Распечатать запись Распечатать запись

Основная теорема алгебры (ОТА)

Всякое алгебраическое уравнение степени n с комплексными коэффициентами имеет n комплексных корней.

На самом деле, имеется много эквивалентных формулировок, например, такая: каждый вещественный многочлен может быть представлен в виде произведения вещественных линейных и вещественных квадратичных множителей.

Ранние исследования уравнений аль-Хорезми (с 800 г.) посвящены только положительным вещественным корням и не имеют отношения к ОТА. Кардано был первым, кто понял, что можно работать с величинами, более общими, чем вещественные числа. Это открытие было сделано в ходе изучения формулы корней кубического уравнения. Эта формула в применении к уравнению x^3 = 15x+4 дает ответ, в котором содержится \sqrt{-121}, хотя Кардано уже знал, что x = 4 является корнем этого уравнения. Он мог применять свои “комплексные числа’’, чтобы получить правильный ответ, но он еще никак не мог объяснить такой своей математики.

Бомбелли в “Алгебре”, опубликованной в 1572 г., дал надлежащий набор правил действий с этими “комплексными числами’’. Декарт в 1637 г. говорит, что можно “представить’’ для каждого уравнения n-ой степени n корней, но эти представленные корни не соответствуют никаким вещественным величинам.

Виет приводил уравнения степени n с n корнями, но первым утверждал, что всегда есть n решений, голландский математик Альбер Жирар в 1629 г. в работе L’invention en algèbre. Однако он не доказал, что решения имеют вид a+bi, где a и b вещественные числа, так что допускал возможность, что решения принадлежат полю, включающему в себя \mathbb{C}. В действительности это оставалось проблемой ОТА в течение многих лет, пока математики принимали утверждение Альбера Жирара как самоочевидное. Они считали, что алгебраическое уравнение степени n должно иметь n корней, проблема была, по их мнению, в том, чтобы показать, что эти корни имеют вид a+bi, где a и b вещественные.

Харриот знал, что многочлен, обращающийся в нуль в точке t, имеет корень x=t, но это не было широко известно до утверждения Декарта в 1637 г. в La géométrie, так что Альбер Жирар не привел достаточного обоснования для точного понимания проблемы.

“Доказательство’’ неверности ОТА было дано Лейбницем в 1702 г., когда он утверждал, что многочлен x^4+t^4 не может быть записан как произведение двух вещественных квадратичных множителей. Его ошибка произошла от непонимания, что \sqrt{i} может быть представлен в виде a+bi, где a и b вещественные.

Эйлер в 1742 г. в переписке с Николаем (II) Бернулли и Гольдбахом показал, что контрпример Лейбница был ложным.

Даламбер в 1746 г. сделал первую серьезную попытку доказать ОТА. Для многочлена f он выбирает вещественные b и c такие, что f(b) = c. Он показывает, что существуют комплексные числа z_1 и w_1 такие, что

| z_1 | <| c |, | w_1 | <| c |.

Затем он приводит итеративный процесс, сходящийся к корню f. Его доказательство имеет ряд недостатков. Во-первых, он использует без доказательства лемму, которая была доказана в 1851 г. Пюизо, но это доказательство использует ОТА! Во-вторых, у него не было необходимых знаний для использования компактности, чтобы дать окончательное доказательство сходимости. Несмотря на это, идеи этого доказательства являются важными.

Эйлер вскоре смог доказать, что каждый вещественный многочлен степени n\quad (n \le 6) имеет ровно n комплексных корней. В 1749 г. он попытался доказать это в общем случае, т.е. он попытался доказать ОТА для вещественных полиномов:

Каждый многочлен n-й степени с вещественными коэффициентами имеет ровно n нулей в \mathbb{C}.

Его доказательство в Recherches sur les racines imaginaires des équations основано на разложении унитарного многочлена степени 2^n в произведение двух унитарных полиномов степени m = 2^{n-1}. Тогда, так как любой многочлен может быть преобразован в унитарный многочлен путем умножения на константу, доказательство теоремы получится повторением такого разложения. Теперь Эйлер знал факт, который восходит к Кардано в Ars Magna или ранее, что может быть сделано преобразование, позволяющее удалить второй по величине степени член полинома. Поэтому он полагает, что

x^{2m}+Ax^{2m-2}+Bx^{2m-3}+\ldots=

=(x^m+tx^{m-1}+gx^{m-2}+\ldots)(x^m-tx^{m-1}+hx^{m-2}+\ldots),

и затем раскрывает скобки и сравнивает коэффициенты. Это утверждение Эйлера привело к тому, что g, h, \ldots являются рациональными функциями A, B,\ldots,t. Все это было проделано детально для n = 4, но и в общем случае эта схема работает.

В 1772 г. Лагранж выдвинул возражения, относящиеся к доказательству Эйлера. Он сказал, что рациональные функции Эйлера могут привести к неопределенности 0 / 0. Лагранж использовал свои знания о перестановках корней, чтобы заполнить все пробелы в доказательстве Эйлера за исключением того, что он по-прежнему считал, что полиномиальное уравнение степени n должно иметь n корней какого-то вида. Таким образом, он мог работать с ними и выводить их свойства, также как и то, в конечном счете, что они имеют вид a+bi, где a и b вещественные числа.

Лаплас в 1795 г., пытался доказать ОТА, используя совершенно другой подход: через дискриминант многочлена. Его доказательство было очень элегантным, и проблема осталась только в том, что снова предполагалось существование корней.

