Распечатать запись Распечатать запись

Определения Евклида

Первую Книгу “Начал” открывают многочисленные определения, за которыми следуют пять знаменитых постулатов. Далее, перед тем как Евклид начинает доказывать теоремы, он приводит список общих понятий. Первые несколько определений следующие:

Определение 1.1. Точка – это то, часть чего есть ничто.

Определение 1.2. Линия – это длина без ширины.

Определение 1.3. Концы линий – это точки.

Определение 1.4. Прямая линия лежит равномерно по отношению к точкам на ней.

Постулаты – это конструкции следующего вида:

Можно нарисовать прямую линию, соединяющую одну точку с любой другой.

Общие понятия – это аксиомы, такие как:

Объекты, равные одному и тому же объекту, равны между собой.

Следует отметить определенные моменты.

1. Евклид, кажется, определяет точки два раза (определения 1 и 3) и линией два раза (определения 2 и 4). Это довольно странно.

2. Евклид никогда не использует определения и никогда не ссылается на них в остальной части текста.

3. Некоторые понятия он нигде не определяет. Например, отсутствует определение порядка точек на прямой. Поэтому то, что одна точка расположена между двумя другими, также не определено, но, конечно же, это используется.

4. В пятой Книге “Начал” рассматриваются величины и их пропорциональность. Однако Евклид понятие величины не определяет, и современному читателю кажется, что Евклиду не удалось ввести величины с той строгостью, которой он знаменит.

5. Когда Евклид вводит величины и числа, он дает несколько определений, но не постулатов или общих понятий. Например, можно было бы ожидать от Евклида постулирования, что a+b = b+a, (a+b)+c = a+(b+c), и т.д., но он этого не делает.

Когда Евклид вводит числа в седьмой Книге, он дает определение, очень похожее на основные определения в начале первой Книги:

Единица – это то, благодаря чему каждая из вещей, которые существуют, называется одной.

Некоторые историки математики предположили, что нет разницы между способами введения основных определений в начале Книги I и в Книге V не потому, что Евклид писал пятую Книгу с меньшей строгостью. Вернее, они предполагают, что Евклид всегда оставлял основные понятия неопределенными, и определения в начале первой Книги являются более поздними добавлениями. Каковы доказательства этого?

Первый комментарий будет по поводу объяснения, почему Евклид никогда не ссылается на основные определения. Если бы их не было в тексте, который написал Евклид то, конечно, он не мог бы сослаться на них. Следующим пунктом следует отметить, что они очень похожи на работу, которая приписывается Герону и называется “Определение понятий геометрии”. Она содержит 133 определения геометрических понятий, начиная с точки, линии и т.д., которые очень близки к данным Евклидом. Кнорр в своей статье (W.R. Knorr, ‘Arithmêtikê stoicheiôsis’ : on Diophantus and Hero of Alexandria, Historia Math. 20 (2) (1993), 180-192) убедительно доказывает, что эта работа на самом деле принадлежит Диофанту. Дело вот в чем. Основано ли “Определение понятий геометрии” на “Началах” Евклида или основные определения из этой работы были включены в более поздние версии “Начал”?

Мы должны учесть то, что Секст Эмпирик говорит об определениях. Прежде всего заметим, что Секст писал около 200 г. н.э., и до сравнительно недавнего времени считалось, что Герон жил позже этого времени. Если бы это было так, то, конечно, Секст не мог бы сослаться на то, что написал Герон. Однако в последнее время годы жизни Герона отнесли к первому веку нашей эры, и это говорит о том, что Секст писал позже него. Другая часть головоломки, которую мы должны рассмотреть – это более ранние версии “Начал” Евклида, которые можно найти. Когда произошло извержение Везувия в 79 г. н.э., Геркуланум вместе с Помпеей и Стабией был уничтожен. Геркуланум был похоронен под твердой вулканической массой примерно на глубине 16 м и находился там до раскопок города, которые начались в XVIII веке. Особые условия влажности под землей способствовали сохранению дерева, тканей, продуктов питания, и, в частности, папирусов, которые позволили нам узнать важные сведения. Один из найденных папирусов содержит фрагменты “Начал”. Очевидно, что он был написан до 79 г. н.э. Так как Филодем (Philodemus), ученик Зенона Сидонского, пренес туда свою библиотеку папирусов вскоре после 75 г. до н.э., версии “Начал”, вероятно, датируются приблизительно этим временем.

Давайте вернемся к Сексту, который пишет о “математиках, описывающих геометрические объекты”. Интересно, что слово “описание” не используется в “Началах”, но употребляется в “Определении понятий геометрии” Герона. Снова описания, которые он дает, ближе к точным словам Герона, чем к тем, которые можно найти у Евклида. Когда Секст дает определение круга, он использует слово “определение”, которое является словом Евклида. Секст цитирует точное определение круга, которое появляется во фрагменте из Геркуланума. Это не относится к определению окружности, хотя Евклид действительно использует понятие окружности. Более поздние версии “Начал”, которые дошли до нас, включают определение окружности в определение круга.

Ничто из написанного выше не доказывает, что основные определения геометрических объектов были добавлены в “Начала” позже. Достаточно убедительно показано только, что определение круга было расширено за счет того, что в более поздних изданиях книги в него было включено определение окружности. Гипотеза состоит в том, что перед Секстом, когда он пишет, имеются “Начала” и “Определения понятий геометрии”, и он использует слово “описать”, когда он ссылается на Герона, и “определить”, когда ссылается на Евклида. Даже если это верно, то это все равно не доказывает, что версия “Начал”, которая лежит перед Секстом, не содержит основных определений геометрических объектов, но она, по крайней мере, говорит о том, что это стоит обсуждать. Что вы думаете по этому поводу?

И последнее, над чем стоит подумать. Мы привели выше:

Определение 1.4. Прямая линия лежит равномерно по отношению к точкам на ней.

Что это значит? Это описание кажется странным для Евклида, потому что оно выглядит бессмысленным. Сравните это с определением прямой в “Определениях понятий геометрии”:

Прямая линия – это линия, которая одинакова по отношению ко всем точкам на ней, лежит прямо и максимально натянута между своими концами.

Снова вопрос к читателям: вы думаете, что определение, входящее в “Начала”, является искажением определения Герон и было добавлено позже, или вы думаете, что Евклид дал весьма неточное определение, которое было улучшено Героном? Почему бы не использовать определение прямой линии как кратчайшего расстояния между двумя точками?

J.J. O’Connor, E.F. Robertson, Euclid’s definitions. Перевод статьи: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Euclid_definitions.html

Комментариев: 4

  1. 1 Золотое сечение | Математика, которая мне нравится:

    [...] Евклид не использует этот термин, мы будем называть это [...]

  2. 2 Простые числа | Математика, которая мне нравится:

    [...] установить результат, использует метод от противного. Евклид дает также доказательство основной теоремы [...]

  3. 3 Максим:

    Определение 1.1. Точка – это то, что не имеет частей.
    Мне больше нравится перевод :
    1.1 Точка – это то, часть чего есть ничто.

    [Ответить]

  4. 4 Елизавета Александровна Калинина:

    Максим, спасибо, Ваш перевод лучше. Исправила.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение