Одаренная (2017)

«Вы забыли про отрицательные значения показательной степени.»
(Мэри)

Людям часто бывает интересно, как совмещается увлечение чем-либо (наукой, спортом или чем-то еще, что требует больших затрат времени и сил) с реальной человеческой жизнью. И этот фильм о том же.

Маленькая девочка Мэри очень любит математику. Любит до такой степени, что часто ради чтения интересной математической книги, расчетов на компьютере готова пожертвовать обычными для детей ее возраста и любимыми ими занятиями: прогулкой, играми. Мэри всего семь лет, но она чрезвычайно одарена, и ее знания превосходят не только норму для детей ее возраста, но и то, что изучили окружающие ее взрослые, подавляющее большинство из них.

Так получилось, что воспитывает Мэри ее дядя Фрэнк, который беспокоится о том, чтобы Мэри выросла доброй, отзывчивой, чтобы она любила людей. Он не хочет, чтобы занятия математикой отняли у девочки детство и обычные человеческие переживания (такой пример он уже видел). Фрэнк увез девочку в небольшой городок, где занимается починкой лодочных моторов. Не самое обычное занятие для бывшего профессора, оставившего преподавание и комфортную городскую жизнь ради племянницы… У Фрэнка и Мэри очень теплые, добрые отношения. И Мэри в самом деле очень по-доброму относится к окружающим ее людям и животным. Читать полностью ‘Одаренная (2017)’ »

Лемма Бёрнсайда и задача об ожерельях

Уильям Бёрнсайд

Уильям Бёрнсайд

Недавно натолкнулась на интересную комбинаторную задачу, которая, как выяснилось, имеет отношение к разным проблемам в разных разделах математики, причем не только математики.

Задача. Сколько существует различных ожерелий, составленных из n красных и m синих бусин? (Считается, что два ожерелья одинаковы, если одно можно получить из другого поворотом.)

Эта задача решается с помощью леммы Бернсайда, которая позволяет получить и множество других интересных результатов.

Сначала немного истории. Уильям Бернсайд (1852–1927) привел доказательство этой леммы в своей книге в 1897 г. Однако выяснилось, что данную формулу знали еще Коши (1845 г.) и Фробениус (1887 г.). Видимо, лемма была настолько хорошо известна, что Бернсайд не указал авторство Коши. Данный результат имеет несколько названий (кроме уже приведенного): лемма Коши — Фробениуса, лемма не Бернсайда (в области теории групп очень многие результаты принадлежат именно Бернсайду).

Для формулировки леммы понадобятся некоторые сведения. Поскольку нас интересует задача об ожерельях, на ее примере и будем все рассматривать.

Обозначим через M множество всех ожерелий. Пусть G — множество всех различных поворотов ожерелий (ясно, что разных поворотов всего n+m). Очевидно, что Gгруппа. При этом каждому ожерелью из M можно сопоставить ожерелье, полученное из него с помощью поворота g\in G. При этом два ожерелья считаются одинаковыми, или эквивалентными, если одно можно перевести в другое каким-либо поворотом из G. Таким образом, все ожерелья разбиваются на классы эквивалентности, или орбиты. Наша задача — найти число различных орбит. Читать полностью ‘Лемма Бёрнсайда и задача об ожерельях’ »

Таинственное число 6174

Никто не может раскрыть тайну

Число 6174 — в самом деле загадочное число. Это не бросается в глаза. Но как мы сейчас увидим, любой, кто умеет вычитать, может раскрыть тайну числа 6174.

Операция Капрекара

В 1949 году математик Д. Р. Капрекар из Деолали, Индия, разработал процесс, известный теперь как операция Капрекара. Сначала выберем четырехзначное число, состоящее хотя бы из двух различных цифр. Затем переставим его цифры, чтобы получить самое большое и самое маленькое из возможных чисел, образованных цифрами этого числа. Наконец, вычтем самое маленькое число из самого большого, получим новое число, для которого снова повторим операцию.

Это простая операция, но Капрекар обнаружил, что она приводит к неожиданному результату. Давайте попробуем делать ее, начиная с числа 2005. Максимальное число, которое мы можем составить из этих цифр, равно 5200, минимальное — 0025 или 25 (если одна или несколько цифр равны нулю, поместим нули слева для минимального числа). Читать полностью ‘Таинственное число 6174’ »

Числа Лишрел

"Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека" (Леопольд Кронекер)

Возьмем число. Переставим его цифры в обратном порядке, получим еще одно число. Теперь сложим эти два числа. Является ли сумма палиндромом (числом, читающимся с конца так же, как с начала)? Если нет, переставим цифры суммы и повторим процесс. Будем продолжать операции перестановки цифр и сложения до тех пор, пока не получим палиндром. Большинство чисел становятся палиндромами очень быстро, за несколько итераций. Возьмем, например, число 153; требуется всего две итерации.

Итерация Число Перестановка Сумма
1 153 + 351 = 504
2 504 + 405 = 909

Однако некоторые числа не становятся палиндромами вне зависимости от того, сколько сделано итераций записывания цифр в обратном порядке и сложения. Такие числа называются числами Лишрел. Они были названы так Уэйдом Ван Ландингхемом (Wade Van Landingham; Лишрел — примерная анаграмма имени его подруги Шерил, по-английски Lychrel — Cheryl). Первое число, которое может быть числом Лишрел — 196. Однако нет доказательства, что это число, а также числа похожие на него, такие как 879 и 1997 в самом деле являются числами Лишрел. Просто процедура перестановки —сложения для них не привела к получению палиндрома, хотя было сделано около миллиарда итераций.

Читать полностью ‘Числа Лишрел’ »

Математическая тайна древней вавилонской глиняной таблички

Ученые в Сиднее выяснили, что написано на знаменитой вавилонской глиняной табличке Plimpton 322, которой 3700 лет. Оказалось, что эти записи — старейшая в мире и наиболее точная тригонометрическая таблица. Возможно, ее использовали древние математики для расчетов при возведении дворцов, храмов и постройке каналов.

Читать полностью ‘Математическая тайна древней вавилонской глиняной таблички’ »

Я ненавижу алгебру

Текст старый, бредовый, из неизвестного источника. Просьба не воспринимать его серьезно :-)

Если вы хотите вернуться в старые добрые времена… вспомните алгебру.

В нью-йоркском аэропорту Кеннеди сегодня был задержан человек, пытавшийся пройти на посадку в самолет. Позже он был признан школьным учителем. При себе он имел линейку, транспортир, логарифмическую линейку и калькулятор.

На утренней пресс-конференции генеральный прокурор США сообщил, что он считает задержанного членом известного движения аль-гебры. Он обвиняется ФБР в том, что является носителем оружия из математических команд. «Аль-гебра — страшный культ», — заявил прокурор. «Они ищут средние решения с помощью моментов и экстремумов, а иногда поносят касательные в поисках абсолютных значений. Они используют секретные кодовые наименования, такие как «x» и «y» и называют их «неизвестными», но мы выяснили, что они принадлежат общему знаменателю оси средневековья с координатами в каждой стране. Как утверждал греческий распутник Равнобокис, у каждого треугольника три стороны».

Читать полностью ‘Я ненавижу алгебру’ »