Математика, которая мне нравится

Терминология, касающаяся эллиптических интегралов и функций, менялась со временем. То, что сначала называли эллиптическими функциями, сегодня мы называем эллиптическими интегралами, а термин эллиптические функции служит для обозначения другого понятия. В этой статье мы будем использовать современную терминологию, чтобы избежать путаницы.

Важно понимать, что математики думают в различные периоды времени по-разному. Ранние алгебраисты должны были доказывать свои формулы геометрически. Аналогично в ранних работах по интегрированию задачи считались решенными, если интеграл можно было связать с геометрическим объектом.

Многие интегралы возникали, когда пытались решить какие-то механические задачи. Например, период маятника оказался связанным с интегралом, выражающим длину дуги, но его невозможно было вычислить в терминах элементарных функций. То же относится и к отклонению тонкого гибкого стержня.

Можно сказать, что изучение эллиптических интегралов началось в 1655 году, когда Уоллис начал изучать длину дуги эллипса. На самом деле он рассматривал длины дуг различных циклоид и связывал их с длиной дуги эллипса. Уоллис и Ньютон публиковали разложение в бесконечный ряд длины дуги эллипса.

Здесь мы дадим определение эллиптического интеграла. Он имеет вид

   

где — рациональная функция двух переменных, а — полином третьей или четвертой степени без кратных корней.

В 1679 году Якоб Бернулли попытался найти длину дуги спирали и столкнулся опять-таки с эллиптическим интегралом.

В 1694 году Якоб Бернулли сделал важный шаг вперед в теории эллиптических интегралов. Он исследовал, какую форму примет сжатый с двух концов гибкий стержень. Он показал, что получится кривая, которая задается уравнением

   

затем ввел лемнискату

   

длина дуги которой выражается интегралом

   

Этот интеграл, который очевидно является эллиптическим интегралом, стал известен как интеграл лемнискаты.

Это простой частный случай эллиптического интеграла. Заметим, что по виду он похож на функцию , которая задается интегралом

   

Другие хорошие особенности интеграла лемнискаты — это то, что он достаточно общий, и многие его свойства обобщаются на более общие эллиптические функции, и геометрическое представление интеграла как длины дуги лемнискаты помогает пониманию.

В 1694 году Якоб Бернулли рассмотрел другой эллиптический интеграл

   

и пришел к выводу, что он может быть выражен в терминах известных функций .

J. J. O’Connor and E. F. Robertson, Elliptic functions and integrals.  Перевод статьи http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Elliptic_functions.html