Математика, которая мне нравится

инж. С.В.Савич

Посвящаю
Виктору Ивановичу Поленякину,
Георгию Иосифовичу Кирьянову

В процессе решения практических расчётных задач довольно часто возникает необходимость вычисления корней разной степени. Обычно при программировании на ЭВМ для этой цели используются стандартные библиотечные функции вычисления логарифма и экспоненты или итерационные методы. Аналитические методы последовательных приближений, часто применяемые при вычислении арифметических корней, имеют универсальный характер, однако обладают некоторыми недостатками, одним из которых является зависимость времени вычисления от величины аргумента и от выбора первого приближения. Значительно лучшие характеристики при вычислении, например, квадратного корня, показывает метод, описанный в статье “Оригинальный метод извлечения квадратного корня” (www.hijos.ru/2012/04/25/), который можно отнести к группе методов “цифра за цифрой”. Особенность этого метода, основанного на свойстве суммы членов арифметической прогрессии нечётных чисел, заключается в получении на каждом циклически повторяющемся шаге одной верной цифры результата.

В ходе анализа данного метода возникла идея распространить его концепцию на процесс вычисления корней -й степени, а также провести численное исследование получаемых алгоритмов. Основанием для такого подхода является то обстоятельство, что последовательность нечётных чисел, используемая для вычисления квадратного корня — это не только арифметическая прогрессия с шагом , но, — главное в этой идее, — также ряд первых конечных разностей (далее — конечные разности) для квадратичной функции с единичным шагом изменения аргумента.

Упомянем коротко метод “цифра за цифрой”, применяемый для “ручного” вычисления квадратного корня, заключающийся в том, что из подкоренного числа, разбитого на пары, в определённом порядке последовательно вычитается выражение (здесь — целое число, составленное из уже найденных цифр корня, — искомая следующая цифра корня, определяемая подбором), при условии, чтобы значение этого выражения не превышало текущее уменьшаемое. Детально этот способ описан в учебной и справочной литературе, сейчас он имеет лишь историческое значение. Читать полностью ‘О вычислении арифметических корней’ »

«Вы забыли про отрицательные значения показательной степени.»
(Мэри)

Людям часто бывает интересно, как совмещается увлечение чем-либо (наукой, спортом или чем-то еще, что требует больших затрат времени и сил) с реальной человеческой жизнью. И этот фильм о том же.

Маленькая девочка Мэри очень любит математику. Любит до такой степени, что часто ради чтения интересной математической книги, расчетов на компьютере готова пожертвовать обычными для детей ее возраста и любимыми ими занятиями: прогулкой, играми. Мэри всего семь лет, но она чрезвычайно одарена, и ее знания превосходят не только норму для детей ее возраста, но и то, что изучили окружающие ее взрослые, подавляющее большинство из них.

Так получилось, что воспитывает Мэри ее дядя Фрэнк, который беспокоится о том, чтобы Мэри выросла доброй, отзывчивой, чтобы она любила людей. Он не хочет, чтобы занятия математикой отняли у девочки детство и обычные человеческие переживания (такой пример он уже видел). Фрэнк увез девочку в небольшой городок, где занимается починкой лодочных моторов. Не самое обычное занятие для бывшего профессора, оставившего преподавание и комфортную городскую жизнь ради племянницы… У Фрэнка и Мэри очень теплые, добрые отношения. И Мэри в самом деле очень по-доброму относится к окружающим ее людям и животным. Читать полностью ‘Одаренная (2017)’ »

Уильям Бёрнсайд

Недавно натолкнулась на интересную комбинаторную задачу, которая, как выяснилось, имеет отношение к разным проблемам в разных разделах математики, причем не только математики.

Задача. Сколько существует различных ожерелий, составленных из красных и синих бусин? (Считается, что два ожерелья одинаковы, если одно можно получить из другого поворотом.)

Эта задача решается с помощью леммы Бернсайда, которая позволяет получить и множество других интересных результатов.

Сначала немного истории. Уильям Бернсайд (1852–1927) привел доказательство этой леммы в своей книге в 1897 г. Однако выяснилось, что данную формулу знали еще Коши (1845 г.) и Фробениус (1887 г.). Видимо, лемма была настолько хорошо известна, что Бернсайд не указал авторство Коши. Данный результат имеет несколько названий (кроме уже приведенного): лемма Коши — Фробениуса, лемма не Бернсайда (в области теории групп очень многие результаты принадлежат именно Бернсайду).

Для формулировки леммы понадобятся некоторые сведения. Поскольку нас интересует задача об ожерельях, на ее примере и будем все рассматривать.

Обозначим через множество всех ожерелий. Пусть — множество всех различных поворотов ожерелий (ясно, что разных поворотов всего ). Очевидно, что — группа. При этом каждому ожерелью из можно сопоставить ожерелье, полученное из него с помощью поворота . При этом два ожерелья считаются одинаковыми, или эквивалентными, если одно можно перевести в другое каким-либо поворотом из . Таким образом, все ожерелья разбиваются на классы эквивалентности, или орбиты. Наша задача — найти число различных орбит. Читать полностью ‘Лемма Бёрнсайда и задача об ожерельях’ »

Никто не может раскрыть тайну

Число — в самом деле загадочное число. Это не бросается в глаза. Но как мы сейчас увидим, любой, кто умеет вычитать, может раскрыть тайну числа .

Операция Капрекара

В 1949 году математик Д. Р. Капрекар из Деолали, Индия, разработал процесс, известный теперь как операция Капрекара. Сначала выберем четырехзначное число, состоящее хотя бы из двух различных цифр. Затем переставим его цифры, чтобы получить самое большое и самое маленькое из возможных чисел, образованных цифрами этого числа. Наконец, вычтем самое маленькое число из самого большого, получим новое число, для которого снова повторим операцию.

Это простая операция, но Капрекар обнаружил, что она приводит к неожиданному результату. Давайте попробуем делать ее, начиная с числа . Максимальное число, которое мы можем составить из этих цифр, равно , минимальное — или (если одна или несколько цифр равны нулю, поместим нули слева для минимального числа). Читать полностью ‘Таинственное число 6174’ »

"Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека" (Леопольд Кронекер)

Возьмем число. Переставим его цифры в обратном порядке, получим еще одно число. Теперь сложим эти два числа. Является ли сумма палиндромом (числом, читающимся с конца так же, как с начала)? Если нет, переставим цифры суммы и повторим процесс. Будем продолжать операции перестановки цифр и сложения до тех пор, пока не получим палиндром. Большинство чисел становятся палиндромами очень быстро, за несколько итераций. Возьмем, например, число ; требуется всего две итерации.

Однако некоторые числа не становятся палиндромами вне зависимости от того, сколько сделано итераций записывания цифр в обратном порядке и сложения. Такие числа называются числами Лишрел. Они были названы так Уэйдом Ван Ландингхемом (Wade Van Landingham; Лишрел — примерная анаграмма имени его подруги Шерил, по-английски Lychrel — Cheryl). Первое число, которое может быть числом Лишрел — . Однако нет доказательства, что это число, а также числа похожие на него, такие как и в самом деле являются числами Лишрел. Просто процедура перестановки —сложения для них не привела к получению палиндрома, хотя было сделано около миллиарда итераций.

Читать полностью ‘Числа Лишрел’ »

Ученые в Сиднее выяснили, что написано на знаменитой вавилонской глиняной табличке Plimpton 322, которой 3700 лет. Оказалось, что эти записи — старейшая в мире и наиболее точная тригонометрическая таблица. Возможно, ее использовали древние математики для расчетов при возведении дворцов, храмов и постройке каналов.

Читать полностью ‘Математическая тайна древней вавилонской глиняной таблички’ »