Гауссу обычно приписывают первое доказательство ОТА. В своей докторской диссертации 1799 г. он представил свое первое доказательство, а также свои возражения на другие доказательства. Он, несомненно, является первым, кто указал на фундаментальный недостаток в доказательствах, приводившихся ранее, о которых мы говорили выше, а именно на тот факт, что используется существование корней, а затем выводятся их свойства. О доказательстве Эйлера Гаусс говорит:

“… если кто-то выполняет операции с этими невозможными корнями, как если бы они действительно существовали, и говорит, например, что сумма всех корней уравнения

x^{m}+ax^{m-1}+bx^{m-2}+\ldots =0

равна -a, даже если некоторые из них могут быть невозможными (что на самом деле означает: даже если некоторые из них не существует, а следовательно, отсутствуют), то я могу лишь сказать, что я полностью не одобряю аргументы такого типа.’’

Гаусс сам не претендует на первое надлежащее доказательство. Он просто называет свое доказательство новым, но говорит, например, о доказательстве Даламбера, что, несмотря на его возражения,

“строгое доказательство может быть построена на той же основе.’’

Доказательство Гаусса 1799 г. носит топологический характер и имеет довольно серьезные пробелы. Это не соответствует нашим нынешним стандартам строгого доказательства.

В 1814 г. швейцарский бухгалтер Жан Робер Арган опубликовал доказательства ОТА, которое, возможно, является самым простым из всех доказательств. Оно основано на идее Даламбера 1746 г. Арган уже набросал идею в статье, опубликованной двумя годами ранее, в Essai sur une manière de représenter les quantitiés imaginaires dans les constructions géometriques. В этой работе он интерпретировал i как поворот плоскости на 90^{\circ}, давая тем самым начало плоскости Аргана или диаграммы Аргана как геометрическому представлению комплексных чисел. Позднее в работе Réflexions sur la nouvelle théorie d’analyse Арган упрощает идею Даламбера использовать общую теорему о существовании минимума непрерывной функции.

В 1820 г. Коши посвятил целую главу из Cours d’analyse доказательству Аргана (хотя не будет сюрпризом для тех, кто изучал работы Коши, узнать, что он не упоминает Аргана!). Это доказательство не было строгим, поскольку общее понятие нижней границы не было разработано в то время. Доказательство Аргана стало известным, когда оно было приведено Chrystal’ом в его учебнике алгебры в 1886 г. Книга Chrystal’а была очень влиятельной.

Через два года после доказательства Аргана, в 1816 г., Гаусс опубликовал второе доказательство ОТА. Гаусс использует подход Эйлера, но вместо работы с корнями, которые не могут существовать, Гаусс работает с неизвестными. Это доказательство является полным и правильным.

Третье доказательство Гаусса (также 1816 г.) носит, как и первое, топологический характер. Гаусс в 1831 г. ввел понятие “комплексное число’’. Термин “сопряженное комплексное число’’ был введен Коши в 1821 г.

Критике Гаусса доказательств Лапласа и Лагранжа, казалось, было не найти немедленного одобрения во Франции. Во 2-м издании трактата об уравнениях Лагранжа (1808 г.) не упоминается новое доказательство Гаусса или его критика. Даже издание 1828 г., под редакцией Пуансо, по-прежнему выражает полное удовлетворение доказательством Лагранжа — Лапласа, и в нем не упоминается о критике Гаусса.

В 1849 г. (к 50-летие своего первого доказательства) Гаусс привел первое доказательство того, что алгебраическое уравнение степени n с комплексными коэффициентами имеет n комплексных корней. Доказательство аналогично первому доказательство Гаусса. Однако в нем добавлено немного, поскольку легко вывести результат для комплексных коэффициентов из результата для многочленов с вещественными коэффициентами.

Следует отметить, что, несмотря на то, что Гаусс настаивал, что нельзя предполагать существование корней, а потом доказывать их реальность, он, как и все в то время, считал, что существует целая иерархия мнимых величин, среди которых комплексные числа являются простейшими. Гаусс называл их “тень тени”.

Именно в поисках такого обобщения комплексных чисел Гамильтон открыл кватернионы около 1843 г., но, конечно, кватернионы не являются коммутативной системой. Первое доказательство того, что только коммутативные алгебраические поля содержат \mathbb{R}, было дано Вейерштрассом в лекциях 1863 г. Оно было опубликовано в книге Ханкеля Theorie der complexen Zahlensysteme.

Конечно, доказательства, описанные выше, действительны только при наличии современного результата о существовании поля разложения любого многочлена. Фробениус на торжествах в Базеле, посвященных двухсотлетию со дня рождения Эйлера, сказал:

“Эйлер дал самое алгебраическое доказательство существования корней уравнения, основанное на предположении, что каждое вещественное уравнение нечетной степени имеет вещественный корень. Я считаю, что несправедливо приписывать это доказательство исключительно Гауссу, который только добавил завершающие штрихи.’’

Доказательство Аргана – это только доказательство существования, и оно никоим образом не позволяет находить корни. В 1859 г. Вейерштрасс сделал попытку конструктивного доказательства, но только в 1940 г. конструктивный вариант доказательства Аргана был дан Хельмутом Кнезером. Это доказательство было еще более упрощено в 1981 г. Мартином Кнезером, сыном Хельмута Кнезера.

J. J. O’Connor and E. F. Robertson, The fundamental theorem of algebra. Перевод статьи http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Fund_theorem_of_algebra.html

Один комментарий

  1. 1 Геннадий:

    Так где же проживает мнимая единица?

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение