2=b+\frac{b^2}{2a_1}. Соответственно, чтобы получилось точное значение b, нужно из полученного a_2 вычесть лишнее, т.е. \displaystyle \frac{b^2}{2a_1}, а поскольку a_2 и b отличаются уже довольно мало, то вычесть нужно приблизительно то, что у Вас обозначено a_3.

    [Ответить]

  26. 27 Александр:

    Да, я тоже рассматривал эти соображения, но дьявол кроется в деталях. Вы пишете:
    “поскольку a2 и b отличаются уже довольно мало”. Вопрос именно стоит, насколько мало.
    Эта формула хорошо работает на числах второго десятка и гораздо хуже ( не до сотых, только до десятых) на числах первого десятка. Почему так происходит уже трудно понять без привлечения производных.

    [Ответить]

  27. 28 Александр:

    Я уточню, в чем я вижу преимущество предложенной мной формулы. Она не требует не вполне естественного разбиения чисел на пары цифр, которое, как показывает опыт, часто выполняется с ошибками. Смысл ее очевиден, а для человека, знакомого с анализом, тривиален. Хорошо работает на числах от 100 до 1000, наиболее часто встречающихся в школе.

    [Ответить]

  28. 29 Александр:

    Кстати, я немного покопался и нашел точное выражение для А3 в моей формуле:
    А3= А22 /2(A1+A2)

    [Ответить]

  29. 30 vasil stryzhak:

    В наше время, повсеместного использования вычислительной техники, вопрос извлечения квадратного коня из числа с практической точки зрения не стоит. Но для любителей математики, несомненно, представляют интерес различные варианты решения данной задачи. В школьной программе способ данного вычисления без привлечения дополнительных средств должен иметь место наравне с умножением и делением в столбик. Алгоритм вычисления должен быть не только запоминаемым, но и понятным. Классический метод, предоставленный в данном материале для обсуждения с раскрытием сущности, в полной мере соответствует вышеназванным критериям.
    Существенным недостатком предлагаемого Александром способа является использование таблицы квадратов целых чисел. Каким большинством чисел встречающихся в школьном курсе она ограничена автор умалчивает. Что касается формулы, то в целом она мне импонирует в виду относительно высокой точностью вычисления.

    [Ответить]

  30. 31 Александр:

    для 30 vasil stryzhak
    Я ни о чем не умолчал. Таблица квадратов предполагается до 1000. В мое время в школе ее просто заучивали наизусть и она была во всех учебниках математики. Я в явном виде назвал этот интервал.
    Что до вычислительной техники, то она не применяется, в основном, на уроках математики, если только не идет специально тема применения калькулятора. Калькуляторы сейчас встроены в устройства, запрещенные к применению на ЕГЭ.

    [Ответить]

  31. 32 vasil stryzhak:

    Александр, спасибо за разъяснение!Я считал,что для предлагаемого метода теоретически необходимо помнить или пользоваться таблицей квадратов всех двузначных чисел.Тогда для подкоренных чисел не входящих в интервал от 100 до 10000 можно использовать прием их увеличения или уменьшения на необходимое количество порядков переносом запятой.

    [Ответить]

  32. 33 vasil stryzhak:

    Рассмотрим вариант извлечения квадратного корня в столбик, несколько отличающийся от общеизвестного способа упрощенным вычислением. Идея возникла после ознакомления с предоставленным здесь материалом. Планировал поделиться с ней в обсуждениях. В связи с тем, что на первом шаге извлечения корня не всегда исключается подбор, а вычисления в основном однотипны, решил оставить эту затею. Ситуация изменилась после 24 комментария Сергея с выдержкой из книги Исаака Ньютона об извлечении корней, подробнее здесь http://en.bookfi.org/g/Ньютон%20Исаак . К месту оказалась пословица: «Все новое – хорошо забытое старое». В книге не отображено обоснование алгоритма, по этой причине излагаю свое видение метода описанного Ньютоном.
    Из приводимых примеров явствует: он базируется на формуле квадрата суммы двух чисел
    _ Z₀ = (α͞b)² = (10α+b)² = 100α²+20αb+b², (1)
    где Z₀ – подкоренное число, а α͞b- двухзначное число. Извлечения корней распространяются на многозначные числа. Всегда можно результат действия представлять пошагово в двухзначном виде. Например, √186710,41 = 432,1. На первом этапе вычисления принимается α₁ = 4, b₁ = (3,21), на втором – когда известны значения двух чисел в ответе, α₂ = (43), b₂ = (2,1) и на последнем – α₃ = (432), b₃ = 1, с нумерацией цифр корня по порядку: n₁ = 4; n₂ = 3; n₃ = 2; n₄ = 1.
    Если вычесть из Z₀ квадрат первого числа 100α₁² и первый остаток обозначить Z₁, тогда:
    _ Z₁ = 20α₁b₁+b₁². (2)
    В связи с тем, что 20αb>b² так как b<10 можно исключить слагаемое b² и после преобразования относительно b иметь в активе в общем виде формулу приблизительного вычисления
    _ b ≈ Z/20α. (3)
    Видоизменим ее с целью пошагового определения цифр в корне
    _ n = [Z/20α], (4)
    здесь квадратные скобки означают, что от результата деления надо взять целую часть, дробная доля отбрасывается. Следовательно, из остатков необходимо вычитать числа вида
    _ z = 20αn + n². (5)
    Рассмотрим алгоритм вычисления на числе 1234,567. Схема процедуры изображена на рисунке.
    1. Разобьем его на группы цифр по две, двигаясь влево и право от десятичной запятой 12´34,56´7.
    2. Ищем наибольшее число, квадрат которого не превосходит 12 (первой группы цифр). Этим числом будет α₁ = 3, первое число ответа. Возведем его в квадрат и вычтем из 12.
    3. К разности приписываем вторую группу цифр. Получаем число 334. Далее согласно (4) разделим его на увеличенное в 20 раз число α₁, тогда n₂ = [334/60] = 5.
    4. В соответствии с формулой (5) вычислим z₁ = 20α₁n₂ + n₂² = 20∙3∙5+5² = 325, что меньше остатка 334. Следовательно, число 5 – вторая цифра в ответе. Запишем его в результат и отделим запятой, так как из целой части подкоренного числа корень извлечен.
    5. Вычитаем из 334 полученное число 325 и к разности приписываем третью группу цифр 56. Вычисляем третью цифру корня, n₃ = [Z₂/20α₂] =[956/(20∙35)] = 1. Дальнейший расчет проводим по схеме аналогичной предыдущим действиям.
    После сноса всех групп вычисление можно продолжить, приписывая к остатку по два нуля. Когда желательно получить больше значащих цифр в корне, то конечный остаток делится до численности цифр равной количеству в ответе и приписывается к последнему, с учетом округления завершающей цифры. Данная возможность определена тем, что с каждым последующим шагом вычисления значение 20αb примерно на порядок возрастает относительно b², следовательно, повышается точность формулы (3). При расчете второй цифры корня верность выражения (4) не высока и зависит от разности между первой и второй цифрами корня, если z₁ больше остатка Z₁, то следует уменьшить значение n₂.

    [Ответить]

    vasil stryzhak Reply:

    [Ответить]

  33. 34 КНС:

    Рада увидеть и вспомнить алгоритм, который нам давали в 50-60х годах в школе, естественным образом, без ахов и умных слов. Действительно, все повторяется.

    [Ответить]

  34. 35 Наталья:

    большое спасибо.
    очень помогло про решении домашнего задания с сыном.

    [Ответить]

  35. 36 ксения:

    а откуда взялось 43 * 3 в 6 пункте ??

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Читайте пункт 5.

    [Ответить]

  36. 37 Владимир:

    А как будет работать такой алгоритм в шестиричной или восемнадцатиричной системах?

    [Ответить]

  37. 38 Михаил П.:

    Недавно узнал, может будет интересно
    https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BD%D1%8C_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8F

    прошел мимо, следующий будет 5 мая 2025 года

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение