Математика, которая мне нравится

Терминология, касающаяся эллиптических интегралов и функций, менялась со временем. То, что сначала называли эллиптическими функциями, сегодня мы называем эллиптическими интегралами, а термин эллиптические функции служит для обозначения другого понятия. В этой статье мы будем использовать современную терминологию, чтобы избежать путаницы.

Важно понимать, что математики думают в различные периоды времени по-разному. Ранние алгебраисты должны были доказывать свои формулы геометрически. Аналогично в ранних работах по интегрированию задачи считались решенными, если интеграл можно было связать с геометрическим объектом.

Многие интегралы возникали, когда пытались решить какие-то механические задачи. Например, период маятника оказался связанным с интегралом, выражающим длину дуги, но его невозможно было вычислить в терминах элементарных функций. То же относится и к отклонению тонкого гибкого стержня.

Можно сказать, что изучение эллиптических интегралов началось в 1655 году, когда Уоллис начал изучать длину дуги эллипса. На самом деле он рассматривал длины дуг различных циклоид и связывал их с длиной дуги эллипса. Уоллис и Ньютон публиковали разложение в бесконечный ряд длины дуги эллипса.

Здесь мы дадим определение эллиптического интеграла. Он имеет вид

\displaystyle\int r\left( x,\sqrt{p(x)}\right) dx,

где r(x,y) – рациональная функция двух переменных, а p(x) – полином третьей или четвертой степени без кратных корней.

В 1679 году Якоб Бернулли попытался найти длину дуги спирали и столкнулся опять-таки с эллиптическим интегралом.

В 1694 году Якоб Бернулли сделал важный шаг вперед в теории эллиптических интегралов. Он исследовал, какую форму примет сжатый с двух концов гибкий стержень. Он показал, что получится кривая, которая задается уравнением

\displaystyle\frac{ds}{dt}=\frac{1}{\sqrt{1-t^4}},

затем ввел лемнискату

\left( x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2,

длина дуги которой выражается интегралом

\displaystyle\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}.

Этот интеграл, который очевидно является эллиптическим интегралом, стал известен как интеграл лемнискаты.

Это простой частный случай эллиптического интеграла. Заметим, что по виду он похож на функцию \sin^{-1}x, которая задается интегралом

\displaystyle\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}.

Другие хорошие особенности интеграла лемнискаты — это то, что он достаточно общий, и многие его свойства обобщаются на более общие эллиптические функции, и геометрическое представление интеграла как длины дуги лемнискаты помогает пониманию.

В 1694 году Якоб Бернулли рассмотрел другой эллиптический интеграл

\displaystyle\int_0^x \frac{t^2dt}{\sqrt{1-t^4}}

и пришел к выводу, что он может быть выражен в терминах известных функций \sin, \exp, \sin^{-1}.

J. J. O’Connor and E. F. Robertson, Elliptic functions and integrals.  Перевод статьи http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Elliptic_functions.html